新高考物理一轮复习教案第4章第4讲万有引力与宇宙航行（含解析）

这是一份新高考物理一轮复习教案第4章第4讲万有引力与宇宙航行（含解析），共41页。教案主要包含了堵点疏通，对点激活等内容，欢迎下载使用。


知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1．定律内容
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是eq \x(\s\up1(01))椭圆，太阳处在椭圆的一个eq \x(\s\up1(02))焦点上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的eq \x(\s\up1(03))面积相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的eq \x(\s\up1(04))半长轴的三次方跟它的eq \x(\s\up1(05))公转周期的二次方的比都相等，即eq \x(\s\up1(06))eq \f(a3,T2)＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与eq \x(\s\up1(01))物体的质量m1和m2的乘积成正比，与eq \x(\s\up1(02))它们之间距离r的二次方成反比。
2．公式：F＝eq \x(\s\up1(03))Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
3．适用条件：适用于两个eq \x(\s\up1(04))质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ
1．第一宇宙速度数值为eq \x(\s\up1(01))7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在eq \x(\s\up1(02))地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小eq \x(\s\up1(03))发射速度，也是人造卫星的最大eq \x(\s\up1(04))环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法
(1)由Geq \f(mm地,R2)＝meq \f(v2,R)，解得：v＝eq \x(\s\up1(05)) eq \r(\f(Gm地,R))；
(2)由mg＝meq \f(v2,R)，解得：v＝eq \x(\s\up1(06))eq \r(gR)。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱eq \x(\s\up1(01))地球引力束缚的最小发射速度，其数值为eq \x(\s\up1(02))11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱eq \x(\s\up1(03))太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为eq \x(\s\up1(04))16.7 km/s。
知识点 相对论时空观与牛顿力学的局限性 Ⅰ
1．相对论时空观
(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是eq \x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是eq \x(\s\up1(02))相同的。
(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同时的，在另一个参考系中eq \x(\s\up1(03))不一定是同时的。
(3)爱因斯坦假设的结果
①时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝eq \x(\s\up1(04))eq \f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,c)))2))。
②长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝eq \x(\s\up1(05))l0eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,c)))2)。
2．牛顿力学的成就与局限性
(1)牛顿力学的成就
牛顿力学的基础是eq \x(\s\up1(06))牛顿运动定律。牛顿力学在eq \x(\s\up1(07))宏观、eq \x(\s\up1(08))低速的广阔领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。
(2)牛顿力学的局限性
①物体在以接近eq \x(\s\up1(09))光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。
②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有eq \x(\s\up1(10))波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而eq \x(\s\up1(11))量子力学能够很好地描述微观粒子运动的规律。
③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的eq \x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度eq \x(\s\up1(13))远小于光速c时，eq \x(\s\up1(14))相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，eq \x(\s\up1(15))量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在eq \x(\s\up1(16))一定条件下的特殊情形。
一 堵点疏通
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。( )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( )
4．地球同步卫星一定在赤道的正上方。( )
5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
6．发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s。( )
答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
二 对点激活
1．关于万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
答案 C
解析 万有引力公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故F＝Geq \f(m1m2,r2)已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过实验测得的，D错误。
2．(人教版必修第二册·P64·T4改编)火星的质量和半径分别约为地球的eq \f(1,10)和eq \f(1,2)，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A.eq \f(\r(5),5)v B.eq \r(5)v
C.eq \r(2)v D.eq \f(\r(2),2)v
答案 A
