【高考物理】一轮复习：专题强化练（2025版创新设计）17、专题强化练十七　带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题

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对点练1 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.(多选)如图1所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0大小可能为( )
图1
A.eq \f(qBd,8m)B.eq \f(3qBd,4m)
C.eq \f(qBd,m)D.eq \f(3qBd,2m)
2.如图2所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为( )
图2
A.eq \f(qBL,3m)B.eq \f(8qBL,9m)
C.eq \f(3qBL,4m)D.eq \f(4qBL,5m)
3.(多选)(2024·江西南昌模拟)如图3所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为( )
图3
A.eq \f(\r(3)kBL,2)B.eq \f(3\r(3)kBL,4)
C.eq \f(5\r(3)kBL,6)D.eq \f(4\r(3)kBL,3)
对点练2 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
4.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图4所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
图4
A.eq \f(3mv,2ae)B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae)D.eq \f(3mv,5ae)
5.(多选)一匀强磁场垂直于xOy平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图5所示。若粒子重力忽略不计，点O在磁场中。则粒子从点O到P的时间t和磁场区域的最小半径Rmin分别为( )
图5
A.t＝eq \f(（2π＋3\r(3)）d,9v)B.t＝eq \f(（2π＋\r(3)）d,9v)
C.Rmin＝eq \f(\r(3)d,6)D.Rmin＝eq \f(\r(3)d,3)
B级 综合提升练
6.(多选)(2024·云南师大附中高三月考)如图6所示，在0≤x≤a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B0。一束速率等于v0的相同带电粒子从原点O发射，速度方向与y轴正方向的夹角等概率的分布在0°～90°范围内。其中，沿y轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的P点(图中未标出)离开磁场，其偏向角为120°。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是( )
图6
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(2,3)a
B.带电粒子的比荷为eq \f(2Ba,3v0)
C.带电粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(8πa,9v0)
D.能从右边界射出的粒子占总粒子数的eq \f(1,3)
7.(2024·湖北重点高中智学联盟高三联考)如图7所示，平行边界M、N间存在垂直纸面向里的匀强磁场，边界间距为d＝3.0 m，磁感应强度为B＝0.10 T。质量为m＝1.6×10－10 kg、电荷量为q＝3.2×10－9 C的负离子(不计重力)从边界M上的A点进入磁场，速度与边界的夹角为θ＝60°，从边界N上的C点垂直边界射出磁场。求：(计算结果保留2位有效数字)
图7
(1)负离子进入磁场时的速度大小v0；
(2)负离子在磁场中运动的时间t；
(3)若入射速度不变，要使负离子不能从边界N射出磁场，磁感应强度B′应满足什么条件。
C级 培优加强练
8.(2024·广州阶段测试)如图8所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B＝30°，∠C＝90°，BC＝L。BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为＋q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：
图8
(1)离子的发射速率v；
(2)从AB边射出的离子占全部离子的占比(结果用百分比表示，保留3位有效数字)；
(3)从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。
参考答案
专题强化练十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
1.BC [设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受洛伦兹力向上，由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，
由题意知粒子在偏转以后打在板上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端射出，由几何关系知半径r1＝eq \f(d,4)，速度v1＝eq \f(qBd,4m)；若粒子恰好从极板右端飞出，由几何关系知半径r2与d之间关系为req \\al(2,2)＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r2－\f(d,2)))eq \s\up12(2)，解得r2＝eq \f(5,4)d，速度v2＝eq \f(5qBd,4m)，粒子要打在极板上，则初速度v0应满足的条件为eq \f(qBd,4m)2.A [若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝eq \f(L,2)，由qv1B＝meq \f(v12,r1)可得v1＝eq \f(qBr1,m)＝eq \f(qBL,2m)；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝meq \f(v22,r2)可得v2＝eq \f(qBL,m)。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度vv2＝eq \f(qBL,m)，故A正确。]
