第4讲　万有引力与宇宙航行-高考物理二轮复习 学案

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1．国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
2．甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ）
A．甲运动的周期比乙的小B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小D．甲运动的向心加速度比乙的小
3．2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
考情分析：本讲内容在高考中多以选择题为主，个别自主命题卷中偶尔考察计算题，中低难度，贴近科技前沿的航天科技新情境问题是考查重点。
考点一 开普勒定律和万有引力定律
1.开普勒定律理解
（1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2；
（2）根据开普勒第三定律，r3T2＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r为轨道半径；
（3）行星运行过程中机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
2.天体质量和密度的计算
注意：（1）天体表面的重力加速度g＝GMR2，是g的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝3πGT2。
【例1】
4．北京冬奥会开幕式以二十四节气作为倒计时的创意惊艳全球。如图所示，这是地球沿椭圆轨道绕太阳运动过程中对应的四个节气，春分、秋分时太阳光直射赤道，夏至时太阳光直射北回归线。下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球的公转速度最大
B．从夏至到冬至的时间大于半年
C．图中相邻两个节气间隔的时间相等
D．春分和秋分时地球绕太阳运动的加速度大小相等
【例2】
5．2025年1月13日，“微厘空间01组”的10颗卫星在山东海阳附近海域成功发射升空并顺利进入预定轨道。该组网卫星的轨道离地高度大都在695～708 km之间，可以近似为圆轨道。已知卫星组中标识符为“2025—007E”的04星的轨道半径为R1，绕地球做圆周运动的周期为T1，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R2，周期为T2，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．R13T12＝R23T22
B．由T2、R2和G能求地球的密度
C．地球质量与太阳质量的比值为R13T22R23T12
D．地球质量与太阳质量的比值为R23T12R13T22
6． “中国天眼”发现，在距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如图所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为g，赤道上D处的重力加速度大小为kg（0＜k＜1），则E处的自转线速度大小为（ ）
A．（1－k）RgB．（1－k）Rgcs θ
C．Rg（1－k）cs θD．（1－k2）Rgcs θ
考点二 人造卫星和天体运动
1.天体运行问题的分析方法
2.卫星变轨问题的分析方法
【例3】
7．2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的114，其母恒星质量约为太阳质量的27，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（ ）
A．13天B．27天C．64天D．128天
【例4】
8．某卫星发射的过程图简化如下，位于椭圆轨道1的卫星变速后进入圆形同步轨道2，然后在M点再次改变方向进入同步静止轨道3上，Q点为椭圆轨道1的近地点，P点为椭圆轨道1上的远地点，则下列说法正确的是（ ）
A．轨道2可能在某两条经线组成的圆的正上方
B．卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度大于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度
C．卫星在Q点的速度大于其在M点的速度
D．卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E1＞E2＝E3
易错警示（1）同一卫星在不同半径的轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（2）卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
9．2025年2月20日，实践25号卫星与超期服役的北斗3号G7星在3.6万公里高空对接，为G7星注入肼类推进剂，实现了人类首次地球静止轨道卫星的在轨燃料补给。下列说法正确的是（ ）
A．北斗G7星不受地球的万有引力
B．北斗G7星可能出现在北极的正上空
C．北斗G7星绕地球的公转周期约为24小时
D．实践25号卫星向正后方喷气就可以追上同轨道的北斗G7星
考点三 双星（或三星）问题
【例5】
10．“二月二，龙抬头”是中国民间传统节日。每岁仲轿卯月之初、“龙角星”犹从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗亮星“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．“角宿一”的轨道半径为m2m1＋m2L
B．“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2
C．“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2
D．“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1∶m2
天体运动的“追及”问题
提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们和中心天体都处在同一条直线上。
（2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
【典例】
11．某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ）
A．3GMT236π2B．3GMT216π2C．3GMT24π2D．39GMT24π2
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】开普勒定律
【解析】【解答】开普勒第三定律T行2R行3＝T地2R地3得R行＝3T行2T地2R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，
结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。
故答案为：C
【分析】利用开普勒第三定律，通过地球与小行星的周期和轨道半径关系，计算小行星的轨道半径，再与表格数据对比确定其位置。
2．【答案】A
【知识点】线速度、角速度和周期、转速；万有引力定律的应用
【解析】【解答】根据万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T2r＝mv2r＝mω2r＝man，
解得：T＝4π2r3GM，v＝GMr，ω＝GMr3，an＝GMr2，
又因r甲＜r乙，所以T甲＜T乙，v甲＞v乙，ω甲＞ω乙，an甲＞an乙，故A正确，B、C、D错误
【分析】 根据万有引力提供向心力，推导出行星周期、线速度、角速度、向心加速度与轨道半径的关系，再结合甲、乙轨道半径的大小关系判断各物理量的大小。
3．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．根据开普勒第二定律，在轨道2上从A向B运动过程中线速度逐渐减小，则动能逐渐减小，故A正确；