解析 由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)求得第一宇宙速度v＝ eq \r(\f(GM,R))，故eq \f(v火,v)＝ eq \r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝ eq \r(\f(1,5))，所以v火＝eq \f(\r(5),5)v，故A正确。
3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？
答案 2062年
解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，有eq \f(a3,T2)＝eq \f(R\\al(3,0),T\\al(2,0))，则哈雷彗星的公转周期T＝eq \r(\f(a3,R\\al(3,0)))T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986年＋76.4年≈2062年。
4．一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。
答案 3.36×10－37 N
解析 两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝Geq \f(m1m2,r2)≈3.36×10－37 N。
考点1 开普勒三定律的理解与应用
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知eq \f(1,2)va·Δt·a＝eq \f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq \f(vbb,a)。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1
(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？
提示：不相等。
(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？
提示：没有。
尝试解答 选CD。
由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[变式1－1]
(2021·安徽省皖西南八校高三上联考)2020年是我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”卫星成功发射50周年。已知该卫星发射后先以近地点M点所在的圆为轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道。下列说法正确的是( )
A．卫星在圆轨道上运动的周期小于在椭圆轨道上运动的周期
B．卫星在椭圆轨道上运动时，在M点的线速度小于在N点的线速度
C．卫星在变轨为椭圆轨道时需要减速
D．卫星从M点运动到N点的过程中，地球对卫星的引力做正功，卫星的动能增大
答案 A
解析 根据开普勒第三定律，卫星的轨道半长轴越大，周期越大，A正确；由开普勒第二定律得，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，B错误；卫星在M点由圆轨道变为椭圆轨道是离心运动，需要加速，C错误；卫星从M点运动到N点的过程中，远离地球，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小，D错误。
[变式1－2]
(2020·东北三省四市教研联合体高三下模拟)如图所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是( )
A．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期
C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积
答案 C
解析 假设卫星乙以B点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为vB，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，因为rB>r甲C，可知v甲C>vB，由于卫星乙从以B点到地心的距离为轨道半径的圆轨道在B点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在B点的速度小于vB，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，故A错误；由题意可知，卫星甲的轨道半径小于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，故B错误；假设卫星乙以A点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为vA，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，因为r甲C>rA，可知v甲C考点2 天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得M＝eq \f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq \f(vT,2π)，再利用Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)或Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r求M。若已知ω、T则不能求出M。
例2 (2020·湖北省武汉市新洲区部分学校高三期末联考)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得它重力的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得它重力的读数为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，设引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为( )
A.eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，eq \f(F1－F2,mω2) B.eq \f(3ω2,4πG)，eq \f(F1F2,mω2)
C.eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，eq \f(F1＋F2,mω2) D.eq \f(3ω2,4πG)，eq \f(F1－F2,ω2)
(1)为什么用同一个弹簧测力计在火星的两极和赤道上测得的同一物体的重力的读数不同？
提示：火星自转。
(2)求火星的密度需要先求哪些物理量？
提示：火星的质量和半径。
尝试解答 选A。
设火星质量为M，半径为R，在火星两极弹簧测力计的读数为F1，则有Geq \f(Mm,R2)＝F1，在火星赤道上弹簧测力计的读数为F2，则有Geq \f(Mm,R2)－F2＝mω2R，联立解得R＝eq \f(F1－F2,mω2)，M＝eq \f(F1R2,Gm)，根据M＝eq \f(4,3)πR3ρ可得火星的密度为ρ＝eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，故A正确，B、C、D错误。

估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq \f(GMm,R2)＝mg。
[变式2－1] (2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 根据Geq \f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)及v＝eq \f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
