2025--2026学年广东广州市真光中学高一下册期中阶段测试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东广州市真光中学高一下册期中阶段测试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了 设，则=， 已知集合，，则， 设正实数，满足，则的最小值为， 函数y=的图象可能是， 已知，，则．， 已知向量，，下列结论正确的是， 函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求.
1. 设，则=（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
4. 函数y=的图象可能是
A. B.
C. D.
5. 已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（ ）

A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 的单调递减区间为
11. 某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ）
A. 该几何体可能是三棱锥
B. 该几何体可能是四棱柱
C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间是__________.
13. 已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为____．
14. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________.

四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数且为奇函数.
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）解不等式；
16. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18. 在中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
19. 为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数
（1）当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数；
（2）若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围；
（3）设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围.
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，作答用时120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求.
1. 设，则=（ ）
A. B. C. D. 2
答案：B
解析：
思路：对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案；
解答过程：，
故选：B.
方法提示：本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.
解答过程：由不等式，解得，即，
又由，解得，即，所以.
故选：C．
3. 设正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
答案：C
解析：
思路：根据基本不等式“1”的妙用计算求解.
解答过程：，
当且仅当，时取等．
4. 函数y=的图象可能是
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
5. 已知，，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：
求出，根据判断，从而可得答案.
解答过程：因为，所以，则，
又因为，
所以，
所以，
故选：D.
6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
答案：A
解析：
思路：由投影向量公式化简可得，结合化简即可求解.
解答过程：由于向量在向量上的投影向量为，所以，则,
由于,
则.
7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
解答过程：球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得.
8. 如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（ ）

A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：设，矩形面积为，求面积的函数的表达式，结合正弦函数性质求其最大值即可.
解答过程：设，矩形面积为，
扇形的半径为，圆心角为，
所以，，，
所以．
化简得：，，
当，即时，
取最大值．
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
答案：AC
解析：
思路：利用向量的坐标运算计算即可.
解答过程：对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确；
对于D选项，依题意，，且，，
故，故D选项错误.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C.
D. 的单调递减区间为
答案：ABD
解析：
思路：利用给定的函数图象，求出解析式中各参数，结合正弦函数的性质逐项判断作答.
解答过程：观察图象知，，函数的周期，则，，A正确；
由，，得，C错误；
所以，
由，得函数的图象对称轴为，
当时，，B正确.
由，得，
因此函数的单调递减区间为，，D正确.
11. 某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ）
A. 该几何体可能是三棱锥
B. 该几何体可能是四棱柱
C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
答案：AC
解析：
思路：先明确各选项中几何体的表面三角形数量特征：因为三棱锥表面有4个三角形面，所以先分析8块全等三角形能否拼接成三棱锥；分析四棱柱的表面构成：因为四棱柱表面是4个四边形和2个多边形底面，若要由三角形拼接，需将四边形面拆分为三角形，结合8块全等三角形的条件，判断是否可行；针对三棱柱的拼接，分别考虑等腰三角形和直角三角形的情况：若用等腰三角形拼接三棱柱，需考虑三棱柱的面的数量和形状匹配度；若用直角三角形拼接，需结合直角三角形的特性，分析能否对应三棱柱的面的拼接需求.
解答过程：对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，
像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；
对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；
对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，

要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，
必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可，
实际上，当时，，
在中，，
则，
则，即可得，即此时即可满足题意，C正确；
对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，
设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，
因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，
则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间是__________.
答案：
解析：
思路：首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可．
解答过程：解：令，解得或，所以的定义域为，
因为的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为函数在定义域上为减函数，
所以的单调增区间为．
13. 已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为____．
答案：m ≤ - 或m≥1.
解析：
解答过程：试题分析：当时，，当时，有最大值；当时，，故函数的最大值，对任意的，不等式恒成立，只需
，解得或，故答案为或.
考点：1、分段函数的值域；2、恒成立的问题.
14. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________.

答案：
解析：
思路：根据题意，由圆的方程可得，然后求代入计算，即可得到结果.
解答过程：
设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接，
过做与轴正方向平行的射线，交圆于，
设，因为圆的方程为，
故设，
又单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，
所以，可得，则，
，所以.
故
四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数且为奇函数.
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）解不等式；
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解；
（2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解；
（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数，
则，解得，所以，
则，所以满足题意，
又，所以，则，所以函数的值域为.
（2）由（1）知，由，得到，
整理得到，解得，所以不等式的解集为.
16. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；
（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.
（1）由直三棱柱性质可得，，
由D，E分别是，的中点，则，，
则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）由，，则，
故为等腰直角三角形，则点到的距离为，
则点到的距离为，
由为的中点，则点与点到平面的距离相等，
故.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）求角；
（2）若是线段的中点，且，求；
（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.
（1）由正弦定理可知，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵，∴，
∵，∴．
（2）由（1）及余弦定理得，即，①
又因为，则，
则，
即，
所以，②
由得，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以
．
因为△ABC为锐角三角形，所以，，
即，，
则，即，
则，
故△ABC的周长的取值范围为．
19. 为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数
（1）当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数；
（2）若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围；
（3）设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围.
答案：（1）是，证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）直接根据平缓函数定义即可判断；
（2）由平缓函数定义将题意转化为恒成立问题即可；
（3）根据对称轴与区间的关系求出，依据定义求，最后再利用分类讨论思想解即可.
（1）在区间上为平缓函数，证明见解析
当时，，
对任意，
，
因为，所以，得，
所以，满足平缓函数定义，
所以时，在区间上为平缓函数.
（2）由定义得，
令，，则恒成立
即，需，解得，
所以的取值范围为.
（3）由于，
当时，；
当时，；
当时，；
由定义可得，
令，，则恒成立，
即对恒成立，
比较与的大小，
当时，；当时，；
由题意得，
当时，无解；
当时，若，有，得；
若，有恒成立；
即；
当时，恒成立，
综上所述，的取值范围为.