2025--2026学年广东省茂名市田家炳中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省茂名市田家炳中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
4. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数在区间上存在零点
C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是
D. 若，，，则的最小值为4
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数在区间单调递增
11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A. 若则为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
D. 若，，分别表示，的面积，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________.
13. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______.
14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）求；
（2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．
16. 已知平面向量，，且．求：
（1）向量在向量上的投影向量；
（2）的值；
（3）向量与夹角的余弦值．
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．

（1）若，请用向量来表示向量；
（2）若，求的最小值．
19. 为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）若，求的取值范围.
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由交集的定义即可求解.
解答过程：由，，
则.
2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
答案：B
解析：
解答过程：因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：C
解析：
解答过程：由正弦定理可得，
且，则 ,故 或 .
4. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解.
解答过程：因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为4，
所以.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由对数函数的性质可得，由幂函数的性质可得，由三角函数的性质可得，即可得答案.
解答过程：因为，，，
所以.
6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围.
解答过程：为上的减函数，
时，单调递减，即，则；
时，单调递减，即，
且，即.
综上，的取值范围是，
故选：D.
7. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：向左平移​个单位，原函数，左移对加，得
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得
8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解.
解答过程：因为函数在上单调递增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上，，即的取值范围是．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数在区间上存在零点
C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是
D. 若，，，则的最小值为4
答案：ABD
解析：
思路：对A ，根据复合函数定义域 “内层函数的值域等于外层函数的定义域”，由的定义域列不等式求解的定义域；对B ，利用零点存在性定理，通过判断连续函数fx=3x+2x−4 在区间端点处函数值的符号，证明区间内存在零点；对C，由一元二次不等式恒成立问题，结合二次函数图像性质，通过判别式求解参数的取值范围；对D ，利用 “1 的代换” 构造可应用基本不等式的形式，通过均值不等式求的最小值.
解答过程：对于A：由的定义域为，
对应，令，得，则的定义域为，A正确；
对于B：因为函数在上连续，且，，
则，根据零点存在性定理，
函数在区间上存在零点，B正确；
对于C：由对一切实数恒成立，
则，解得，C错误；
对于D：由，，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为4，D正确.
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数在区间单调递增
答案：ACD
解析：
思路：先通过五点作图法可得函数解析式，再通过代入验证判断BC选项，及整体代入判断单调性可得.
解答过程：由函数图象及五点作图法可得，，，解得，.
所以函数的最小正周期，所以A正确；
因为，所以点不是函数图象的对称中心，故B错误；
又因为，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确；
因为，所以，正弦函数在上单调递增，
所以函数在区间单调递增，故D正确；
11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A. 若则为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
D. 若，，分别表示，的面积，则
答案：ACD
解析：
思路：（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；
（2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；
（3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；
（4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可.
解答过程：
对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵由，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，由得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________.
答案：
解析：
思路：由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案．
解答过程：已知原图是边长为2的正三角形，
所以的面积，
所以的面积为.
13. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______.
答案：
解析：
思路：先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部.
解答过程：因为，所以；
所以的虚部为.
故答案为.
14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______.
答案：
解析：
思路：首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果.
解答过程：由，则，
所以，即，
即，解得或（舍去），可得，
，
因为是锐角三角形，则有，所以，
，，则，有，
由于,
所以，可得的取值范围为.
故答案为.
方法提示：关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）求；
（2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据复数的除法求，进而求模长；
（2）将代入方程，根据复数相等列式求解.
（1）因为，
所以．
（2）由（1）可得：，
将代入方程得：，
则，解得：．
16. 已知平面向量，，且．求：
（1）向量在向量上的投影向量；
（2）的值；
（3）向量与夹角的余弦值．
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）由已知及数量积的运算律得，再由投影向量的定义求向量在向量上的投影向量；
（2）应用向量数量积的运算律求向量的模长；
（3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量与夹角的余弦值.
（1）由，得，即，
向量在向量上的投影向量是；
（2）由；
（3），

所以.
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
答案：（1）.
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理角化边将已知关系式转化为边的二次式，再利用余弦定理求A；
（2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，进而求出周长.
（1），
变形为，
整理得
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以.
（2）由，，得.
由余弦定理得，
则b+c2=a2+3bc=16+3×16=64 ，
所以，则a+b+c=4+8=12 ，
即的周长为.
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．

（1）若，请用向量来表示向量；
（2）若，求的最小值．
答案：（1）;
（2）解析：
思路：（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式；
（2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案.
（1）由图和题设条件可得：
；
.
（2）由图和可得：，即（*），
因，
当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则，
由（*）可得：，即，
因三点共线，故，
又因，
当且仅当时，即时，等号成立，
即时，的最小值为.
19. 为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）若，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由三角形的面积公式得，利用正弦定理得，又，由为锐角三角形得的范围，进而求解；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理求，即，先求，，，又，即，利用三角函数先求的范围，即可求解.
（1）因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.