2025--2026学年广东惠州市第一中学高二下册期中阶段考试数学试题 [含解析]

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1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A. B. C. D.
3. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A. B. C. D.
4. 与圆都相切的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
5. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､信仰信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ）
A. 360B. 450C. 540D. 1020
8. 设，，，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知随机变量X的分布列为
下列结论正确的（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 的最小值为
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
11. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ）
A. 的离心率为
B. 存在直线，使得
C. 为定值
D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
14. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17. 设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18. 已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 都相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 上，且 ， 求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 面积的最小值.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据基本初等函数的导数公式及导数运算法则逐项判断即可．
解答过程：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
2. 和的等差中项与等比中项分别为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据等差中项和等比中项的定义即可求解．
解答过程：和的等差中项为，
和的等比中项为．
3. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分步乘法计数原理即可求解．
解答过程：由题可知，不同报法的种数是．
4. 与圆都相切的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
答案：C
解析：
思路：
求得两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的位置关系的条件判定两圆相外切，从而得到公切线的条数.
解答过程：的圆心坐标为,半径为；
化为标准方程为,
圆心坐标为,半径为，
圆心距,
∴两圆相外切，
故两圆的公切线有3条.
故选：C.
方法提示：本题考查两圆的公切线的条数，关键是判定两圆的位置关系，当两圆相离时有4条公切线，当两圆外切时，有3条公切线，当两圆内切时有1条公切线，当两圆相交时，有2条公切线，当两圆内含时没有公切线.
5. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用条件概率公式求解即可.
解答过程：记事件为“四月份吹东风”，事件为“四月份下雨”，则
，
所以，
故选：D
6. 已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：A
解析：
思路：由双曲线的渐近线及点到直线距离公式得出，即可求解离心率．
解答过程：设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，
则顶点到渐近线的距离，
所以离心率．
7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､信仰信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ）
A. 360B. 450C. 540D. 1020
答案：C
解析：
思路：分类讨论人数之比为，根据平均分组或部分平均分组结合排列数、组合数运算求解.
解答过程：由题意可知：三个景点安排的人数之比为或或，则有：
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
故不同的安排方法种数是.
故选：C.
8. 设，，，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.
解答过程：令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述.
故选：D.
方法提示：关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知随机变量X的分布列为
下列结论正确的（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 的最小值为
答案：BC
解析：
思路：根据分布列的性质结合已知条件判断各个选项即可.
解答过程：对于A，由题意得，若，则，A错误；
对于B，若，则，，B正确；
对于C，若，则，又，所以，C正确；
对于D，由，得，
，
因为，，所以取不到，D错误.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
答案：ACD
解析：
思路：求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
解答过程：对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
11. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ）
A. 的离心率为
B. 存在直线，使得
C. 为定值
D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
答案：ABC
解析：
思路：求得椭圆的离心率可判断A；设直线的方程为，，联立方程组，利用弦长公式求得，进而可求的最大值，最小值，可判断B；求得可判断C；求得变换后的轨迹方程判断D.
解答过程：由椭圆，可得，所以，
所以椭圆的离心率为；故A正确；
可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，

联立，消去，可得，整理得，
所以，
所以
，
同理可得，
，当时，，且
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，，
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故C正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
答案：4
解析：
思路：将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
解答过程：由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故4.
方法提示：本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
答案：-28
解析：
思路：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
解答过程：因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故-28
14. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.
答案： ①. 32 ②.
解析：
思路：第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.
解答过程：（1）的可能值为0，1.故五维立方体的顶点有个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点
样本点总数：
当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同.
满足的样本点个数为.
所以.
故分布列为：
.
故32；.
方法提示：关键点点睛：本题第二空关键在于确定当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同，再由求出概率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
答案：（1）8 （2）
解析：
思路：（1）利用二项式系数的性质求出值.
（2）由（1）的结论，利用赋值法求解.
（1）由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，
所以.
（2）由（1）知，，
取，得，取时，，
所以.
16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
答案：（1）；
（2）分布列见解析，.
解析：
思路：（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
17. 设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
答案：（1），，，证明见解析；（2）.
解析：
思路：（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
解答过程：（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
方法提示：（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
18. 已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 都相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 上，且 ， 求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 面积的最小值.
答案：（1）；
（2）①或；②.
解析：
思路：（1）设，由两圆外切的条件和直线和圆相切的条件，列方程，化简方程，即可得出点的轨迹的方程；
（2）①由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出韦达定理，根据中点及，代入计算可得；②先设直线再联立应用与圆相切得出，再表示出的面积，再利用导数求出面积的最小值.
（1）设，动圆的半径为，
圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，
可得，
化为，
所以点的轨迹的方程为：．
（2）①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上，
所以，联立，
解得坐标分别为，所以，不合题意；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，
联立，化为，
，解得．
所以，，
因为若线段AB的中点在直线上，且 ，
可得，
所以或，
所以直线的方程为：或；
②设直线：，，
联立 ，
，
，，
因为直线AB与圆D相切，即，所以，
直线与x轴的交点为，
则的面积
，
设，，故，
即在上单调递增，
所以在处取得最小值，即，
故面积的最小值为.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值.
答案：（1）
（2）答案见解析 （3）
解析：
思路：（1）求导，利用导数判断的单调性和最值；
（2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间；
（3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值.
（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知的单调递减区间是，单调递增区间是；
所以函数的最小值为.
（2）由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，令解得，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且为整数，则，所以整数的最大值是.
X
0
1
P
X
0
1
P
X
1
2
3
4
5
P
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06