2025--2026学年广东茂名市第十六中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
2. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. 4D.
3. 已知向量，且，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
4. 在中，若，则的值为（ ）.
A. B. C. D. 1
5. 若是函数的两个相邻的零点，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
6. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ）

A. 100米B. 200米C. 米D. 米
7. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 钝角三角形
C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A. 当时，为纯虚数B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则三点共线
C. 若，，则线段的中点坐标为
D. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或
11. 如下图是函数的部分图像，则（ ）
A. B. 是的一个对称中心
C. 的一条对称轴为D. 的单调递增区间为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，，则______.
13. 在中，，，，D为BC的中点，则中线______．
14. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足.
（1）求；
（2）若是方程的一个根，求的值.
16. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值．
17. 在中，角，，所对的边分别为，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高．
18. 已知.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.
19. 在中，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
数学
满分为150 分，考试时间为120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据虚部的定义求解即可.
解答过程：复数的虚部为，所以复数的虚部为.
2. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. 4D.
答案：B
解析：
解答过程：由向量，，且，则，解得.
3. 已知向量，且，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
答案：D
解析：
思路：根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可.
解答过程：因为，
则，解得．
故选：D.
4. 在中，若，则的值为（ ）.
A. B. C. D. 1
答案：C
解析：
思路：由正弦定理可得答案.
解答过程：由正弦定理得，则.
故选：C
5. 若是函数的两个相邻的零点，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：A
解析：
思路：由两个相邻零点得，由求得.
解答过程：由题意得，故，因为，所以，
故选：A．
6. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ）

A. 100米B. 200米C. 米D. 米
答案：C
解析：
解答过程：由，得是等腰直角三角形，斜边米，
在中，，由正弦定理得，
则米，，因此是等边三角形，米.
7. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 钝角三角形
C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形
答案：A
解析：
解答过程：因为，
由正弦定理得，
所以.
因为，所以，
所以，即.
所以.
因为，所以.
所以为等腰直角三角形.
方法二：
因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以.
因为，所以.
因为，所以.
所以为等腰直角三角形.
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据三角函数的图象变换得，再解方程求解可得答案．
解答过程：函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，，
令，，
则，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相邻交点距离的最小值为．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A. 当时，为纯虚数B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
答案：BCD
解析：
解答过程：对A：当时，，故A错误；
对B：当时，，故B正确；
对C：当时，，此时，故C正确；
对D：当时，，
所以
，故D正确.
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则三点共线
C. 若，，则线段的中点坐标为
D. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或
答案：ABD
解析：
思路：根据共线向量坐标公式可以判断选项A，B；根据中点坐标公式判断选项C；根据两向量垂直的坐标公式和单位向量的模确定选项D.
解答过程：对于A，因，则，故A正确；
对于B，若，，，
则，，因为，
所以，又，有公共点，
所以A，B，C三点共线，B正确；
由中点坐标公式可得线段的中点坐标为，C错误；
对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，故D正确.
11. 如下图是函数的部分图像，则（ ）
A. B. 是的一个对称中心
C. 的一条对称轴为D. 的单调递增区间为
答案：ACD
解析：
思路：结合图象求出解析式，然后逐项分析即可.
解答过程：根据图象得，故A正确；
时，，，，
故，因为，所以不是的一个对称中心，B错误；
，所以是的一条对称轴，C正确；
令，解得，．所以的单调递增区间为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，，则______.
答案：
解析：
解答过程：因为，
所以.
13. 在中，，，，D为BC的中点，则中线______．
答案：
解析：
解答过程：法1：由余弦定理，.
所以.
又，
所以，
所以.
法2：在中，由中线长定理可知，
则，解得．
14. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是_____．
答案：
解析：
思路：利用整体法，根据单调性可得，又在上恰好取得一次最大值，则，然后解不等式整合即可.
解答过程：，
又在区间上单调递增，
所以，解得，
，
又在区间上恰好取得一次最大值，
所以，
综上，.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足.
（1）求；
（2）若是方程的一个根，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用复数除法运算可求得，由复数模长运算可得结果；
（2）根据实系数方程根与系数关系可求得，由此可得的值.
（1）由得：，
.
（2）由（1）知：，则，
，解得：，.
16. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
（1）如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立.
（2）由于，可得，又有，
所以；
，故.
（3）由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故.
17. 在中，角，，所对的边分别为，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理求解即可.
（2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可．
（1）在中，，，
由余弦定理得，
得到，故.
（2）由（1）可知，因为，所以，，
设边上的高为h，则，可得，
故边上的高为．
18. 已知.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.
答案：（1）函数的最小正周期为，单调减区间为（）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果；
（2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果.
（1），所以函数的最小正周期为，
由，得：，
所以函数的单调减区间为（）.
（2）由，可得，
即，由，可得，
则，，即.
所以的取值范围为.
19. 在中，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值；
（2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值；
（3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围.
（1）因为在三角形中，由射影定理代入，
得，即，因为，所以.
（2）在三角形中，由（1）知，
由余弦定理得，
又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以周长.
因此周长的最小值为.
（3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，，
所以，解得.
又由正弦定理得，所以，
，
因为，所以，因此.
所以面积.