2025--2026学年广东省广州市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省广州市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.）
1. 若直线，直线，则直线a与b的位置关系是
A. 相交B. 异面C. 异面或平行D. 平行
2. 若，则实数，的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
4. 设，若，则（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
5. 已知向量，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共8小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.）
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角为90°
B.
C. 直线平面
D. 三棱锥的体积为1
11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ）
A. 的面积为B.
C. 若，则D. 的取值范围为
三、填空题（每小题5分，共16分，把正确答案填写在答卷相应位置上.）
12. ______.
13. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___．
14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________．
四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求.
16. 已知函数，.
（1）求的最小正周期，并求在上的单调减区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17. 已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角”
（1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值；
（2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：；
（3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由.
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.）
1. 若直线，直线，则直线a与b的位置关系是
A. 相交B. 异面C. 异面或平行D. 平行
答案：C
解析：
思路：由题意，直线a∥α，可得直线与面没有公共点，故直线与面的线 没有公共点，由此关系即可得出直线a与b的位置关系．
解答过程：由题意直线a∥α，直线b⊂α，可得直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行
故选C.
方法提示：本题考点是空间中直线与直线的位置关系，考查了线与面平行时，线与面内的线之间位置关系的判断，解题的关键是理解线面平行的定义及空间中线与线之间的位置关系，本题考查了空间想像能力及推理判断能力．
2. 若，则实数，的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解析：
解答过程：由复数相等的充要条件得，解方程组即得，.
3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
答案：B
解析：
思路：由正弦定理边化角，化简后即可求解.
解答过程：在中，，
因此可得 ，，
将其代入已知条件 ，
因为是三角形内角，，所以，
又是三角形内角，故，
所以此三角形是直角三角形.
4. 设，若，则（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
答案：B
解析：
解答过程：函数，
由题意可知，，恒成立，则且.
5. 已知向量，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量的坐标列方程组，将其平方相加求出，再结合得出，即可求出.
解答过程：由题意得，，
则，分别对两式平方得
两式相加得，即，
∵，∴，∴．
又由，且，所以，
解得：，，所以．
6. 已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据x的范围，确定，由题意结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案.
解答过程：由题意知函数，当时，，
因为在上恰有2个不同零点，
∴，
∴，即正实数的最小值是，
故选：A.
7. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ）
A. B. C. D. 2
答案：D
解析：
思路：利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解.
解答过程：扇形弧长为，圆锥底面周长为，故：
母线长，根据勾股定理：
设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积：
代入,得函数仅在时定义，即.
解，即
此时
故选：D.
8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解.
解答过程：因为，，，
由余弦定理得：，所以.
因为，所以，
又因为，所以为正三角形.
则当为线段的中点时，，即取最小值，
此时；
又因为，，三点共线，所以，
由平面向量基本定理，得，解得.
二、多选题（本大题共8小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.）
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.
解答过程：由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.
所以AC选项错误，BD选项正确.
故选：BD
10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角为90°
B.
C. 直线平面
D. 三棱锥的体积为1
答案：AC
解析：
解答过程：A：由正方体的性质可知：平面，
因为平面，
所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确；
B：由正方体性质可知：，所以有，
因为，所以不成立，因此本选项结论不正确；
C：连接，由正方体的性质可得：，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面，故本选项结论正确；

D：由正方体的性质可得：平面
三棱锥的体积为，故本选项结论不正确；
11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ）
A. 的面积为B.
C. 若，则D. 的取值范围为
答案：ACD
解析：
思路：根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D.
解答过程：对于A，由，所以，故A正确；
对于B，由，可得，所以，故B错误；
对于C，，又，，
所以，即，
所以，即，所以，
即，所以，
由为锐角知，故解得，故C正确；
对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图，
所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且，
令，且，则在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当或时，，所以，
即的取值范围为，故D正确.
三、填空题（每小题5分，共16分，把正确答案填写在答卷相应位置上.）
12. ______.
答案：1
解析：
思路：根据复数乘方、复数的模等知识求得正确答案.
解答过程.
13. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___．
答案： ①. 棱柱 ②.
解析：
思路：根据棱柱的定义判断容器中的水形成的几何体为棱柱；不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可.
解答过程：当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点，
此时平面平面，其余各面都是平行四边形，
且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱；
设当底面水平放置时，液面高度为，
依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处，
，
所以水的体积，解得.
故棱柱；
14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________．
答案：##
解析：
思路：如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长.
解答过程：
由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为.
设圆为的内切圆，该圆与的切点为，
圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线.
因为，故，
故，故（负值舍去），
同理，
设，则，，
故且，
所以，即，
故，故（负值舍去）.
故，而为锐角，
故，而，因为锐角，
故，，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
故，故，故.
四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解，
（2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解.
（1）由题意知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即，
又，所以.
（2）因为的面积为，解得，
所以，
由余弦定理得，所以.
16. 已知函数，.
（1）求的最小正周期，并求在上的单调减区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）化简函数解析式，根据正弦函数最小正周期公式和单调递减区间即可求解；
（2）根据正弦函数单调性求出的值域，再利用的最值即可求解.
（1）.
则的最小正周期；
令，解得，
当时，，当时，范围不在内，
故在上的单调减区间为.
（2）当时，，
则，故，
由不等式恒成立，即恒成立，
则，
的取值范围是.
17. 已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）且，．
（2）且，，
又，，又，
，．
（3）由（1）（2）知，，
，
又，．
18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
解析：
思路：（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可；
（3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可．
（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以D，B，F，E四点共面；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）存在，且，理由如下：
因为，
所以，
，
又，
，
平面，平面，
平面，
延长交于，延长交于，连接，

为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，，
，又，即，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
平面平面，
所以时，平面平面．
19. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角”
（1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值；
（2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：；
（3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由.
答案：（1）1 （2），其中
（3）不存在，理由见解析
解析：
思路：（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出；
（2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验；
（3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验.
（1）因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则，
因，则，故，则，则，
在中利用正弦定理，则化简为，
即，
在中，，则，
得，若，则，
则角均为钝角，不满足题意；若，则，
则角均为锐角，满足题意，故.
（2）对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，
则对，，有或，其中为常数，
若，由的任意性可得，
取，则；
取，则，故，其中为整数；
取，则，故，其中为整数；
故，矛盾；
故，
则当时，，则，
检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数，
故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”.
（3）不存在，理由如下：
假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”，
若互为“x级绝配角”有或①；
若互为“x级绝配角”有或②；
若互为“x级绝配角”有或③，
则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个，
共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可，
即，或,
（i）若，
因，则均为正数，
则，
由，则，则，
因函数在上单调递减，则，故均为锐角，
则化简为，
则，则或（舍），
故，
检验：当时，化简为，
则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”.
（ii）若，
若角为钝角，则由可得，，
则由，得，则角为钝角，不符合题意，
故为锐角三角形且；
又
，
则，即，则，
将其代入中得，
，，
则为等边三角形，
检验：当时，化简为，
则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”.
综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”