[变式2－2]
(2020·湖北省宜昌市高三4月线上统一调研)(多选)行星各自卫星的轨道可以看作是圆形的。某同学根据A行星和B行星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的观测数据，作出如图所示的图像，其中图线a是根据A行星的不同卫星的数据作出的，图线b是根据B行星的不同卫星的数据作出的。已知图线a的斜率为k1，图线b的斜率为k2，A行星半径为B行星半径的n倍，则( )
A．A行星的质量大于B行星的质量
B．A行星与B行星表面的重力加速度之比为 eq \f(k2,n2k1)
C．A行星与B行星的第一宇宙速度之比为 eq \r(\f(k1,nk2))
D．A行星与B行星的平均密度之比为eq \f(k2,n3k1)
答案 AC
解析 设行星的质量为M，半径为R，则有eq \f(RA,RB)＝n，根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，解得r3＝eq \f(GM,4π2)T2，可知图线的斜率k＝eq \f(GM,4π2)，由图可知k1>k2，所以MA>MB，A正确；在行星表面有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得行星表面的重力加速度g＝Geq \f(M,R2)，所以eq \f(gA,gB)＝eq \f(MA,MB)·eq \f(R\\al(2,B),R\\al(2,A))＝eq \f(k1,n2k2)，B错误；根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得第一宇宙速度v＝eq \r(G\f(M,R))，所以eq \f(vA,vB)＝eq \r(\f(MA,MB)·\f(RB,RA))＝eq \r(\f(k1,nk2))，C正确；行星的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)R3)，所以eq \f(ρA,ρB)＝eq \f(MA,MB)·eq \f(R\\al(3,B),R\\al(3,A))＝eq \f(k1,n3k2)，D错误。
考点3 人造卫星的运动规律
1.人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看成质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝man。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得r＝ eq \r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3
(2020·天津高考)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大 B.线速度大
C．角速度大 D.加速度大
(1)比较周期大小常采用哪两个有用的结论？
提示：一是开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k；二是T＝2π eq \r(\f(r3,GM))。
(2)比较线速度大小常用的公式是什么？
提示：v＝ eq \r(\f(GM,r))。
尝试解答 选A。
万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，可解得v＝ eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，a＝eq \f(GM,r2)。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星的轨道半径大，可知地球静止轨道卫星的周期大，线速度、角速度、加速度小，故A正确，B、C、D错误。
人造卫星问题的解题技巧
(1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式：
Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度的两种计算方法：
①v＝ eq \r(\f(GM,R))＝7.9 km/s；
②v＝eq \r(Rg)＝7.9 km/s。
(3)同步卫星的特点：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上。
注：比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
(4)天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据eq \f(GMm,r2)＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星转动的角度关系求解。当两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1，2…)。
[变式3－1] (2020·安徽省皖江名校联盟高三下第五次联考)(多选)2019年9月12日，我国在太原卫星发射中心“一箭三星”发射成功。现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是( )
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
答案 BC
解析 a、b转动方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设每经时间Δt相遇一次，则有eq \f(Δt,Ta)－eq \f(Δt,Tb)＝1，解得Δt＝8 h，所以A错误，B正确；b、c转动方向相反，在相遇一次的过程中，b、c共转一圈，设每经时间Δt′相遇一次，则有eq \f(Δt′,Tb)＋eq \f(Δt′,Tc)＝1，解得Δt′＝8 h，故C正确，D错误。
[变式3－2] (2020·湖北省荆门市高三元月调考)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是( )
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是30 h
答案 D
解析 由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq \f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq \f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误。因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得：v＝ eq \r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误。因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误。c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得：T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。
