2025--2026学年江苏省镇江市丹阳市高一下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省镇江市丹阳市高一下册期中数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，且与共线，则实数（ ）
A. 2B. C. 8D.
2. 在中，内角的对边分别为，且，则角为
A. B. C. D.
3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则a，b，c共面
C. 若，则D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
5. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在四边形中，，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为直角三角形D. 若为锐角三角形，则
11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ）
A. 底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线
B. 异面直线和所成角的范围
C. 存在点，使得
D. 若，则过点的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 在中，角所对的边分别为，若，则__________．
13. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.
14. 若对于恒成立，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求当为何值时，.
16. 已知为锐角，.
（1）求的值：
（2）求的值.
17. 在中，点满足.
（1）若点为AP的中点，试用向量表示；
（2）若，求的余弦值；
（3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值.
18. 如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.

（1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.
19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.
（1）证明：；
（2）若，求；
（3）求的取值范围.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，且与共线，则实数（ ）
A. 2B. C. 8D.
答案：B
解析：
思路：由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.
解答过程：因为与共线，
所以，
解得，
故选：B
2. 在中，内角的对边分别为，且，则角为
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用余弦定理可直接计算的大小.
解答过程：因为，而，
所以，故选B.
方法提示：本题考查余弦定理的应用，属于基础题.
3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆台的轴截面是等腰梯形即可求解.
解答过程：
如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度，
由于圆台的上、下底面半径分别为，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为，高为，
则，即，故B正确.
4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则a，b，c共面
C. 若，则D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
答案：C
解析：
思路：A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断.
解答过程：A. 若，则，a与b相交或异面，故错误；
B.若，a，b，c不一定在同一平面内，
如在正方体中，，,但 不共面，故错误；
C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确；
D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面，
如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误；
故选：C
5. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：取的中点为，连接，
在中，为的中点，为的中点，
所以，
所以即为异面直线与所成角或其补角，
设三棱锥棱长为，
则，，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
6. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为是单位向量，所以，
由，得，所以，
所以在上的投影向量为.
7. 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由题意可得，求解即可.
解答过程：
如图所示，在中，内角，作于，
要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中，
即，因此边长的取值范围为，故A正确.
8. 在四边形中，，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
解答过程：如图，连接，在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当时，取等号，
所以.
所以面积的最大值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与共线且反向
D. 若，且与的夹角为锐角，则
答案：BC
解析：
解答过程：对于A，，
当与的夹角为时，也符合题意，故A错误；
对于B，，又因为，
所以，故B正确；
对于C，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D，当时，，
此时与的夹角为，不是锐角，故D错误.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为直角三角形D. 若为锐角三角形，则
答案：BCD
解析：
思路：A. 由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断.
解答过程：A. 由，得，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误；
B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确；
C. 由得，
，化简得，因为，
所以，则，所以为直角三角形，故正确；
D. 因为为锐角三角形，则，所以，
因为在上递增，则，故正确；
11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ）
A. 底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线
B. 异面直线和所成角的范围
C. 存在点，使得
D. 若，则过点的截面面积为
答案：ABD
解析：
思路：对于A，根据异面直线的判定定理即可判断；
对于B，异面直线和所成角即直线与所成角（或补角），结合正方体的性质即可求解；
对于C，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，求出即可判断；
对于D，延长交于点，利用相似可得为的中点，取的中点，连接，可得过点的截面为菱形，利用菱形的面积公式即可求解.
解答过程：对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确；
对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角）
由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为，
当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确；
对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，
在，可得
所以不存在点，使得，故C错误；
对于D，延长交于点
因为，所以，所以，即为的中点，
取的中点，连接，
所以，且，即四边形为平行四边形，
则过点的截面为平行四边形，
由于，则平行四边形为菱形，
由于，，
则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 在中，角所对的边分别为，若，则__________．
答案：
解析：
思路：根据已知的和计算出的度数，再结合正弦定理求解.
解答过程：根据三角形内角和为，则，
由正弦定理，得，
又，，，
则.
13. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.
答案：##0.5
解析：
思路：根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值.
解答过程：已知，由于与垂直，则，解得，
设与的夹角为，，
则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为
14. 若对于恒成立，则__________.
答案：
解析：
思路：利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.
解答过程：因为，其中，，
所以.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求当为何值时，.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量模的计算公式及数量积运算律计算即可；
（2）根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律计算可得.
（1）因为，，的夹角为，
所以.
（2）若，则，即，所以，
因为，
令，即时，，
所以当时，.
16. 已知为锐角，.
（1）求的值：
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解；
（2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值.
（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：，
由，代入得：
解得（为锐角，舍去），故，
由二倍角公式.
（2）因为为锐角，所以，由得：
，
因此.
由，代入，：
，解得.
所以.
17. 在中，点满足.
（1）若点为AP的中点，试用向量表示；
（2）若，求的余弦值；
（3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值.
答案：（1），
（2）0 （3）3
解析：
思路：（1）根据，得到，再根据点为AP的中点利用向量的减法运算求解；
（2），两边平方求解；
（3）根据M，P，N共线，且，得到，再由，利用系数相等得到，利用基本不等式求解.
（1）因为，所以，
整理得，又因为点为AP的中点，
所以，
所以；
（2）设，由，
得，
即，
解得；
（3）因为M，P，N共线，且，
所以，
又因为，则，即，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是3.
18. 如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.

（1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.
答案：（1）图形解析，过程见解析；
（2）；
（3）证明见详解.
解析：
思路：（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解；
（2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解；
（3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证.
（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，
连接，因为是的中点，是的中点，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，故，
所以.
（2）取棱的中点，连接，
又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与所成角，即为或其补角，
在中，，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为 .
（3）因为是的中点，是的中点，所以，，
又在正方体中，易得，，
所以，，
记直线与交于点，因为平面，所以平面，
同理，平面，
所以平面平面，
所以直线三条直线交于一点.
19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.
（1）证明：；
（2）若，求；
（3）求的取值范围.
答案：（1）证明见详解
（2） （3）
解析：
思路：（1）由三角形面积公式和余弦定理化简，得证；
（2）由（1），利用同角关系式求得，将条件式，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换化简得解；
（3）由正弦定理边化角可得，令，设，利用函数单调性求出值域.
（1）由，得，
所以，得.
（2）因为是锐角三角形，且，
所以，解得，.
若，由正弦定理得，又，
所以，即，
所以，
所以，得，
又为锐角，所以.
（3）由正弦定理，
因为是锐角三角形，
所以，且，
解得或（舍去），
令，设，
当时，单调递增，故，
又，所以，
所以的取值范围为.