2024—2025学年度海南省海口市高二上学期11月（期中）考试数学试题[含解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.
直线的斜率，则该直线的倾斜角为.
故选：B.
2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）
A. B. 3C. 4D. 5
【正确答案】D
【分析】由题意可知：，根据共轭复数的概念以及乘法运算求解.
由题意可知：，所以.
故选：D.
3. 有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其，为非零常数，则下列说法正确的是（）
①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同
③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同
A. ③④B. ②③C. ②④D. ①③
【正确答案】A
【分析】利用平均数公式可判断①；利用中位数的定义可判断②；利用标准差公式可判断③；利用极差的定义可判断④.
对于①，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，
则
，故①错；
对于②，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，
不妨设，则，
若奇数，则，；
若为偶数，则，.
，故②错；
对于③，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，
，故③对；
对于④，不妨设，则，
则数据、、、的极差为，
数据、、、的极差为，故④对.
故选：A.
4. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
5. 已知向量、满足，，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量.
因为向量、满足，，，
则，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：D.
6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（）
A. B. C. 2D. 4
【正确答案】D
【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
因为的面积为，所以，
又∵，∴，则，
故选:D.
7. 在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，应用向量法求距离.
由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直，
如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
∵，，，，
∴A1,0,0，，，，，
∴，，
，
，
∴点到直线的距离.
故选：D
8. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（）
A. B.
C. D. 方程有实数解
【正确答案】A
【分析】利用古典概型的概率公式求出各选项中事件的概率，即可得出合适的选项.
样本空间中样本点的个数为个，以表示样本空间中的一个样本点，
对于A选项，记事件“”，
则，所以；
对于B选项，记事件“”，
则，所以；
对于C选项，记事件“”，
则，所以，；
对于D选项，记事件“方程有实数解”，则，
则，所以，.
所以A选项中的事件发生的概率最小.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.
9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
【正确答案】AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
10. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】ABC
【分析】利用随机事件的关系和运算直接判断选项即可.
对空中飞行的飞机连续射击两次，
其样本点有：“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，
和“恰有一次击中飞机”，
所以，AC正确；
事件和事件交集为，且，B正确，D错.
故选：ABC
11. 如图，是棱长为的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（）
A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 当在平面内运动时，使得直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D. 若是棱的中点，当在底面上运动，且满足平面时，的最小值是
【正确答案】AC
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到的轨迹，计算即可；D选项，找到的轨迹，计算即可.
对于A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
对于B选项，与所成的角即为与所成的角，
当在端点、时，所成的角最小，为，
当在的中点时，所成的角最大，为，故B错误；
对于C选项，在平面内运动，且直线与平面所成的角为，
如图①所示，因为平面平面，所以直线与平面所成的角为，
因为平面，则与平面所成角为，
因为平面，则，所以，为等腰直角三角形，
则，所以点在平面内以为圆心、为半径的圆弧，
故的轨迹长度为，故C正确；
分别取、、、、的中点、、、、，
由正方体的性质可知、、、、、六点共面，且为正六边形，
由中位线定理，，平面，所以平面，
同理平面，且，、平面，
所以平面平面，
所以所在的平面为如图②所示的正六边形，
当为中点时，的长最小，为，故D错误．
故选：AC.
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线过定点______；
【正确答案】2,3
【分析】将直线方程变形为，由可求得直线所过定点的坐标.
将直线方程化为，由可得，
因此，直线过定点.
故答案为.
13. 已知事件A和B互斥，且，，则______.
【正确答案】0.4##
【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.
∵事件A和B互斥，∴，
又，∴，
∴.
故0.4.
14. 如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】
①，不妨取，利用，即可得出．
②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，可得．根据点为的中点，可得点为的中点．延长交线段的延长线于点．利用平行线的性质即可得出．
解：①，不妨取，
．
．
②连接，与交于点．连接，交于点，连接．
平面，．
点为的中点，点为的中点．
延长交线段的延长线于点．
，．
．
，
．
则．
故，．
本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【正确答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【分析】（1）利用直线方程的两点式，即可求解；
（2）求出BC边上的中点D坐标，利用两点坐标，即可求出直线方程；
（3）求出直线斜率，即可得到高的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0.
本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，、分别为棱、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，推导出平面，即可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
因为、分别为棱、的中点，则，
因为四边形为正方形，则，所以，，
所以，、、、四点共面，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
因为，为的中点，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面.
【小问2详解】
因为，平面，平面，
所以，平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，平面，则，
所以，，
所以，点到平面的距离等于.
17. 在中，、、分别为、、所对边，满足：且；
（1）求；
（2）若，求边上的高.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用余弦定理化简可得出，利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积公式求解.
【小问1详解】
因为，则，
由余弦定理可得，
整理可得，即，
因为，所以，，
由余弦定理可得，
因为，则.
【小问2详解】
由（1）知，．由余定理得，
即，所以．
于是，．
设边上的高为，则，即，得，
即边上的高为．
18. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．
（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】设事件A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出、、由此可得(1)题答案，(2)题概率为，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解．
【小问1详解】
设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
则；
【小问2详解】
设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
；
【小问3详解】
设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
（1）求证：；
（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
（3）当时，求直线PE与平面ABC所成角正弦值的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.
【小问1详解】
因为，
所以，即平面，
平面，平面，
所以
【小问2详解】
因为二面角直二面角，
所以平面平面，平面平面，平面，平面，
以分别为轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
设平面法向量为
，
令，得，所以，
设二面角为，
.
，
【小问3详解】
分别以CA反方向和CB方向分别为轴，过F做的垂线为z轴，
设，，显然，
，
，得出，则，则，
根据翻折后勾股定理得，
化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得，
设平面的法向量为，
设直线PE与平面ABC所成角为，
，
则，
令，，令，则，且，
，
根据对勾函数在0,1上单调递减，且恒大于0，
则函数在0,1单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围.
方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.