3.BC [能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图甲所示，由几何关系可知r1＝eq \f(L,cs 30°)＝eq \f(2\r(3),3)L，半径最大为从a点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝eq \r(3)L，由牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(v,kB)，则有eq \f(2\r(3),3)L≤eq \f(v,kB)≤eq \r(3)L，为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为eq \f(2\r(3)kBL,3)≤v≤eq \r(3)kBL，故B、C正确，A、D错误。]

甲 乙
4.C [由题可知，电子在匀强磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得evB＝meq \f(v2,r)，可得B＝eq \f(mv,er)，则速度一定时，电子的轨迹半径越大，对应的磁感应强度越小，由于电子被限制在实线圆内运动，当电子的运动轨迹与实线圆相切时，电子的轨迹半径最大，轨迹如图所示。由几何关系可得△O1O2M为直角三角形，则有req \\al(2,max)＝(3a－rmax)2－a2，解得rmax＝eq \f(4,3)a，则磁感应强度最小为Bmin＝eq \f(3mv,4ae)，故C正确。]
5.AC [粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知d＝eq \f(r,sin 30°)＋r，α＝120°，粒子运动半径r＝eq \f(d,3)，粒子从点O到P的时间为t＝eq \f(120°,360°)×eq \f(2πr,v)＋eq \f(r,vtan 30°)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋3\r(3)))d,9v)，A正确，B错误；磁场区域的直径等于粒子圆周运动的弦长时，半径最小，有Rmin＝eq \f(\r(3)r,2)＝eq \f(\r(3)d,6)，C正确，D错误。]
6.AC [根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆心为O′，根据几何关系r＋rcs 60°＝a，可知粒子做圆周运动的半径为r＝eq \f(2,3)a，故A正确；由qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),r)，eq \f(q,m)＝eq \f(v0,Br)＝eq \f(3v0,2Ba)，故B错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为eq \f(4π,3)，在磁场中的运动时间t＝eq \f(θr,v0)＝eq \f(\f(4π,3)×\f(2a,3),v0)＝eq \f(8πa,9v0)，故C正确；结合甲、乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与y轴正方向的夹角等概率的分布在0°～60°范围内，占总粒子数的eq \f(2,3)，故D错误。]
7.(1)12 m/s (2)0.26 s (3)B′≥0.30 T
解析 (1)作出负离子在匀强磁场中的运动轨迹如图甲所示，设粒子做圆周运动的轨道半径为r1
甲
由几何关系得cs 60°＝eq \f(d,r1)①
由洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),r1)②
联立①②解得r1＝6.0 m，v0＝12 m/s。③
(2)由几何关系得，负离子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为30°，设负离子在磁场中做圆周运动的周期为T，则
T＝eq \f(2πr1,v0)④
负离子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(30°,360°)T⑤
联立③④⑤解得t＝0.26 s。⑥
(3)若负离子恰好不能从边界N射出磁场，作出负离子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，设负离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r2，磁感应强度为B′
乙
由几何关系得r2＋r2cs 60°≤d⑦
由洛伦兹力提供向心力得
qv0B′＝meq \f(veq \\al(2,0),r2)⑧
联立③⑦⑧解得B′≥0.30 T。
8.(1)eq \f(qBL,4m) (2)33.3% (3)eq \f(πm,3qB)
解析 (1)离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图甲所示
由几何关系有
R＝eq \f(1,2)×eq \f(L,2)＝eq \f(L,4)①
离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
qvB＝meq \f(v2,R)②
联立①②解得v＝eq \f(qBL,4m)。③
(2)设离子入射速度方向与SB边夹角为α时，离子轨迹恰好与AB边相切，作出轨迹图如图乙所示
轨迹图中O为轨迹的圆心，OD与OS为半径，由几何关系有
eq \f(Rcs α＋\f(R,cs 30°),\f(L,2)＋Rsin α)＝tan 30°④
联立①④解得α＝60°⑤
即在离子入射速度与SB夹角小于等于60°时离子能够从AB边射出，由于离子是均匀地向三角形内的各个方向发射，则从AB边射出的离子占全部离子的占比为η＝eq \f(60°,180°)×100%≈33.3%。⑥
(3)当入射点与出射点连线垂直于AB边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图丙所示
轨迹图中O′为轨迹的圆心，O′S与O′J为半径，由几何关系有
xSJ＝eq \f(L,2)·sin 30°＝R⑦
即△O′JS为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为
α′＝60°
圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)⑧
最短时间tmin＝eq \f(60°,360°)·T⑨
解得tmin＝eq \f(πm,3qB)。