广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共四大题，共19小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故B不能构成基底，
和不共线，故C能构成基底，
根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，
故选：B
2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
3. 已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设有，设并应用线性关系的坐标表示列方程求点坐标.
【详解】令，由点在直线上，，则，
所以，则，可得，
，则，可得，
所以点的坐标为或.
故选：D
4. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求.
【详解】在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5. 已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平移求出函数，由是偶函数求出，进而得出的值．
【详解】∵函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数，
又函数是偶函数，∴，∴．
由，可得，
∴，，
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查图象的变换，考查奇偶性的应用，属于基础题．
6. 已知向量满足， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方的方法化简已知条件，从而求得
【详解】依题意， ，
两边平方得：，
，
，
两式相减并化简得，
所以，
由于，所以
故选:C
7. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则最大值为.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（ ）
A. 点P所满足的函数表达式为
B. 点P第一次到达最高点需用时5秒
C. P再次接触水面需用时10秒
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A错误；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：BC
10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若A＞B，则
B. 若，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边角互化即可判断D.
【详解】对于A，所以函数在上单调递减，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，∴，
此时无解，故B错误；
对于C，∵，为三角形的内角，
∴，可知A，B，C均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于D：∵，所以由正弦定理可得，又,
因此，
∴，∴，b＝a或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：ACD．
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A
B.
C. 在上的投影向量为；
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D.
【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，故A错误；
对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设的夹角为，则，
其中为定值，只需最大即可，，
延长交延长线于，当在线段上运动时，最大，
易知为等腰直角三角形，且，
则在中，，
在等腰三角形中，，
则，
综上，BCD正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由题得，则，又，
.
故答案为：.
13. “天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理计算可得，结合计算即可求解.
【详解】因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
则，
在直角三角形中，，
所以．
故答案为：．
14. 在△ABC中，，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．若，则________；若，，则△ABC面积的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，直接由向量的线性运算计算即可；
第二空，用向量表示向量，进而求出的模，设分别为所对边，由的模表示出的关系，利用基本不等式即可求解△ABC面积的最大值.
【详解】第一空，因为P是MC的中点，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即，
所以；
第二空，设，则，
因为点D在BC上，所以，即，
所以，
所以，
因为，即，
设分别为所对边，
所以，
即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，
因此△ABC面积的最大值为为.
故答案：；.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算及应用，关键在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根据模长求出三角形两边的关系，利用基本不等式和面积公式即可得到面积最大值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且．当为何值时，
（1）向量与互相垂直；
（2）向量与平行.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出，根据向量垂直列式求解；
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小问1详解】
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
若向量与互相垂直，则，
∴，
∴，
∴，解得或.
【小问2详解】
因为，即，
则，所以不共线，
若向量与平行，则存在实数使得成立，
所以且，解得.
16. 如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理即可求解.
（2）设，将把和用来表示，由题意可知,进而利用平面向量的数量积即可求解.
【小问1详解】
因为，由余弦定理知：
，
所以.
【小问2详解】
设，
因为分别为的中点，
所以.
因为，
所以，
.
又，
所以.
17. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）.
（1）求证：为定值；
（2）设的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用向量的运算法则知，，然后利用三点共线可知为定值；
（2）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据可得答案.
【小问1详解】
设，
于是，
又，，、，
，，
，
根据向量的运算法则可知
，
，
三点共线，
，
整理可得：
，即，
故为定值，定值为；
【小问2详解】
设，
，
，
，
，
，
，
.
18. 已知向量，函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间；
（2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可；
（3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可.
【小问1详解】
因为，
所以即
又因为，所以函数在上的单调递减区间为
【小问2详解】
若则，所以.
因为，所以，
所以，
所以
故.
【小问3详解】
将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
则，
当时，
由方程有一解，可得的取值范围为．
19. 在中，，，对应的边分别为，，，
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
【答案】（1）
（2）
（3）48
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解.
（2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可；
（3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值.
【小问1详解】
因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
【小问2详解】
（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
【小问3详解】
根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解.