考点4 卫星变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，Geq \f(Mm,r2)(2)当卫星的速度减小时，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时eq \f(GMm,r2)(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，eq \f(GMm,r2)>meq \f(v2,r)，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由eq \f(r3,T2)＝k可知T1例4 (多选)某火星探测器接近火星后，该探测器需经历如图所示的变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B．探测器在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
C．探测器若从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，并已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
(1)探测器怎样才能从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ？
提示：在P点减速。
(2)要求火星的密度，需要知道什么量？
提示：火星的质量和半径。
尝试解答 选BD。
探测器在轨道Ⅱ上P点需要朝速度方向喷气减速才能变轨至轨道Ⅰ，所以探测器在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，A、C错误；探测器绕同一中心天体运动，根据开普勒第三定律：eq \f(a3,T2)＝k，而图中3个轨道半长轴或半径的长度关系为aⅢ>aⅡ>rⅠ，所以TⅢ>TⅡ>TⅠ，B正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，轨道半径近似为火星半径，由万有引力提供向心力有：Geq \f(Mm,R2)＝mω2R，火星密度：ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，联立解得：ρ＝eq \f(3ω2,4πG)，若已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以求出火星密度，D正确。
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝ eq \r(\f(GM,r))判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
[变式4]
我国于2020年发射火星探测器。假设图示三个轨道是探测器绕火星飞行的轨道，其中轨道Ⅰ、Ⅲ均为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆形轨道，三个轨道在同一平面内，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ相切于P点，与轨道Ⅲ相切于Q点，不计探测器在变轨过程中的质量变化，则下列说法正确的是( )
A．探测器在轨道Ⅱ的任何位置都具有相同速度
B．探测器在轨道Ⅲ的任何位置都具有相同加速度
C．不论在轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ运行，探测器在P点的动量都相同
D．不论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ运行，探测器在Q点的加速度都相同
答案 D
解析 根据开普勒第二定律可知，探测器在轨道Ⅱ上运动时，在距离火星较近的点速度较大，较远的点速度较小，A错误；探测器在轨道Ⅲ的任何位置都具有相同大小的加速度，但是加速度的方向不同，B错误；探测器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ要在P点加速，则探测器在轨道Ⅰ上P点的动量小于在轨道Ⅱ上P点的动量，C错误；不论在轨道Ⅱ还是轨道Ⅲ运行，探测器在Q点时受到火星的万有引力相同，则其加速度相同，D正确。

前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，
eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))。
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G)。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
【典题例证】
(2020·河北衡中同卷模拟)“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．B星球的轨道半径为eq \f(m2,m1＋m2)L
B．A星球运行的周期为2πL eq \r(\f(L,Gm1＋m2))
C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2
D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零
[解析] 由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，根据牛顿第二定律，对A星球有：Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对B星球有：Geq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，A错误；根据Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1，r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，解得周期T＝2πL·eq \r(\f(L,Gm1＋m2))，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比eq \f(vA,vB)＝eq \f(ωr1,ωr2)＝eq \f(m2,m1)，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝eq \f(Gm2m,r\\al(2,2))＝eq \f(Gm2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m1,m1＋m2)L))2)，受到A星球的万有引力FA＝eq \f(Gm1m,r\\al(2,1))＝eq \f(Gm1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,m1＋m2)L))2)，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。
[答案] B
名师点睛 解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【针对训练】
(2020·辽宁省辽南协作校高三一模)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动。如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法中正确的是( )
A．每颗星做圆周运动的角速度为3eq \r(\f(GM,R3))
B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关
C．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍
D．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则线速度大小不变
答案 D
