2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷2[含答案Word版】

这是一份2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟冲刺练习卷2[含答案Word版】，共4页。试卷主要包含了非选择题部分请按题号用0，在草稿纸、试题卷上作答无效；，如图所示，等内容，欢迎下载使用。
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]如图，在直径BC为22的圆内有一个圆心角为90∘ 的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．15B．14C．13D．12
2．[3分]函数y=xx+3+ 1x−1 的自变量x的取值范围是 （ ）
A．x≠−3且x≠1B．x＞−3且x≠1
C．x＞−3D．x⩾−3且x≠1
3．[3分]上马石是古人上下马的工具，形状如图（1）.它可以看作图（2）所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ）
图（1）图（2）
A. B.
C. D.
4．[3分]有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．[3分]下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．[3分]如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．[3分]如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
8．[3分]如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ）
A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数
B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数
C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
9．[3分]如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．[3分]如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个．
12．[3分]定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ 角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换．如：点A(2,0)按照ρ(1,90∘)变换后得到点A′的坐标为(−1,2)，则点B(3,−1)按照ρ(2,105∘)变换后得到点B′的坐标为______________．
13．[3分]如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 _____ ．
14．[3分]如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______．
15．[3分]如图，在中，，连接，点E、F分别为的中点，点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，连接，当将四边形的面积分为的两部分时，的长为________．

16．[3分]如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]解不等式（组）
（1）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在给出的数轴上表示其解集；
（3）求不等式组的解集．
18．[6分]计算：
19．[8分]如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求证：．
20．[8分]如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，点为的中点.连接，延长到点，且有．
（1）求证：是的切线；
（2）若点为的中点，，求的长．
21．[10分]某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：军车行驶的速度为______；
③填空：a的值为______；
④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式；
（2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可）
22．[10分]每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组；
（2）补全频数统计图；
（3）该校八年级共有600名学生．
①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名；
②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议．
23．[12分]【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC⌢的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图（2），在CD上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG.∵M是ABC⌢的中点，∴MA=MC.又∵∠A=∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB=MG.
又∵MD⊥BC，∴BD=DG，∴AB+BD=CG+DG，即CD=DB+BA.
图（1）图（2）图（3）图（4）
（1） 【理解运用】如图（1），AB,BC是⊙O的两条弦，AB=10,BC=16，点M是ABC⌢的中点，MD⊥BC于点D，求BD的长.
（2） 【变式探究】如图（3），若点M是AC⌢中点，【问题呈现】中的其他条件不变，CD,BD,AB之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3） 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图（4），BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45∘ ，若AB=12，⊙O的半径为10，求AD的长.
24．[12分]如图（1），抛物线y=ax2+​bx+​c(a≠0)与x轴交于点A(−​1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)．
图（1）图（2）备用图
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 点P是抛物线上的一个动点．
① 如图（1），若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D，连接AC,PC,设△PCD的面积为S1，△ACD面积为S2，若S1S2=12，求点P的坐标.
② 如图（2），抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题知∠BAC=90∘ ，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45∘ ，∴AB=22BC=2，∴S扇形ABC=90π×22360=π .∵BC是直径，BC=22，∴S圆=π×(2)2=2π ，∴ 该粒米落在扇形内的概率为π2π=12，故选D．
2．【答案】B
【详解】函数y＝xx+3 ＋1x−1 的自变量x的取值范围是x＋3＞0，且x−1≠0，解得x＞−3且x≠1.故选B.
3．【答案】D
【详解】该几何体的俯视图为.故选D.
4．【答案】D
【分析】根据数，在数轴上对应点的位置和绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的乘法法则逐项进行判断．
【详解】解：A选项：由数，在数轴上对应点的位置可知，表示数的点离原点的距离比表示数的点离原点的距离小，
，
故A选项错误；
B选项：且，
，
故B选项错误；
C选项：由数轴可知，，
，
故C选项错误；
D选项：，，
，，
，
故D选项正确；
故选D．
5．【答案】C
【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方运算法则，逐一判断即可．
【详解】解：对选项A：，错误；
对选项B，等式不恒成立，错误；
对选项C： ，C正确；
对选项D： ，错误．
6．【答案】D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
7．【答案】B
【分析】根据函数图象理解题意即可解答．
【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B．
8．【答案】D
【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为，
∴与正方形的周长之和为，
与正方形的面积之积为，
阴影部分的面积为，
∴，，，
∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意，
S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意，
若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意
S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意．
9．【答案】A
【分析】过点作交于点，则四边形是矩形，推出，则．①当时，点在上，此时，利用三角函数求出，，，得出是关于的二次函数；②当时，点在上，此时，四边形是矩形，则，，得出是关于的一次函数．
【详解】解：如图，过点作交于点，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
①当时，点在上，此时，
，，
，
；
②当时，点在上，此时，
，
，
四边形是矩形，
，。
，
当时，函数图象是开口向下的抛物线，当时，函数图象是直线．
10．【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选C．
11．【答案】111；3
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，，之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可．
【详解】解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零，
∴十位上数最小只能为1，
∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”，
∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111；
∵是一个“双倍快乐数”，
∴，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴,即，
∴，
∵,若能被6整除，
∴设，
，
能被6整除，即能被6整除，
能被整除，
既能被2整除又能被3整除，
是1到9的整数，
、6、9，
当时，，当时，，当时，，
∴满足条件的有3个.
