新高考物理一轮复习突破训练专题强化15带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题（2份，原卷版+解析版）

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会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
【知识梳理】
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
角度1 带电粒子电性不确定形成多解
【典例剖析】
例1 (多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为qBL2m
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为5qBL2
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为πm3qB
角度2 磁场方向不确定形成多解
【典例剖析】
例2 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为qm，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A.B>mv3qs，垂直纸面向里B.B>mvqs，垂直纸面向里
C.B>mvqs，垂直纸面向外D.B>3mvqs，垂直纸面向外
角度3 临界状态不确定形成多解
【典例剖析】
例3 (2025·安徽合肥高三开学考)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝3L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是( )
A.粒子能通过cd边的最短时间t＝πmqB
B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝qBL2m
C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝2qBLm
D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度00)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为7πm3qB
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为3qBR3m
例5 如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求:
(1)vm的大小;
(2)粒子A在匀强磁场中运动的时间;
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
【限时训练】（40min）
1.如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
A.3qBLmB.3qBL2m
C.3qBL3mD.3qBL4m
2.如图所示，四分之一圆区域OMN内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有两个带电粒子a、b，以相同的速度先后从P点沿平行ON方向射入磁场，并分别从N、M两点射出磁场。不计粒子所受重力及粒子间相互作用。则粒子a、b在磁场中运动周期之比为( )
A.5∶1B.1∶5
C.2∶3D.3∶2
3.(多选)如图所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0的大小可能为( )
A.qBd8mB.3qBd4m
C.qBdmD.3qBd2m
4.(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则( )
A.粒子的最大发射速率不超过3qBl4m
B.粒子的最大发射速率不超过23−3qBlm
C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为3l2
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.3mv2aeB.mvae
C.3mv4aeD.3mv5ae
6.(多选)如图所示，三角形abc区域(含边界)内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在a点有一粒子源，可向三角形内部发射速度大小和方向均不相同的同种带电粒子。已知∠b＝90°，∠a＝60°，ab边长为L，粒子质量为m，电荷量为＋q，不计重力，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的最长时间为2πm3qB
B.粒子在磁场中运动的最长时间为πm6qB
C.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为qBLm
D.沿ab边入射，从ac边飞出的粒子的最大速率为qBL2m
7.(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，3L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则( )
A.粒子一定带正电
B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为23qBLm
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为35L
8.(2025·广东广州模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷qm＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。
(1)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小;
(2)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q(3 m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t;
(3)若在第一象限加垂直纸面向里的矩形磁场，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝22 m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。
9.(2025·云南昆明一中月考)如图所示，在空间中有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内(包括坐标轴上)充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为3B，方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。边界上的P点坐标为(3L，L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，忽略粒子重力。
(1)若粒子不能从x轴出射，则粒子运动速度的最大值;
(2)若粒子垂直于y轴离开磁场，则该粒子在磁场中运动的最短时间;
(3)若粒子从O点离开磁场，则该粒子在磁场中运动的速度的可能值?
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a;如带负电，其轨迹为b
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
分析
图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解