解析 任意两星之间的万有引力为F0＝Geq \f(MM,R2)，则任意一星所受合力为F＝2F0cs30°＝2×Geq \f(MM,R2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)Geq \f(MM,R2)，任意一星运动的轨道半径r＝eq \f(2,3)Rcs30°＝eq \f(2,3)×R×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)R，万有引力提供向心力，有F＝eq \r(3)Geq \f(MM,R2)＝Mω2r，解得每颗星做圆周运动的角速度ω＝eq \r(\f(\r(3)GM,R2·\f(\r(3),3)R))＝ eq \r(\f(3GM,R3))，A错误；万有引力提供向心力，有F＝eq \r(3)Geq \f(MM,R2)＝Ma，解得a＝eq \f(\r(3)GM,R2)，则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B错误；根据题意可知ω′＝eq \r(\f(3G·2M,2R3))＝eq \f(1,2) eq \r(\f(3GM,R3))＝eq \f(1,2)ω，C错误；根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为v＝ωr＝eq \r(\f(3GM,R3))·eq \f(\r(3),3)R＝ eq \r(\f(GM,R))，则变化后为v′＝ eq \r(\f(2GM,2R))＝v，D正确。

1．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. eq \r(\f(3π,Gρ)) B. eq \r(\f(4π,Gρ))
C. eq \r(\f(1,3πGρ)) D. eq \r(\f(1,4πGρ))
答案 A
解析 对在该星体表面附近绕其做圆周运动的卫星有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，对该星体有V＝eq \f(4,3)πR3，ρ＝eq \f(M,V)，联立可得，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝eq \r(\f(3π,Gρ))，A正确。
2．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
答案 B
解析 设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝Geq \f(M火m,R\\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq \f(M地m,R\\al(2,地))，由题意知eq \f(M火,M地)＝eq \f(1,10)，eq \f(R火,R地)＝eq \f(1,2)。联立以上各式可得eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火,M地)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R地,R火)))2＝eq \f(1,10)×eq \f(4,1)＝0.4，故B正确。
3．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,QP)) B. eq \r(\f(RPKg,Q))
C. eq \r(\f(RQg,KP)) D. eq \r(\f(RPg,QK))
答案 D
解析 设地球质量为M，在地球表面处，对质量为m的物体有Geq \f(Mm,R2)＝mg。设“嫦娥四号”的质量为m1，根据万有引力提供向心力得Geq \f(\f(M,Q)m1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(K\f(R,P)))2)＝m1eq \f(v2,K\f(R,P))，解得v＝eq \r(\f(RPg,QK))，故D正确。
4．(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的 eq \r(2) 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝Geq \f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
答案 CD
解析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F＝Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma。因为在不同半径的轨道处g值不同，故不能由v＝eq \r(gR)得出甲、乙的速度关系，卫星的线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，可得eq \f(v甲,v乙)＝ eq \r(\f(r乙,r甲))＝eq \f(\r(2),2)，故A错误；因为在不同半径的轨道上卫星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出两卫星的加速度关系，卫星的加速度a＝eq \f(GM,r2)，可得eq \f(a甲,a乙)＝eq \f(r\\al(2,乙),r\\al(2,甲))＝eq \f(1,4)，故B错误；卫星所受的向心力F＝Geq \f(Mm,r2)，两颗人造卫星质量相等，可得eq \f(F甲,F乙)＝eq \f(r\\al(2,乙),r\\al(2,甲))＝eq \f(1,4)，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，可得eq \f(T甲,T乙)＝ eq \r(\f(r\\al(3,甲),r\\al(3,乙)))＝2eq \r(2)，故D正确。
5．(2020·山东高考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
答案 B
解析 忽略星球的自转，星球表面附近的物体所受万有引力等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，则eq \f(g火,g地)＝eq \f(M火,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,火))＝0.1×eq \f(1,0.52)＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g。着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式得0＝v0－at0，解得a＝eq \f(v0,t0)，根据牛顿第二定律得F－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为F＝mg火＋ma＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))，A、C、D错误，B正确。
6．(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，火星探测器才能克服地球引力的束缚进入太阳系空间，从而被火星引力俘获，故A正确，B错误；对于在星球表面附近做匀速圆周运动的物体，所受万有引力提供向心力，则有eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，解得该星球的第一宇宙速度为v1＝ eq \r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度为v火＝ eq \r(\f(GM火,R火))＝ eq \r(\f( 10%GM地,50%R地))＝eq \f(\r(5),5)v地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；对于在星球表面的物体，忽略星球的自转，则所受万有引力近似等于物体在该星球所受的重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg星，解得该星球表面的重力加速度g星＝eq \f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度为g火＝eq \f(GM火,R\\al(2,火))＝eq \f(10%GM地,50%2R\\al(2,地))＝eq \f(2,5)g地，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