12．【答案】(−2，2)
【详解】由题知，将点B(3,−1)向上平移2个单位所得点的坐标为(3,1)．设M(3,1).如图所示，
过点M作x轴的垂线，垂足为F，连结OM,则OF=3，MF=1．在Rt△MOF中，tan∠MOF=MFOF=33，OM=12+(3)2=2，所以∠MOF=30∘ ．由旋转可知，B′O=MO=2，∠MOB′=105∘ ，所以∠B′OF=135∘ ．过点B′作y轴的垂线，垂足为E，则∠B′EO=90∘.因为∠B′OE=135∘−90∘=45∘ ，所以△B′OE是等腰直角三角形，所以B′E=OE=2，所以点B′的坐标为(−2，2)．故答案为(−2，2)．
13．【答案】/
【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆的基础知识是解题的关键．
根据垂径定理的推理可得，根据切线的性质可得，由此证得，根据平行线分线段成比例可得，设，可用含的式子表示出的长，在直角中根据勾股定理可求出，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴.
14．【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，根据“矩数”定义，设，，由得方程，整理为．因t和s为正整数，枚举因子对求解，得，．
【详解】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故．
∵，代入得：，
即，
因式分解得：，
由于t和s均为正整数，故和均为整数，且，
∴可能因子对为或(2,4)，
①当，时，联立方程解得，；
②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去，
故，，
∴．
15．【答案】5
【分析】三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形为平行四边形，连接，根据平行四边形的性质，易得，根据将四边形的面积分为的两部分，得到，进而得到，推出，证明，推出，即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵点E、F分别为的中点，
∴，
∵点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，
∴，
∴四边形为平行四边形，
连接，设交于点，则，
当将四边形的面积分为时， 则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

16．【答案】
【分析】延长至F，使得，连接，可得垂直平分，得，得，得点F在射线上运动，当时，最短，为 , 根据三角形中位线性质得即可．
【详解】解：延长至F，使得，连接，如图:
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴点F在与成角的射线上运动，
∴当时，最短，
此时，，
∴，
∵，
∴,
∵E是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴,
故线段的最小值为．
17．【答案】（1），画见详解
（2），画见详解
（3），画见详解
【分析】（1）先去括号，移项，合并，把未知数的系数化为1，可求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再画图，最后求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）解：，
由①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示解集如下：
∴原不等式组的解集为．
18．【答案】
【详解】解：
．
19．【答案】（1）是等边三角形．理由见详解
（2）
【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形；
（2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下：
是等边三角形，
．
，
，
即．
根据旋转的性质可得，
是等边三角形．
（2）证明：由（1）可知和都是等边三角形，
，，．
在和中，
，
，，
．
又，
，
．
在中，，
，
．
20．【答案】（1）见详解
（2）的长为
【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和弧长的计算，在圆中构造合适的辅助线是解题的关键．
（1）首先根据圆心和圆上一点构造连接半径证垂直，利用圆周角定理进行等角转换，得到角即可证明；
（2）首先连接，结合直角三角形斜边的中线是斜边的一般得到等边三角形，利用等边三角形进行角度和线段转化，得到的圆心角为，半径为3，即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴的长为．
21．【答案】（1）①表格见详解；②60；③2；④
（2）或
【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键；
（1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式；
（2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为，
∴行驶的距离为，
由图象可补充表格如下：
②由图象得：军车行驶的速度为.
③由②得：.