B．探测器受到万有引力，由牛顿第二定律可得：GMmr2=ma
解得a=GMr2
在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；
C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，速度增加，做离心运动，需要火箭发动机做正功，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；
D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得GMmr2=m4π2T2r
解得M=4π2r3GT2
利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
故答案为：A。
【分析】根据开普勒第二定律、万有引力提供向心力和机械能知识进行分析解答。
4．【答案】D
【知识点】开普勒定律
【解析】【解答】A：根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的公转速度最大，在远日点的公转速度最小，故夏至时地球的公转速度最小，故A错误；
BC：根据对称性知从夏至到冬至的时间为半年，从夏至到秋分的时间大于从秋分到冬至的时间，故B、C错误；
D：根据GMmr2＝ma，解得a＝GMr2，春分和秋分时地球与太阳的距离r相同，故加速度大小相等，故D正确。
【分析】 根据开普勒定律和万有引力定律，分析地球在椭圆轨道上的速度、时间、加速度等规律，结合节气位置判断各选项。
5．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A：开普勒第三定律仅适用于同一中心天体的系统，标识符为“2025—007E”的04星的中心天体是地球，地球的中心天体是太阳，因此轨道半径和周期的关系不满足开普勒第三定律，故A错误；
B：地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径R2，周期T2和引力常量为G只能求太阳的质量，无法求地球的密度，故B错误；
CD：对于卫星绕地球运动，有GM地mR12＝m4π2T12R1，对于地球绕太阳运动，有GM太M地R22＝M地4π2T22R2，两式联立可得M地M太＝R13T22R23T12，故D错误，C正确。
【分析】分别对卫星绕地球、地球绕太阳的圆周运动应用万有引力提供向心力的公式，求出中心天体质量，再计算地球与太阳的质量比，同时判断开普勒第三定律的适用条件。
6．【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】在北极点A处有GMmR2＝mg，在赤道上D处有GMmR2＝m·kg＋mω2R，
联立解得，该星球自转的角速度ω＝（1－k）gR，因此E处的自转线速度大小v＝ωRcs θ＝（1－k）Rgcs θ
故答案为：B。
【分析】 先利用北极点和赤道的重力加速度差异求出自转角速度，再根据E点的自转半径计算线速度。
7．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】由GMmr2＝m4π2T2r得T＝2πr3GM，又因为M恒＝27M日，rG＝114r日地，解得TG≈13天，
故答案为：A
【分析】利用万有引力提供向心力的公式，结合地球绕太阳的运动作为参考，通过比例关系求出 Gliese12b 的公转周期。
8．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A：某两条经线组成的圆所在平面过地轴，所以轨道2不可能在某两条经线组成的圆的正上方，故A错误；
B：根据牛顿第二定律可得GMmr2＝ma，可得a＝GMr2，可知卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度等于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度，故B错误；
C：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr，假设Q点为一个圆轨道4和椭圆轨道1的切点，则卫星在轨道4上做匀速圆周运动，从Q点的圆轨道变轨到椭圆轨道1需要在Q点点火加速，做离心运动，
则v1Q＞v4Q，因为轨道2的半径大于轨道1的半径，则v4＞v2，综上所述，有v1Q＞v4Q＞vM，可知卫星在过Q点做圆周运动的速度大于在M点的速度，故C正确；
D：卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，卫星的机械能增加，所以卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E2＝E3＞E1，故D错误。
【分析】 结合卫星变轨规律、万有引力定律和机械能守恒，分析各轨道的运动特点与物理量关系。
9．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．北斗G7星绕地球做圆周运动，地球万有引力提供向心力，必然受引力作用，故A错误；
B．地球静止轨道卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，因此只能在赤道上空定点，不可能出现在北极正上方，故B错误；
C．地球静止轨道卫星的公转周期与地球自转周期同步，均为24小时，故C正确；
D．实践25号卫星向正后方喷气，做加速运动，将做离心运动，轨道半径变大，不可以追上同轨道的北斗G7星，故D错误。
故答案为：C。
【分析】根据 “地球静止轨道卫星” 的定义（轨道与赤道共面、周期与地球自转同步），结合万有引力、卫星变轨规律分析各选项。
10．【答案】A
【知识点】双星（多星）问题
【解析】【解答】ABD：双星系统，角速度、周期相同，且彼此间的引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，则有F1＝Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m1a1，F2＝Gm1m2L2＝m2ω2r2＝m2a2，
因为L＝r1＋r2，联立解得“角宿一”的轨道半径r1＝m2m1＋m2L，“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为a1a2＝m2m1，
C：“角宿一”和“角宿二”做匀速圆周运动的向心力之比为F1F2＝11，故A正确，B、D错误；
根据以上分析可有m1r1＝m2r2，根据线速度v＝ωr，联立解得“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为v1v2＝r1r2＝m2m1，故C错误。
【分析】 双星系统中，两星绕同一点做匀速圆周运动，周期相同、向心力由相互间万有引力提供（大小相等），结合万有引力定律与圆周运动规律推导轨道半径、向心加速度、线速度的关系。
11．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】设卫星转动的周期为T'，根据题意可得2πT'·T2－2πT·T2＝2π，可得T'＝T3，
根据万有引力提供向心力，有GMmr2＝m4π2T'2r，可得r＝3GMT'24π2，代入T'＝T3，可得r＝3GMT236π2
故答案为：A。
【分析】 先由信号强度变化图得出卫星与观测站的相对运动周期，从而求出卫星公转周期；再利用万有引力提供向心力的公式，计算卫星轨道半径。行星
轨道半径R/AU
水星
0.39
金星
0.72
地球
1.0
火星
1.5
木星
5.2
土星
9.5
天王星
19
海王星
30
情境
分析
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好在同一直线上，在地球的同侧
当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝0，1，2，3，…）时，两卫星相距最远（两卫星异侧）
当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2，3，…）时，两卫星相距最近（两卫星同侧）