广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试 数学试题

这是一份广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试 数学试题，共12页。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2. 已知与为非零向量，，若三点共线，
则（ ）
A．3B．2C．1D．0
3.已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A.（-5,8） B.13，0 C.（7，-10） D.或
4.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
6. 已知向量满足， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．重心 C．内心D．垂心
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（ ）
A．点P所满足的函数表达式为；
B．点P第一次到达最高点需用时5秒；
C．P再次接触水面需用时10秒； D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米.
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则；
B．若，则有两解；
C．若，则为锐角三角形；
D．若，则为等腰三角形或直角三角形.
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题中，为真命题的是（ ）
A.；
B.；
C.在上的投影向量为；
D.若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 .
13．“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ．
14．在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则 ；若，，则△ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知，，且．当为何值时，
（1）向量与互相垂直； （2）向量与平行.
16.（本小题满分15分）
如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点.
（1）求； （2）求的值.
17．（本小题满分15分）
如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）.
（1）求证：为定值；
（2）设的面积为，的面积为，
求的取值范围.
18．（本小题满分17分）
已知向量，函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点
的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在∆ABC中，，，对应的边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，例如：对于任意的xi,yi∈R, n∈N∗. 都有
x1 y1 +x2 y2+⋯+xn yn 2≤ x12+x22+⋯+xn2∙y12+y22+⋯+yn2
（等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=⋯⋯=xnyn 时成立）被称为柯西不等式；在（1）的条件下，
若，求：的最小值.
高一下学期3月月考数学试题参考答案
一、单选题：（共8小题，共40分）
二、多选题：（共3小题，共18分）
三、填空题：（共3小题，共15分）
12．； 13.206； 14．；；（2分+3分）
【解析】8．B；
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为. 故选：B
14．；；（2分+3分）
【详解】第一空，因为P是MC的中点，所以，
又因为，所以，所以，
即，所以；
第二空，设，则，
因为点D在BC上，所以，即，所以，所以，
因为，即，
设分别为所对边，所以，
即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，
因此△ABC面积的最大值为为. 故答案为：；.
15．（1）或；（2）.
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，∴， 分
若向量与互相垂直，则，
∴，
∴，
∴，解得或. 分
（2）因为，即，
则，所以不共线，
若向量与平行，则存在实数使得成立，
所以且，解得. 分
16．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，由余弦定理知：
，
所以. 分
（2）设，因为分别为的中点，
所以.
因为，
所以，
.
又，.
所以.
（也可以利用建系的方法，参照给分）分
17. （1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）设，于是，
又，，、，
，，
，根据向量的运算法则可知
，
，
三点共线，
，整理可得：
，即，
故为定值，定值为； 分
（2）设，，
，
，
，
，，
. 分
18．（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）因为，
所以即，k∈Z.
又因为，所以函数在上的单调递减区间为.
分
（2）若，则，所以.
因为，所以，
所以， 则
故. 分
将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个
单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
则，
当时，
由方程有一解，可得的取值范围为．
分
19．（1）；（2）；（3）48.
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；分
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及分
（方法二）以AB所在的直线为轴，
A为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以； 分
（3）根据柯西不等式（n=3）：
（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.
分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
B
A
D
A
B
C
C
B
题号
9
10
11
选项
BC
ACD
BCD