2025--2026学年海南中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了 某市连续8天的AQI，8B， 某人下午5等内容，欢迎下载使用。
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. 32B. 33C. 48D. 49
3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ）
A. 5B. C. 4D.
4. 从6个偶数和2个奇数中选出3个数，其中至少有1个是奇数的选法共有（ ）种.
A. 30B. 36C. 56D. 66
5. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
7. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数变大D. 不变
8. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时，除以8的余数是1
D. 展开式中二项式系数最大项为第3项
11. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是
则下列说法正确的是（ ）
A. 进入夏季的地区至少有2个B. 丙地区肯定进入了夏季
C. 不能肯定乙地区进入夏季D. 不能肯定甲地区进入夏季
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________.
13. 已知是相互独立事件，且，则__________.
14. 高二1班踢毽子小组由甲､乙等五名队员组成，在训练中，每位队员每次把毽子等可能地踢给其他四人.若由甲开始踢毽子，则第6次踢完毽子后，毽子踢给乙的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加海南省模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？
16. 为加强素质教育，提升学生综合素养，高二年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高二年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全列联表；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位）
参考附表：
参考公式：，其中.
17. 椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（2）已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
18. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率．
19. 某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用概率的性质求解即可.
解答过程：由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变，
故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确.
2. 某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. 32B. 33C. 48D. 49
答案：D
解析：
思路：上四分位数即第75百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计算步骤先计算，再计算上四分位数即可.
解答过程：将按从小到大的顺序排列为，
因为，6为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6与第7个数据的平均数，即.
3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ）
A. 5B. C. 4D.
答案：D
解析：
解答过程：由表格可得，
因样本中心点满足回归方程，
即，解得.
当时，，
此时残差为.
4. 从6个偶数和2个奇数中选出3个数，其中至少有1个是奇数的选法共有（ ）种.
A. 30B. 36C. 56D. 66
答案：B
解析：
解答过程：从8个数中选出3个，共有种；
从6个偶数中选出3个，共有种；
则至少有1个是奇数的选法共有种.
5. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
解答过程：对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
6. 海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
答案：B
解析：
解答过程：由题意，同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好足球”为事件，记“该同学爱好排球”为事件，则，
所以.
7. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数变大D. 不变
答案：A
解析：
解答过程：增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差；
决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确；
残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误；
越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误；
增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，
所以变大，故D错误.
8. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可.
解答过程：若表示乘地铁，表示乘汽车，则，
若表示5:45到5:49到家，则，
所以，
所以.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：
思路：先利用分布列的性质求得，进而求得，，， 从而得解.
解答过程：对于A，由分布列的性质可得，解得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时，除以8的余数是1
D. 展开式中二项式系数最大项为第3项
答案：BC
解析：
思路：利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D.
解答过程：对于A，令，可得，令，可得，
所以，故A错误；
对于B，，
两边求导，可得，
令，可得，故B正确；
对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确；
对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误.
故选：BC.
11. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是
则下列说法正确的是（ ）
A. 进入夏季的地区至少有2个B. 丙地区肯定进入了夏季
C. 不能肯定乙地区进入夏季D. 不能肯定甲地区进入夏季
答案：ABC
解析：
思路：
根据所给数据，对甲地，乙地，丙地逐个分析判断，即可得解.
解答过程：甲地：5个数据由小到大排，则22，22，24，，，其中，满足进入夏季的标志；
乙地：将5个数据由小到大排，则，，27，，，其中，
则，而，
故，其中必有一个小于22，故不满足一定进入夏季的标志；
丙地：设5个数据为，，，，32，且，
由方差公式可知：，
则，
不妨设，，，
则，，，均大于22，满足进入夏季标准．
综上，ABC正确，
故选：ABC．
方法提示：本题考查了对统计量的理解辨析，考查了中位数、众数、平均数、方差等统计量，考查了对数据的理解辨析等处理能力，同时考查了计算能力，属于中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________.
答案：
解析：
解答过程：根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：，
所以事件.
13. 已知是相互独立事件，且，则__________.
答案：##
解析：
解答过程：由是相互独立事件，可得，
因为，
所以.
14. 高二1班踢毽子小组由甲､乙等五名队员组成，在训练中，每位队员每次把毽子等可能地踢给其他四人.若由甲开始踢毽子，则第6次踢完毽子后，毽子踢给乙的概率为__________.
答案：
解析：
思路：设“第次踢毽子后毽子踢给乙”的概率为，由题意知，结合等比数列的定义求出的通项公式，再求解即可.
解答过程：设“第次踢毽子后毽子踢给乙”的概率为，
由题意知，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加海南省模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？
答案：（1）0.015，73
（2）12，10，2
解析：
解答过程：（1）,
因为，
所以，所以中位数为；
（2）因为，
所以在内应各抽取：
.
16. 为加强素质教育，提升学生综合素养，高二年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高二年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全列联表；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位）
参考附表：
参考公式：，其中.
答案：（1）列联表见解析
（2）有
解析：
思路：（1）完善列联表；
（2）利用独立性检验来计算并作出判断.
（1）根据题意补全列联表，如下：
（2）零假设：选择“书法”或“剪纸”与性别无关
根据列联表中数据，得，
依据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断不成立，认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.
17. 椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（2）已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
答案：（1）
（2）644.6；258.3
解析：
思路：（1）根据散点图分析得出回归方程类型，结合非线性回归模型转化线性回归方程分析求解即可；
（2）根据（1）中的方程代入相关变量计算分析即可.
（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型，
令，先建立关于的线性回归方程，
由于 ，
则，
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为.
（2）当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值.
18. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解；
（2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解；
（3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和．
（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜，
由全概率公式得．
（2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜：
乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为，
甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为，
，
甲胜的概率为．
（3）时，甲胜的概率为；
时，甲胜的概率为；
时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为；
时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”，
概率为，
甲胜的概率为．
19. 某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
答案：（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
解析：
思路：（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.
解答过程：（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
方法提示：本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
3
4
6
7
20
40
80
到家时间
5:35到5:39
5:40到5:44
5:45到5:49
5:50到5:54
迟于5:54
乘地铁到家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
-2
1
3
选书法
选剪纸
共计
男生
40
50
女生
共计
30
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
46.6
563
6.8
298.8
1.6
1469
108.8
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
3
4
6
7
20
40
80
到家时间
5:35到5:39
5:40到5:44
5:45到5:49
5:50到5:54
迟于5:54
乘地铁到家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
-2
1
3
选书法
选剪纸
共计
男生
40
50
女生
共计
30
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
46.6
563
6.8
298.8
1.6
1469
108.8
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1