2025--2026学年广东省惠州市惠阳中山中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省惠州市惠阳中山中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了 已知复数，，则， 在中，已知，则， 在中，在上，，设，，则， 已知复数， 已知向量，，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
3. 在中，已知，则（ ）.
A. B. C. D.
4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
5. 在中，在上，，设，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交于点且，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
11. 在直三棱柱中，，则下列结论正确的有（）
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 该三棱柱可完全放入体积为的球中
C. 表面积为的球可以完全放入该三棱柱中
D. 若动点满足，则动点在侧面形成的轨迹长度为
三､填空题､本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若（，i为虚数单位），则_______.
13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m．
14. 已知等腰直角三角形的斜边，为三角形所在平面内任意一点，则的最小值为_________.
四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知，，其中表示的共轭复数.
（1）求；
（2）若，求的模.
16. 在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
17. 已知向量与的夹角为，且，，若，．
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求；
（3）当取最小值时，求向量与夹角的大小．
18. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，.
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
数学
满分150分，时间120分钟．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用复数的加法法则可得出复数的值.
解答过程：因为复数，，则.
2. 如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：D
解析：
思路：利用点、线、面的关系判断即得.
解答过程：点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误；
而直线在平面内表示为，C错误，D正确．
故选：D
3. 在中，已知，则（ ）.
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由余弦定理得.
4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
答案：A
解析：
解答过程：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
所以的面积为．
5. 在中，在上，，设，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用向量的线性运算即可.
解答过程：由 可得，，
.
故选：C
6. 已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：首先求出，，再根据在上的投影向量为计算可得.
解答过程：因为，，
所以，，
所以在上的投影向量为，所以.
故选：A
7. 如图，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交于点且，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
解答过程：由题意，
所以，而三点共线，故.
8. 古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，底座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，，，若从中取出干果后，干果的高度约下降一半，则剩余的干果的质量约为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用棱台的体积公式求出盛满干果的“笾”的体积、高度下降一半后的体积，再利用比例式求得答案.
解答过程：设正四棱台的高为，
则该四棱台的体积，
过正四棱台四条侧棱中点的平面截该棱台所得的两个几何体均为正四棱台，
则截得较小的正四棱台体积，
设剩余的干果的质量约为，依题意，，则，
所以剩余的干果的质量约为.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
答案：ABD
解析：
思路：A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B正确；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可.
解答过程：A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B正确；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C不正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
答案：AC
解析：
思路：利用向量的坐标运算计算即可.
解答过程：对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；
对于D选项，依题意，，且，，
故，故D选项错误.
11. 在直三棱柱中，，则下列结论正确的有（）
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 该三棱柱可完全放入体积为的球中
C. 表面积为的球可以完全放入该三棱柱中
D. 若动点满足，则动点在侧面形成的轨迹长度为
答案：ACD
解析：
解答过程：对A，直三棱柱的侧面由三个矩形组成：
矩形：面积
矩形：面积
矩形：底面，面积
侧面积总和为，A正确
对B，因为，且直三棱柱的侧棱垂直底面，可将三棱柱补成一个边长为2的正方体，
其外接球即为三棱柱的外接球，直径为正方体的体对角线：
体对角线长，故外接球半径，
体积，B错误
对C，表面积为的球，半径满足.
三棱柱的底面是直角三角形，其内切圆半径，
且侧棱长度为2，远大于球的直径1，因此球可以完全放入，C正确
对D，以中点为原点，建立空间直角坐标系如图所示
则
设在侧面上，则，
且，即
在侧面轨迹是以为圆心，半径的圆的一部分，如图所示
而侧面是边长为和的矩形，易求得截面圆在侧面内的部分是一段圆心角为的圆弧，
长度为，D正确
三､填空题､本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若（，i为虚数单位），则_______.
答案：3
解析：
解答过程：因为，
所以由.
13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m．
答案：
解析：
思路：在中，根据正弦定理求得，再利用直角三角形中边角关系求得树高．
解答过程：在中，由正弦定理得：，
即，得，
又，
则
则树高．
故．
14. 已知等腰直角三角形的斜边，为三角形所在平面内任意一点，则的最小值为_________.
答案：
解析：
思路：建立合适的直角坐标系，设，写出相关向量的坐标，计算出，则可得到其最小值.
解答过程：以所在直线为轴，以边上的高所在直线为轴，
建立如图所示直角坐标系：
为等腰直角三角形，，所以易得，
故,，设，
则，，
则，
，
当，时，的最小值为，
故答案为.
四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知，，其中表示的共轭复数.
（1）求；
（2）若，求的模.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求出，利用复数的除法可求得复数；
（2）利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
（1）解：因为，则，
因为，则.
（2）解：，
因此，.
16. 在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
答案：（1）
（2）.
解析：
思路：（1）利用二倍角公式化简即可求得.
（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.
（1）由，得，
在中，，
在中，.
（2），
由余弦定理得，
，，
的周长为.
17. 已知向量与的夹角为，且，，若，．
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求；
（3）当取最小值时，求向量与夹角的大小．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量垂直则数量积为，把代入展开，先由向量模长和夹角算出、与，再代入等式解方程求出的值.
（2）求向量模长先平方，将整体平方展开，借助向量平方等于模长平方、数量积运算，代入已知数值算出模长平方，再开方得到.
（3）把整理成关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小时的，再求出此时和，套用向量夹角余弦公式求出夹角大小.
（1）由题可知，，.
，代入，展开得.
代入得，化简，解得.
（2）因为，所以.
代入得，故.
（3），当时，取得最小值，此时.
计算，.
设向量与的夹角为，则，易知，
故.
18. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解；
（2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积.
（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长，
由，可得，即母线，
在中，由余弦定理可得
所以爬行的最短路程为；
（2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，
从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，
又圆锥的表面积为，
所以剩下几何体的表面积，
剩下几何体的体积为.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，.
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
答案：（1）
（2）-2 （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求；
（2）利用余弦定理可求得，结合三角形的面积关系可求得，利用向量的数量积的定义可求结论；
（3）设，则，，，其中，利用正弦定理可得，，利用三角恒等变换和正弦曲线可求得的取值范围.
（1）由，得，
所以，
所以.，
所以，
因为，所以，
可得，又，所以；
（2）由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点，
则，
由可得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又，
故，
可得.
所以；
（3）设，则，，，
其中，
在中，由正弦定理可得，即，
则，
在中，由正弦定理可得，即，
则，
，
又
，
又，
所以的取值范围是.