7.(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为 eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案 C
解析 由周长公式可得C地＝2πr地，C火＝2πr火，则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为eq \f(C火,C地)＝eq \f(2πr火,2πr地)＝eq \f(3,2)，A错误；行星绕太阳运动时，由万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r，则有a＝eq \f(GM,r2)，v＝eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故eq \f(a火,a地)＝eq \f(r\\al(2,地),r\\al(2,火))＝eq \f(4,9)，eq \f(v火,v地)＝eq \f(\r(r地),\r(r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，eq \f(ω火,ω地)＝eq \f(\r(r\\al(3,地)),\r(r\\al(3,火)))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，B、D错误，C正确。
8．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝Geq \f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
9.(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ eq \r(\f(GM,r)) B.v1>v2，v1> eq \r(\f(GM,r))
C．v1 eq \r(\f(GM,r))
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v\\al(2,近),r)，得运行速度v近＝ eq \r(\f(GM,r))，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> eq \r(\f(GM,r))，B正确。
10．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a­x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝eq \f(kx0,3a0)，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝eq \f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝Geq \f(Mm,R2)得，星球质量M＝eq \f(gR2,G)，则星球的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)，所以M、N的密度之比eq \f(ρM,ρN)＝eq \f(gM,gN)·eq \f(RN,RM)＝eq \f(3,1)×eq \f(1,3)＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
11．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B.质量之和
C．速率之和 D.各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：Geq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝eq \f(2π,T)，联立以上各式可解得：r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2)，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq \f(2πL,T)，C正确；质量之积m1m2＝eq \f(ω2L2r2,G)·eq \f(ω2L2r1,G)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
12．(2021·四川省达州市高三上第一次诊断性测试)假如地球自转角速度增大，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上的物体所受地球的万有引力增大
B．放在赤道地面上的物体重力减小
C．放在两极地面上的物体重力减小
D．“一昼夜”时间不变
答案 B
解析 地球的质量和半径都没有变化，故赤道地面上物体所受地球的万有引力大小保持不变，A错误；地球绕地轴转动，在赤道地面处物体所受的重力为mg＝F引－mω2R，则当地球自转角速度变大时，放在赤道地面上的物体重力减小，B正确；在两极点，物体转动半径为0，转动所需向心力为0，此时物体的重力与万有引力相等，故地球自转角速度增加时，两极地面上物体的重力保持不变，C错误；地球自转角速度增大，则自转周期变小，即“一昼夜”时间变短，D错误。
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共12小题，每小题6分，共72分。其中1～9题为单选，10～12题为多选)
1．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：Geq \f(Mm,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq \f(GM,R2)，Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
2．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，半径为R，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：eq \f(GMm,R2)≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R，ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，代入可得：ρ≥eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，故C正确。
3．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
4．(2021·八省联考福建卷)人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。下列说法正确的是( )
A．周期是24小时的卫星都是地球同步卫星
B．地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小
C．近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大
D．近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大
