广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（有答案 有解析）

这是一份广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（有答案 有解析），共12页。试卷主要包含了函数的图象大致为，已知函数，下列结论正确的是，已知下列四个命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
3．设，；是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．0B．C．2D．1
4．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A．B．2C．4D．
5．已知中，角，，的对边为，，，且，，的面积为3，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．在区间上单调递减
C．在区间上有3个零点D．的最小值为
8．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
10．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则B．若，则
C．若，则的最大值为2D．
11．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．D．在上的实数根之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，若，则________．
13．如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为________海里．
14．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，若，求的值．
16．（本小题满分13分）
在中，角、、所对的边为．
（1）求角B的大小；
（2）若面积为，周长为5，求b的值．
17．（本小题满分15分）
如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、．
（1）画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积；
（2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
18．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”。
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
惠州中学2024-2025学年高一年级第二学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
4．【详解】将直观图还原为原图，如图所示，
则是直角三角形，其中，，故的面积为．
5．【详解】因为，所以，由，可得，
根据余弦定理，，所以，故选C．
6．【详解】，由，可得：，又，可知函数为奇函数，排除BD，
又，排除C，故选：A
7．【详解】函数的定义域为，
对于A，，是偶函数，
又，因此不是奇函数，A错误；
对于B，当时，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，B错误；
对于C，当时，，由，得，
当时，，由，得或，因此在区间上有3个零点，C正确；
对于D，当时，，，
由是偶函数，得，，D错误．
8．【详解】作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，，，且横坐标分别，，，由，得，则有，所以，所以．
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点、两点关于直线对称，所以．则．
令，解得或，所以，
所以．
二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【详解】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，即选项A正确；对于选项B，四边形中有，由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，即选项B正确；对于选项C，，，则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；对于选项D，，，则，，则向量在向量上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为，即选项D正确．
10．【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，
对于B，，因为，所以，从而，所以B正确；对于C，由复数模的三角不等式可得，所以C正确；对于D，，所以D正确．
11．【详解】对于A，由于函数是定义在R上的奇函数，故，
由，令，则，，则，A正确；对于B，由，得，即，
故，即8为函数的一个周期，由，可知函数的图象关于直线对称，又当时，，故可作出函数的图象如图：
由图象可知在上单调递减，B错误；对于C，由于函数是定义在R上的奇函数，且满足，故，C正确；
对于D，当时，显然不满足，故的根即的根，
也即函数，的图象的交点的横坐标，作出，的图象如图：
由于，均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0．
三、填空题
12． 13． 14．
13．【详解】由题意知：，，
所以，又，
由正弦定理知：，则海里．
14．【详解】如图，记该八面体为，为正方形的中心，则平面
设，则，解得．
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为．
若球在正八面体内，则球半径的最大值为到平面的距离．
取的中点，连接，，则，
又，，平面
过作于，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为．
四、解答题
15．【详解】解：（1），，
即
的最小正周期是
（2）由，得，
，，
，
．
16．【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，
．
又，
代入整理可得，．
因为，所以．
又，所以．
（2）由及可得，
又周长为5，则，所以
据余弦定理可得，，
整理可得，．
17．【详解】（1）由（1）可知，截面为梯形，作对图
，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为
（2）多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为．
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
18．【答案】解：（1）若在上单调递增，
则在上单调递增，
则需满足，
解得，
故的取值范围为；
（2），
由于，则，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，
故，因此对任意的恒成立
因此，即对任意的恒成立，
故，即对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故，故的取值范围为．
19．【详解】（1）不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
，则该方程无解，
函数不存在“飘移点”．
（2）对于，则，
整理得，
在内连续不断，且，，
在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”．
（3）对于，则，
即，
，则，
令，则，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
则，，
，即，
故实数的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
C
C
A
C
A
题号
9
10
11
答案
ABD
BCD
ACD