2025--2026学年广东广州中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东广州中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 棱台不具有的性质是（ ）
A. 两底似B. 侧面都是梯形
C. 侧棱延长后交于一点D. 侧棱长都相等
4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心
5. 已知复数，复数为复数的共轭复数，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A. B. C. 36D. 72
7. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）
A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 平行的线段在直观图中仍然平行
C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直D. 相等的角在直观图中仍然相等
8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ）
A. B. C. 50D.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A. 是纯虚数B. 是实数
C. 是虚数D. 若，则是实数
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ）
A. 直线和直线是异面直线B. 直线和直线是异面直线
C. 直线和直线是异面直线D. 直线和直线是异面直线
11. 在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为3
C. D. 若，则满足条件的恰有一个
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若满足，则的最大值是_______.
13. 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则它的表面积为________.
14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______.
四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明.
16. 已知复数.
（1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
18. 如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G.
（1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明；
（2）若E是的中点，，，求实数的值；
（3）若，，求的最大值.
19. 在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
（1）求证：正的外心是的布洛卡点；
（2）若满足，且时，求；
（3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
数学
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据复数乘法运算求得，即可求解．
解答过程：因为，所以的虚部是．
故选：C．
2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标.
解答过程：因为，所以，
所以与向量同向的单位向量的坐标为：，
故选：B
3. 棱台不具有的性质是（ ）
A. 两底似B. 侧面都是梯形
C. 侧棱延长后交于一点D. 侧棱长都相等
答案：D
解析：
解答过程：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，
所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点；
故选项A,B,C都是棱台具有的性质，棱台的侧棱有的相等，有的不相等，故选项D是棱台不具有的性质.
4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心
答案：C
解析：
思路：根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心.
解答过程：
因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心；
由，则，
取的中点，则，
所以，即为靠近的三等分点，
所以是的重心；
由，得，即，
所以，同理，，所以点为的垂心.
5. 已知复数，复数为复数的共轭复数，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：由复数可得，
因此，
所以.
6. 已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A. B. C. 36D. 72
答案：A
解析：
解答过程：因为，，与的夹角为，
所以，
则.
7. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）
A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 平行的线段在直观图中仍然平行
C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直D. 相等的角在直观图中仍然相等
答案：B
解析：
思路：根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可.
解答过程：首先分析斜二测画法的规则：
斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；
对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；
原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直；
相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等.
故选：B.
8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ）
A. B. C. 50D.
答案：B
解析：
思路：由已知，，米,利用正弦定理求出,在中，求出即可.
解答过程：由已知，，米，故，
而
所以，即，解得，
又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即，
所以在中，.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A. 是纯虚数B. 是实数
C. 是虚数D. 若，则是实数
答案：AD
解析：
解答过程：A. 为纯虚数，故A正确；
B.，只有时，才是实数，故B错误；
C.，只有时为虚数，为实数，故C错误；
D. 为实数，故D正确.
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（ ）
A. 直线和直线是异面直线B. 直线和直线是异面直线
C. 直线和直线是异面直线D. 直线和直线是异面直线
答案：ABC
解析：
思路：首先还原几何体，再判断线与线的位置关系.
解答过程：展开图还原为几何体后，如图:
直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，和平行，所以ABC正确，D错误.
11. 在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为3
C. D. 若，则满足条件的恰有一个
答案：ABC
解析：
思路：对于A，根据三角形边的关系求解判断；对于B，根据判断；对于C，根据射影定理来推导判断；对于D，根据判断.
解答过程：对于A，根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得，
即，
所以，故A选项正确；
对于B，由题意知：，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3，此时，故B选项正确；
对于C，根据余弦定理，①，
②，
所以，得
，故C选项正确；
对于D，因为，，，所以，
如图，因为，所以满足条件的有2个，故D选项错误.
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若满足，则的最大值是_______.
答案：##
解析：
思路：先分析几何意义，再求的最大值
解答过程：表示到点的距离为3的点的集合，
由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值
，因为的长度等于，所以的最大值是.
13. 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则它的表面积为________.
答案：
解析：
解答过程：正六棱台的表面积，
而，，
，
所以.
14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______.
答案：
解析：
思路：由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解.
解答过程：因为，
所以，即，
所以在上，
又因为点为的外心，
所以的外接圆以为圆心，为直径，
所以为直角三角形，且，为中点，

因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，
又，所以
由于为锐角，所以
故
四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明.
答案：菱形，证明见解析
解析：
思路：先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得；
解答过程：因为，分别是空间四边形的边，的中点，
所以线段是的中位线，所以且，
同理可得且，
即，，所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，所以，
故平行四边形为菱形；
16. 已知复数.
（1）若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.
答案：（1）
（2），，
解析：
（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为，
对应点落在第四象限，即，解得.
（2）为的共轭复数，所以，
，即，解得，即，
是关于的方程的一个根，
代入可得，化简可得，
即，解得，，所以原方程为，
利用求根公式可得，
所以该一元二次方程的另一复数根为.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理，结合三角和差公式化简得，进而得到即可；
（2）由余弦定理得，即，结合，得到，再根据即可求解．
（1）由及正弦定理，
得，
即，
又，，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
所以，
又，所以，解得，
所以．
18. 如图，边长为6的正方形中，在边上运动，在边上运动，与交于点G.
（1）若E，F分别是，的中点，用向量法证明；
（2）若E是的中点，，，求实数的值；
（3）若，，求的最大值.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）1
解析：
思路：（1）建系，利用向量内积的坐标表示，即可证明；
（2）建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解；
（3）建系，设正方形的边长为1，，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解.
（1）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，

则，所以，，
，所以.
（2）如图，建立平面直角坐标系，正方形的边长为6，

则，所以，，
设点，则，
由，得，
所以，即，得到，
设，则，
所以，解得.
（3）因为三点共线，且，
所以，
正方形的边长为6，设，
则，
所以，，，
所以，
又，所以，
所以，，
所以，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述：的最大值为1.
19. 在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
（1）求证：正的外心是的布洛卡点；
（2）若满足，且时，求；
（3）角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
答案：（1）证明见解析；
（2） （3），；值域为
解析：
思路：利用三角形的三边长关系准确找到边长的取值范围进而求解.
（1）若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且 ，，
所以值域为.