④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为，
当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
综上所述：y与x的关系式为；
（2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为．
由题意得：学校离基地的距离为，
∴学校师生乘坐大巴车的速度为，
当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则，
解得；
∵，
∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车，
∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇，
∴，
解得；
综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或．
22．【答案】（1）40；③
（2）见详解
（3）①240；②今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，建议见详解
【分析】（1）用第③组的人数除以其人数占比可求出m的值，再根据中位数的定义求解即可；
（2）根据（1）所求求出第④组的人数，进而补全统计图即可；
（3）①用600乘以样本中视力在范围内的人数占比即可得到答案；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，据此提出合理的建议即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴第②组的人数为名，
把这40名学生的视力按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数，
∵，
∴第20个数据和第21个数据都在第③组，
∴这m名学生视力的中位数落在第③组；
（2）解：由（1）得第②组的人数为8名，
∴第④组的人数为（名），
补全统计图如下：
（3）解：①（名），
∴该校八年级学生的视力在范围内的人数约为240名；
②∵，
∴今年视力在范围内的人数相比去年减少较多，
建议：读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；保证充足的睡眠，饮食均衡；减少电子产品的使用（合理即可）．
23．【答案】
（1） 【解】由阿基米德折弦定理可知，CD=DB+BA.∵AB=10,BC=16，
∴AB+BC=26，∴DB+BA=12(AB+BC)=13，
∴BD=3.
（2） AB+CD=BD.证明如下：
如图（1），在BC上取BG=BA，连接MA,MB,MC,MG.
图（1）
∵ 点M是AC⌢中点，
∴AM=CM，AM⌢=MC⌢,
∴∠ABM=∠CBM.
在△ABM和△GBM中，BA=BG,∠ABM=∠GBM,BM=BM,
∴△ABM≌△GBM(SAS)，
∴AM=GM，∴GM=CM.
∵DM⊥BC，∴CD=DG，
∴CD=BD−BG=BD−AB，即AB+CD=BD.
（3） ∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘.∵⊙O的半径为10，
∴BC=20.∵AB=12，∴ 由勾股定理得AC=BC2−AB2=16，
∴AC+AB=16+12=28.
①当点D在AC上方时，如图（2），过点D作DM⊥AC于点M，连接OD,CD.
图（2）
∵∠DAC=45∘ ，
∴∠BAD=135∘ ，∴∠BCD=45∘ ，
∴∠BOD=90∘ ，∴∠COD=90∘ ，
∴CD⌢=BD⌢，即点D是BAC⌢的中点，
∴CM=AM+AB,∴CM=12(AC+AB)=14，
∴AM=2，∴AD=2AM=22.
②当点D在AC下方时，如图（3），过点D作DN⊥AC于点N.
图（3）
∵∠DAC=45∘ ，∠BAC=90∘ ，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD⌢=CD⌢，即点D是BC⌢的中点.
同（2）可得，AN=CN+AB，
∴AN=12(AC+AB)=14，
∴AD=2AN=142.
综上可知，AD的长为22或142.
24．【答案】（1） 【解】把A(−​1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+​bx+​c得a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=−1,b=2,c=3,∴ 抛物线的表达式为y=−​x2+​2x+​3.
（2） ① 设直线BC的表达式为y=kx+​n，把B(3,0)，C(0,3)代入y=kx+​n得3k+n=0,n=3,解得k=−1,n=3,∴ 直线BC的表达式为y=−​x+​3．如图（1）.过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，∴AN//PM，∴△PMD∼△AND，∴PDAD=PMAN.设P(m,−​m2+​2m+​3)，则M(m,−​m+​3)，∴PM=−​m2+​2m+​3−​(−​m+​3)=−​m2+​3m.∵A(−​1,0)，将x=−​1代入y=−​x+​3，得y=4，∴N(−​1,4)，∴AN=4.∵S1S2=PDAD=PMAN=12，∴−m2+3m4=12，∴m=1或2，∴ 点P的坐标为(1,4)或(2,3)．
图（1）
② 存在，点Q的坐标为(1,2)或(1,−​2)或(1,4)．过点F作FG⊥OB于G，如图（2）.对于y=−​x2+​2x+​3，−b2a=−​22×(−1)=1，∴ 抛物线对称轴为直线x=1，∴OE=1.∵B(3,0)，C(0,3)，∴OC=OB=3.又∵∠COB=90∘ ，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠CBO=45∘.∵EF⊥BC,∴∠EFB=90∘ ，∴△EFB是等腰直角三角形.∵BE=OB−​OE=2,∴FG=GB=EG=1，∴ 点F的坐标为(2,1).当EF为平行四边形的边时，由题易得QE=PF，QE//PF//y轴，∴ 点P的横坐标与点F的横坐标相同，为2，当x=2时，y=−​22+​2×2+​3=3，∴ 点P的坐标为(2,3)，∴QE=PF=3−​1=2，∴ 点Q的坐标为(1,2).根据对称性可知，当P(0,3)，Q(1,4)时，四边形PEFQ也是平行四边形．
当EF为平行四边形的对角线时，如图（3）.
图（2）图（3）
∵ 四边形PEQF为平行四边形，∴QE=PF，QE//PF//y轴，同理求得点P的坐标为(2,3)，∴QE=PF=3−​1=2，点Q的坐标为(1,−​2).
综上，点Q的坐标为(1,2)或(1,−​2)或(1,4)．军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/
80
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/
80
80