江苏省镇江市丹阳市、南通市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省镇江市丹阳市、南通市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．
A．B．C．D．
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．
3．已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．1B．2C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，向量，则下列可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量夹角为锐角
B．若，则
C．若，则与的夹角是
D．若，则
10．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ）
A．为锐角三角形B．若，则
C．的最小值为D．
三、填空题
12．在中，三边长分别为4，6，8，则为 三角形．（选填“锐角”、“直角”、“钝角”）
13．使得成立的的一个值为 ．
14．蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则 ；若，则 ．
四、解答题
15．已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，求实数m的值．
16．已知锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若的平分线交于点D，求．
18．已知函数．
(1)若为锐角，，求的值．
(2)在中，若是的中点，且，求的面积；
(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
19．某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H.
(1)求；
(2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值；
(3)若，求的值.
1．C
利用两角和差正弦公式化简求得结果.
【详解】.
故选：.
2．C
【详解】在中，∵，，
∴由三角形内角和定理可知：.
在中，由正弦定理可知：.
故选：C.
3．A
【详解】设，∵，
∴，.
∵和是相反向量，
∴，即，解得.
故选：A.
4．B
由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果.
【详解】由正弦定理可得，则，
因为，且满足条件的有两个，
所以，且（当时，三角形只有一解），
此时，则.
故选：B
5．C
根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即，
所以，又，则，
又，则，
所以.
故选：C
6．D
由已知等式得，化简得到，代入即可求解.
【详解】因为，
即，所以，
所以.
故选：D.
7．C
利用坐标进行向量线性运算，并结合两角差的正弦、余弦公式计算，从而判断出答案.
【详解】对于A，
，
因为，所以，
，则，则，
故A错误；
对于B，因为，
因为，所以，
则，所以不成立，故B错误；
对于C，因为，
因为，所以，
所以，则有可能，
所以可能成立，故C正确；
对于D，
，
因为，所以，
所以， 则，
所以，
，，
则，所以，故D错误.
故选：C.
8．A
在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值.
【详解】如图，连接，
因为，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
即，①
因为，
，
所以，②
则①式和②式分别平方并相加得：
，
则，所以，
即的余弦值为.
故选：A.
9．BCD
对于A，因为时，向量的夹角为锐角或零度角，即可判断；对于B，由与表示同向的单位向量，即可判断；对于C，利用向量的线性运算知识结合图形，即可判断；对于D，由，设，代入等式两边利用运算法则运算，即可判断.
【详解】向量是非零向量，
对于A，因为，即，
所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误；
对于B，因为，所以与方向相同，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，故B正确；
对于C，设，，由向量线性运算知：
，，如下图所示：

因为，
所以与均为等边三角形，，
又四边形为菱形，所以，
即与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，设，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10．AC
将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D.
【详解】由可得，则，故A正确；
且，则，
所以，
且，则，故B错误；
，故C正确；
因为，
由，可得，故D错误；
故选：AC
11．BCD
由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D.
【详解】对于A，由可得，
则或，即或，
因为三角形为斜三角形，若，则，，
不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理可得，则，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
且，则，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由C可知，，
则，
令，
由可得，则，
所以，故，
且，
所以，
当时，取得最大值，
当或时，最小值为，
所以，故D正确；
故选：BCD
12．钝角
设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断.
【详解】设边长为8的边对应的角为，
由余弦定理可得，
所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形，
故答案为：钝角.
13．（答案不唯一，满足即可）
根据题中条件将式子变形为，分子、分母同时除以将弦化切，然后利用及两角和的正切公式、诱导公式即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：（答案不唯一，满足即可）.
14．
结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】观察图形可知，三点共线，且，
因为，
且，
则，
所以，即；
由正六边形的性质可得
，
所以
.
故答案为：；
15．(1)
(2)
（1）由向量垂直的坐标运算可得的值，然后代入计算，即可得到结果；
（2）先表示出的坐标，再由向量平行的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由可得，即，解得，所以，
则，
所以.
（2）因为，
由可得，解得.
16．(1)
(2)
（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得；
（2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，，所以，
则，又，所以，则，
所以.
（2）由（1）得，
因为，，，所以，
由（1）知，所以，
则，所以.
17．(1)
(2)
（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；
（2）先由余弦定理可得的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，
，
即，且，
则，，则.
（2）由可得，
由正弦定理可得，
即，解得，则，
且为角的角平分线，
，即，
化简可得，解得.
18．(1)
(2)
(3)
（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由代入计算，即可得到结果；
（2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果；
（3）将不等式化简，然后换元可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），
由可得，
且为锐角，则，即，则，
即，
所以
.
（2）因为，且，则，
则，解得，
由为三角形的中线，则，
即，
即，化简可得①，
由余弦定理可得，
化简可得②，
①②可得，即，
则.
（3），
由可得，则，
由不等式在上恒成立，
可得在上恒成立，
且
，
令，则，
则不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当时，即时等号成立，
所以，即，
则实数m的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)
（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解；
（2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点.
由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解.
（3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，.
在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解.
【详解】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为，
∴由正弦定理可得：，解得.
.
由题可知，.
（2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点.
由题意及对称性可知.
故要使取得最小值，只需最小.
在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时.
∴，
即的最小值为.
（3）由（1）可知：，.
，.
又，
∴由圆的性质可知.
又，
∴，解得.
∴在锐角中，，，
，.
∴由正弦定理可得：，
∴，.
在中，由点H是的垂心可得，，.
在中，由正弦定理可得，.
同理可得，
，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
C
D
C
A
BCD
AC
题号
11









答案
BCD