2025--2026学年吉林省吉林市田家炳高级中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年吉林省吉林市田家炳高级中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知i是虚数单位，若复数满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ）
A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°
5. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. 2C. D.
8. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数z满足，则（ ）
A. 的虚部为B.
C. z为纯虚数D. z和是方程的两个根
10. 如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 四棱锥的外接球的表面积为
11. 在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则是等边三角形
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
13. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______
14. 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，，且．
（1）求；
（2）求向量与的夹角；
（3）若，求实数k的值．
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面.
证明：
（1）；
（2）平面平面.
17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，.
（1）求a的值；
（2）求的值.
18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
（3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角A；
（2）若D是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，若复数满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
解答过程：解：，
则在复平面内对应的点为，位于第一象限．
2. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：在中，，所以.
3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：B
解析：
思路：先确定与的夹角，再求，进而可解出.
解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以，
所以，所以.
故B.
4. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ）
A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°
答案：C
解析：
解答过程：的面积，
所以，解得.
因为，
所以角的大小为30°或150°.
5. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
解答过程：球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得.
6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以.
设，，
则.
代入，得.
又，所以，解得.
因此.
7. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：C
解析：
思路：先取的中点，证明线面平行得出面面平行即可得出平面，再根据轨迹应用勾股定理计算求解.
解答过程：取的中点，连接，
因为，所以是平行四边形，
所以平面，不在平面内，所以平面，
同理可得平面，
平面，
所以平面平面，
则当点在线段上时，平面，
所以点的轨迹长度为.

故选：C.
8. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 4
答案：C
解析：
解答过程：由正弦定理可得，
又，
所以，
移项整理得，
若为直角，不满足原式，则，
所以可得，即．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数z满足，则（ ）
A. 的虚部为B.
C. z为纯虚数D. z和是方程的两个根
答案：ABD
解析：
思路：先应用复数乘除法运算得出，结合共轭复数计算判断A，B，C，再根据方程求解计算得出复数即可判断D．
解答过程：解：由题可得：，
故，所以，故A正确，C错误；
zz=1+i1−i=1−i2=2 ，故B正确；
因为，，所以，，故D正确．
10. 如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 四棱锥的外接球的表面积为
答案：ABD
解析：
思路：由已知中点，即可得出，，判断A项；进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出B项；根据面面平行的性质可知，点到平面的距离等于点到平面的距离.进而求出四棱锥的体积，即可根据等体积法得出的体积，即可判断C项；由已知可知，点即为四棱锥外接球的球心，求出半径，根据圆的表面积公式求解即可判断D项.
解答过程：对于A项，由已知E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，
所以有，.故A正确；
对于B项，由A知，
平面，平面，
所以，平面.
平面，平面，
所以，平面.
又，平面，平面，
所以有平面平面.故B正确；
对于C项，如图，设，，
则平面，且.
由B知平面平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离.
即.
连接，
因为，所以，
根据正四棱锥的性质可知平面.
又平面，
所以，.
又，
所以，.
所以，.故C错误；
对于D项，由C知，，，，
所以有，
所以，点即为四棱锥外接球的球心，半径，
表面积为.故D正确.
故选：ABD.
11. 在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则是等边三角形
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为
答案：ACD
解析：
思路：利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可．
解答过程：因为，
则，即，
则，所以，A正确；
因为，
所以，
所以，同理，点是的垂心，
又是边的中点，，易知是等腰三角形，
无法确定是等边三角形，B错误；
由题意知，，
所以，
又三点共线，则，
所以，
即，解得，C正确；
，
又三点共线，则，
因此，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
答案：
解析：
解答过程：∵ 向量，，
∴ ，.
根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为，
代入数据得投影向量为.
13. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______
答案：米
解析：
思路：设塔高，利用仰角关系将用表示，再在中应用余弦定理列方程求解正根得到塔高.
解答过程：设塔高米，由题意平面，因此：
在中，点仰角为，，得；
在中，点仰角为，​，得；
在 中，已知，，
由余弦定理得，
得， 化简得一元二次方程：，
解得 或（舍去），即塔高为30米.
方法提示：本题考查解三角形的实际应用，核心是利用仰角定义结合余弦定理解决高度测量问题，体现了数形结合与方程思想.
14. 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．

答案： ①. ②. 4
解析：
思路：将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可..
解答过程：如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．

设，由得，所以，
，．
在中，．
所以绳子的最短长度为．
如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离．
因为，即，所以，
所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为．
故，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，，且．
（1）求；
（2）求向量与的夹角；
（3）若，求实数k的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据得到，求出，再根据模长的坐标公式即可求解；
（2）利用向量夹角的坐标公式代入即可求解；
（3）利用向量平行的坐标表示即可求解.
（1）因为，，则，
又，且
所以，解得，
所以，故.
（2），，
所以，
又，因此，．
（3），，
因为，
所以，解得.
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面.
证明：
（1）；
（2）平面平面.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证.
（2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点.
而是的中点，则，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，所以.
（2）由，分别是，中点，得，
又平面，平面，则平面，
由（1）知，又平面，平面，则平面，
又，平面，所以平面平面.
17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，.
（1）求a的值；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：(1)利用余弦定理可得：进一步求解即可.
（2）利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可.
（1）中，，，，
由余弦定理可得，
即,
整理可得：，解得或(舍)，
所以；
（2）由余弦定理可得，
在三角形中，可得sin,
所以
18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
（3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）存在，，理由见解析
解析：
思路：（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案；
（2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论；
（3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论.
（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形，
因为，所以侧面积为，
所以正四棱锥的表面积为.
（2）连接,交于，则为中点，连接；
因为直线平面，且平面平面，
所以，
因为为中点，所以P为棱SD的中点.
（3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足.
理由如下:取SD的中点Q，连接BQ，
因为，所以，又为的中点，
在△中, ,又平面，平面，所以平面，
过Q作，交于，连接，
又平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，又平面,
所以平面，由，得,
由，Q为SD的中点，得，
所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC.
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角A；
（2）若D是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解．
（1）解：由正弦定理可知，
，
，
又，，
，
，，
，；
（2）解：由（1）及余弦定理得，即①，
又因为，则，
则，
即，
所以②，
由得，
所以；
（3）解：由（1）得，则，
即，
由正弦定理可知，，
所以b+c=23sinB+sinC=23sinB+32csB+12sinB
=232sinB+12csB=2sinB+π6．
因为为锐角三角形，所以，，
则，，
则，即，
则，
故的周长的取值范围为．