答案 D
解析 地球同步卫星的轨道在赤道平面内，周期是24小时的卫星轨道与赤道平面可能有夹角，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)，可知地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度大小相等，故B错误；对于近地卫星，有eq \f(GMm,R2)＝ma，对于地球两极处的物体，有eq \f(GMm,R2)＝mg，联立两式，可得a＝g，即近地卫星的向心加速度大小与地球两极处的重力加速大小相等，故C错误；同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据v＝ωr，同步卫星的线速度大于赤道物体的线速度，又因为近地卫星的速率大于同步卫星的速率，故近地卫星的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大，故D正确。
5．(2021·浙江省宁波市慈溪市高三上适应性测试)中国首个火星探测器“天问一号”于2020年7月23日发射升空，计划飞行约7个月抵达火星。若已知火星半径为地球半径的一半、质量为地球的十分之一，则( )
A．此次天问一号的发射速度大于16.7 km/s
B．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为eq \r(5)∶1
C．火星表面处的重力加速度为地球的0.4倍
D．天问一号在火星表面环绕飞行时的周期与地球近地卫星的周期相等
答案 C
解析 16.7 km/s为第三宇宙速度，发射速度大于此速度将脱离太阳系飞行，故A错误；由题可知R火＝eq \f(1,2)R地，M火＝eq \f(1,10)M地，由Geq \f(M地m,R\\al(2,地))＝meq \f(v2,R地)，可得地球的第一宇宙速度为v＝ eq \r(\f(GM地,R地))，同理可得火星的第一宇宙速度为v′＝ eq \r(\f(GM火,R火))，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为eq \f(v′,v)＝eq \r(\f(M火,M地)·\f(R地,R火))＝eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5)，故B错误；由Geq \f(M地m,R\\al(2,地))＝mg，可得地球表面的重力加速度为g＝eq \f(GM地,R\\al(2,地))，同理可得火星表面的重力加速度为g′＝eq \f(GM火,R\\al(2,火))，则eq \f(g′,g)＝eq \f(M火,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,火))＝0.4，即火星表面处的重力加速度为地球的0.4倍，故C正确；天问一号在火星表面环绕飞行时，由Geq \f(M火m,R\\al(2,火))＝meq \f(4π2,T′2)R火，可得其运行周期为T′＝eq \r(\f(4π2R\\al(3,火),GM火))，同理，地球近地卫星的周期为T＝eq \r(\f(4π2R\\al(3,地),GM地))，可得T＝eq \f(2\r(5),5)T′，即天问一号在火星表面环绕飞行时的周期与地球近地卫星的周期不相等，故D错误。
6．(2020·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联盟10月联考)北京时间2019年4月10日晚21点，人类史上首张黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面——事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天体周围事件视界面看作球面，球面的半径称为史瓦西半径。已知地球的半径约为6400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq \r(2)倍，光速为3.0×108 m/s，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近( )
A．1 mm B.1 cm
C.1 m D.1 km
答案 B
解析 设地球半径为R，则第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(GM,R))；当地球收缩成黑洞时，设半径为R0，根据题意，这时的第二宇宙速度v2′＝eq \r(2)v1′＝ eq \r(\f(2GM,R0))≥c，联立可得R0≤eq \f(2v\\al(2,1),c2)R，代入数据得，R0的最大值R0max≈9×10－3 m≈1 cm，B正确。
7．(2020·广东省揭阳市高三线上教学摸底)如图所示，卫星a和b分别在半径相同的轨道上绕金星和地球做匀速圆周运动，已知金星的质量小于地球的质量，则( )
A．a、b的线速度大小相等 B.a的角速度较大
C．a的周期较大 D.a的向心加速度较大
答案 C
解析 对于卫星，由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)＝mω2r，得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，卫星a和b的轨道半径相同，中心天体金星的质量小于地球的质量，则卫星b的线速度较大，角速度较大，故A、B错误；卫星a的角速度较小，由ω＝eq \f(2π,T)知，卫星a的周期较大，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，则卫星b的向心加速度较大，故D错误。
8.(2021·八省联考广东卷)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是( )
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
答案 D
解析 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误。嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时速率；加速后嫦娥五号重力势能不变，动能增大，则其机械能增大，故B、C错误。根据Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。
9．(2021·福建省三明市高三上期末质量检测)2020年11月24日4点30分，嫦娥五号探测器成功发射升空。若嫦娥五号在距月球表面高度分别为h1、h2的轨道Ⅰ、Ⅱ上运行时，均可视为做匀速圆周运动，则在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行时，嫦娥五号与月球中心连线扫过相同面积所用的时间之比为(月球看成半径为R、质量均匀分布的球体)( )
A. eq \r(\f(h1,h2)) B.eq \f(R＋h1,R＋h2)
C. eq \r(\f(R＋h1,R＋h2)) D. eq \r(\f(R＋h2,R＋h1))
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝mω2(R＋h)，可知嫦娥五号在距月球表面高度为h1、h2的轨道Ⅰ、Ⅱ上的角速度分别为ω1＝ eq \r(\f(GM,R＋h13))，ω2＝eq \r(\f(GM,R＋h23))，又因为嫦娥五号与月球中心连线在时间t内扫过的面积为S＝eq \f(1,2)ωt(R＋h)2，当扫过的面积相等时，有ω1t1(R＋h1)2＝ω2t2(R＋h2)2，解得eq \f(t1,t2)＝eq \r(\f(R＋h2,R＋h1))，故选D。
