2025--2026学年广东惠州市惠东县高一下册期中质量检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东惠州市惠东县高一下册期中质量检测数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则（ ）
A. 4B. C. 2iD.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
3. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ）
A. 8B. C. D. 4
4. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D.
5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
7. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）
A. 63颗B. 126颗C. 378颗D. 504颗
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10. 设复数z满足，则以下结论正确的是（ ）．
A. z在复平面上对应的轨迹是圆
B. 的最大值为2
C. 的最小值为0
D. 复数z的虚部取值范围是
11. 在中，已知，，，若，则（ ）
A. B.
C. 是在上的投影向量D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.，
12. 定义运算．若复数，，则_____________，_____________．
13. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________
14. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数的值；
②求证：、、三点共线.
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值及的面积.
17. 已知函数．
（1）求函数的周期、单调增区间、对称中心；
（2）当时，求函数的值域；
（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．
18. 已知函数，其中t为常数.
（1）当时，恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：
19. 已知定义在R上的函数满足，且当时，．
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
数学
试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则（ ）
A. 4B. C. 2iD.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以．
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：
解答过程：
3. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ）
A. 8B. C. D. 4
答案：C
解析：
思路：首先需要由斜二测画法规则还原平面图形，由条件求出，由勾股定理可求出.
解答过程：根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示，
原图中，，，所以.
4. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D.
答案：B
解析：
思路：根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项．
解答过程：选项A，取，满足，但不成立，A错；
选项B，设，，则，B正确．
选项C，取，满足，但，C错；
选项D，取，则，，D错；
故选：B．
5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可.
解答过程：设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；
由题可知：，，解得；
设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，
显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：

若要满足题意，则，也即，，解得，
故，则该圆台外接球表面积.
故选：B.
6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
答案：A
解析：
思路：由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可.
解答过程：因为，，所以，
方法一：设（），
则，
所以，
所以，解得；
方法二：因为三点共线，
由三点共线的性质定理可知，所以．
故选：A
7. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解．
解答过程：以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则
，，
设，则，，
，
令，则，
，可得.
故选：D．
8. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）
A. 63颗B. 126颗C. 378颗D. 504颗
答案：B
解析：
思路：由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案
解答过程：作出轴截面图如图，由题意，
设，则，解得，
则最大放入珍珠的体积，
一颗珍珠的体积是，由，
所以最多可以放入珍珠126颗.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
答案：ABC
解析：
思路：根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论.
解答过程：对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．
对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．
对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.
故选：ABC.
10. 设复数z满足，则以下结论正确的是（ ）．
A. z在复平面上对应的轨迹是圆
B. 的最大值为2
C. 的最小值为0
D. 复数z的虚部取值范围是
答案：ABC
解析：
思路：利用复数的模的几何意义，可判断A，应用不等式的性质判断B，C，把点的坐标代入，特殊值法可判断D.
解答过程：设（为虚数单位），则表示点与之间的距离.
对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确；
对于B， ，当时即可取最大值，故B正确；
对于C，，当时即可取最小值，故C正确；
对于D，因为，则符合题意，故D错误.
故选：ABC.
11. 在中，已知，，，若，则（ ）
A. B.
C. 是在上的投影向量D.
答案：BC
解析：
思路：根据向量的线性运算以及投影向量的求法判断各选项的准确性.
解答过程：对于，由，则有，即，
所以可得，故错误；
对于，因，，
展开则有，移项整理可得，故正确；
对于，由投影向量求法可知在上的投影向量为，
因为，，，
代入上式可求得在上的投影向量为，
故正确；
对于，
，
故错误.
故选：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.，
12. 定义运算．若复数，，则_____________，_____________．
答案： ①. 1 ②.
解析：
思路：先由复数的运算计算和，将其代入到，再根据题干的定义运算进行求解即可.
解答过程：由题意可得，则；
所以．
13. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________
答案：
解析：
思路：设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.
解答过程：设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
则，，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围是.
14. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.
答案：
解析：
思路：玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积.
解答过程：因为圆筒内径长为，所以内圆半径.
外径长为，所以外圆半径
上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:
上下外圆柱体积+中部正方体体积
=
空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
所以玉琮的体积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数的值；
②求证：、、三点共线.
答案：（1）（2）①；②证明见解析
解析：
思路：（1）利用首尾相接法即可得到；
（2）①利用向量的共线定理列出方程即可解出；②A、B、D三点共线即和共线，先运用向量加法求出，再证明其与共线即可.
解答过程：（1）如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是，
（2）①和共线，则有，，
因为非零向量，不共线，所以有且，得即；
②，
因为，所以和共线，所以A、B、D三点共线.
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值及的面积.
答案：（1）
（2）;
解析：
思路：（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得；
（2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积.
（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
17. 已知函数．
（1）求函数的周期、单调增区间、对称中心；
（2）当时，求函数的值域；
（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．
答案：（1）周期；单调增区间为，；对称中心，
（2） （3）
解析：
思路：（1）先综合使用三角恒等变换公式对三角函数化简，再求正弦函数的周期、单调增区间、对称中心.
（2）先确定条件下正弦函数的定义域，再确定值域.
（3）化简方程，求出3个实数根和4个实数根的临界点，结合开区间确定取值范围.
（1）先化简函数：
.
所以函数的周期.
由，，
所以单调增区间为，.
由横坐标为，，纵坐标为，
所以对称中心为，.
（2）由，得，，所以.
（3），解得，
所以当有3个实数根时，依次为，，；
当有4个实数根，此时为临界点，
由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.
18. 已知函数，其中t为常数.
（1）当时，恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：
答案：（1）
（2）①；②证明见解析
解析：
思路：（1）根据同角三角函数的关系，可得的解析式，令，根据x的范围，可得u的范围，根据二次函数的性质，即可得答案.
（2）①令，根据x的范围，可得u的范围，令，则与的图象有2个不同的交点，根据图象，可得t的范围.
②由①得，不妨设，根据图象及t的范围，可得n的范围，根据辅助角公式，将所求进行化简，根据n的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得证.
（1）由题意，
令，因为，所以，
则，即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，则的最大值为，
所以，解得，故实数t的取值范围为.
（2）①令，因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令为开口向下，对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，
由图象可得，则t的取值范围是.
②由①得为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即.
19. 已知定义在R上的函数满足，且当时，．
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
答案：（1），证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
解析：
思路：（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义证明即可.
（2）根据给定的等式，利用增函数的定义证明即可.
（3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得.
（1）定义在上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
即，
所以为奇函数.
（2），则，由当时，，得，
，
所以在上是增函数.
（3）由，得，
不等式，
则，由（2）知，，即，解得或，
所以原不等式的解集为.