10.(2020·广东省潮州市高三下二模)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ，在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
B．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度
D．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
答案 AC
解析 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，则地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，A正确；由开普勒第二定律可知，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，速度逐渐减小，B错误；地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点受到的万有引力大于B点所受的万有引力，可知在A点的加速度大于在B点的加速度，C正确；沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向后喷气加速，做离心运动才能进入轨道Ⅱ，D错误。
11.(2021·八省联考湖南卷)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示。为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是( )
A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B．甲可以通过增大速度来抬高轨道
C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D．返回地球后，月壤样品所受的重力比在月球表面时大
答案 BD
解析 在甲抬高轨道之前，甲、乙均绕月球做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得线速度为v＝eq \r(\f(GM,r))，因r甲12.(2021·辽宁省高三上高考模拟)2020年7月23日，中国火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场发射升空。如图所示，已知地球和火星到太阳的距离分别为R和1.5R，若某火星探测器在地球轨道上的A点被发射出去，进入预定的椭圆轨道，通过椭圆轨道到达远日点B进行变速被火星俘获。下列说法正确的是( )
A．探测器在椭圆轨道A点的速度等于地球的公转速度
B．探测器由A点大约经0.7年才能抵达火星附近的B点
C．地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔约为2.2年
D．探测器在椭圆轨道A点的加速度小于在B点的加速度
答案 BC
解析 探测器由地球轨道进入椭圆轨道需在A点减速，所以在椭圆轨道A点的速度小于地球的公转速度，故A错误；因为地球的公转周期T1＝1年，设探测器在椭圆轨道运动的周期为T2，根据开普勒第三定律得eq \f(R3,T\\al(2,1))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋1.5R,2)))3,T\\al(2,2))，解得T2≈1.4年，则探测器由A点发射之后，大约经t＝eq \f(T2,2)＝0.7年才能抵达火星附近的B点，同理可求得火星绕太阳运动的周期T3≈1.84年，设地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔为Δt，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,T1)－\f(1,T3)))Δt＝1，解得Δt＝2.2年，故B、C正确；根据a＝Geq \f(M,r2)，可知探测器在椭圆轨道A点的加速度大于在B点的加速度，故D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
13．(2020·湖北省荆州市高三上学期质量检测)(12分)引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常量为G，求：
(1)P、Q两颗星的线速度之差Δv；
(2)Q、P两颗星的质量之差Δm。
答案 (1)eq \f(2πΔr,T) (2)eq \f(4π2l2Δr,GT2)
解析 (1)设P、Q两颗星的轨道半径分别为rP、rQ，P星的线速度大小vP＝eq \f(2πrP,T)
Q星的线速度大小vQ＝eq \f(2πrQ,T)
则P、Q两颗星的线速度大小之差为Δv＝vP－vQ＝eq \f(2πrP,T)－eq \f(2πrQ,T)＝eq \f(2πΔr,T)。
(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有
Geq \f(mPmQ,l2)＝mPrPω2＝mQrQω2
解得mP＝eq \f(l2rQω2,G)，mQ＝eq \f(l2rPω2,G)
则Q、P两颗星的质量差为
Δm＝mQ－mP＝eq \f(l2Δrω2,G)＝eq \f(4π2l2Δr,GT2)。
14．(2020·福建省仙游第一中学、福建八中高三上学期第三次质检)(16分)一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g。求：
(1)该卫星所在处的重力加速度g′；
(2)该卫星绕地球转动的角速度ω；
(3)该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔Δt。
答案 (1)eq \f(1,4)g (2) eq \r(\f(g,8R)) (3)eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)
解析 (1)在地球表面处物体受到的重力等于万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，
在轨道半径为r＝2R处，仍有万有引力等于重力，即mg′＝eq \f(GMm,2R2)，
解得：g′＝eq \f(g,4)。
(2)根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,2R2)＝mω2(2R)，
又mg＝eq \f(GMm,R2)，
联立可得ω＝eq \r(\f(g,8R))。
(3)该卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空。
以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过的弧度少2π，即ωΔt－ω0Δt＝2π，解得Δt＝eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)。
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
v＝ eq \r(\f(GM,r))
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
Geq \f(Mm,r2)＝mω2r
ω＝ eq \r(\f(GM,r3))
当r＝R时有最大值
周期
Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r
T＝2π eq \r(\f(r3,GM))
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
Geq \f(Mm,r2)＝man
an＝eq \f(GM,r2)
当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小