2025--2026学年山东菏泽市高一下册期中考试（B）数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东菏泽市高一下册期中考试（B）数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了 已知向量，若⊥，则等于， 若复数，则， 已知复数等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若⊥，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5. 在中，点、分别在边、上，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D.
7. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 3
8. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）
12. 已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______．
13. 在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________.
14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）若，求实数、的值；
（2）已知成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有实根，求正实数的值.
16. 已知平面向量，
（1）若与垂直，求k；
（2）若向量，若与共线，求.
17. 已知的内角，，所对的边分别是，，，.
（1）求；
（2）若，当的面积最大时，求的周长.
18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记．
（1）若，求线段的长度；
（2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值．
19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且
（1）求角；
（2）求；
（3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答过程：．
故选B．
方法提示：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2. 已知向量，若⊥，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用向量的坐标运算求解即可.
解答过程：因为，所以，
又，，所以，解得，
故选：C.
3. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：写出共轭复数，然后由复数的除法法则计算．
解答过程：由已知．
故选：B．
4. 已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
答案：D
解析：
思路：由向量数量积的坐标公式推得，再由三角形的内角范围即可判断三角形形状.
解答过程：由题意可得，由正弦定理可得，
则由可得，
即、，则或，
所以或，即为等腰三角形或直角三角形.
5. 在中，点、分别在边、上，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.
解答过程：因为，所以，又因为，故，
因为，所以，
所以.
6. 已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D.
答案：B
解析：
思路：利用三角形内角和与两角和的正弦公式，推导出角为直角，再结合直角三角形的面积公式求解.
解答过程：由三角形内角和得，故，
即，
结合题设，可得，
因，，故，即，
因此为直角三角形，面积.
代入，得.
7. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 3
答案：A
解析：
思路：根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可.
解答过程：设的三个内角对应的边分别为
由题可知，平分，所以，即，
又面积是面积的2倍，所以，
由，所以，，
又，则，又，
所以，
故选：A
8. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可.
解答过程：已知是实系数方程的根，
根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为
两根和：，得；
两根积：，解得
只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5.
展开乘积：
若满足大于5，需满足两个条件：
1. 虚部为0：
2. 实部大于5：把代入实部，
得.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：先根据复平面内的点写出复数及其共轭复数，再逐一验证各选项的计算结果.
解答过程：由复数在复平面内对应的点为，得，其共轭复数.
对于A：，A选项正确.
对于B：，B选项错误.
对于C：，C选项正确.
对于D：，
故，D选项正确.
10. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：
根据唯一确定，得到或，求解即可得到的可能值.
解答过程：解：若满足唯一确定，
则或，
故选：BD.
11. 已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
答案：ABD
解析：
思路：选项A，将不等式两边同时平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式非负求解的值；选项B，将两边平方，转化为向量数量积的等式，结合已知条件验证是否成立；选项C，可结合已知的和已求得的，考虑向量夹角的可能性，分析数量积的取值；选项D，建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把模的和转化为平面上两点间距离的和，利用几何意义和余弦定理求最小值.
解答过程：选项A，已知对任意恒成立，两边平方得：
，
代入，整理得关于的二次不等式：
，对任意恒成立，
故判别式：，
得，即，正确；
选项B，计算两边模的平方：，
故，正确；
选项C，题目仅给出，没有限定的方向，可以取到不同值（例如取，则），错误；
选项D，如图所示，设坐标原点为，点对应的向量为.
因为 ，所以点在半径为2的圆上运动.
由，设点对应的向量为，则，
可知；
设点对应的向量为，则
可知.
即求的最小值
在圆中（半径），点在圆外，，
把转化成点到另一个点的距离，在射线上取一点，
使得.此时，在 和 中：
1. （公共角），2. ，，
由此得，相似比为.
所以，,即，且，.
点与点之间的夹角：因为 ，，
所以 就是向量与的夹角，即.
根据三角形两边之和大于第三边，.
因为点和都在圆内部（距离均为1，半径为2），点在圆周上，
所以的最小值发生在点 、点、点并不共线，而是使到两点距离之和最小的圆上位置.
由于 且夹角为，由对称性可知，
当位于的角平分线上时（且在同侧的圆弧上），距离之和最小.
此时，与的夹角为.
利用余弦定理计算此时的距离：
.
同理，根据对称性，，
所以，的最小值为.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）
12. 已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______．
答案：##
解析：
解答过程：由余弦定理可得，
因为，所以.
13. 在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________.
答案：##
解析：
思路：由题意可知，设，则，利用平面向量的线性运算得出，利用平面向量的基本定理结合可求出的值，即可得出的值.
解答过程：如下图所示，由题意可知，
设，则，
因为，
所以，
又因为，且、不共线，所以，，
故，解得，
所以.
14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.
答案：1
解析：
思路：由已知结合正弦定理进行化简可求，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．
解答过程：解：由已知结合正弦定理得，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以．
又，
所以，
当且仅当时取“ ”．
所以的最小值为1．
故1．
方法提示：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）若，求实数、的值；
（2）已知成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有实根，求正实数的值.
答案：（1）（2）（3）
解析：
思路：（1）利用复数相等可得出关于、的方程组，解之即可；
（2）根据复数为零可得出关于、的方程组，解之即可；
（3）设方程的实根为，根据题意得出关于、的方程组，结合可解得的值.
解答过程：（1）由复数相等的充要条件，得，解得；
（2）因为、，所以由，可得，
解得或，所以；
（3）设方程的实根为，则有，
所以，解得.
16. 已知平面向量，
（1）若与垂直，求k；
（2）若向量，若与共线，求.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）借助数量积的坐标运算即可得；
（2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得.
（1）因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
整理得，解得；
（2）因为，，，
所以，，
因为与共线，故，
所以，解得，
所以，，
所以.
17. 已知的内角，，所对的边分别是，，，.
（1）求；
（2）若，当的面积最大时，求的周长.
答案：（1）
（2）6
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，然后由三角函数公式变形即可求解；
（2）利用余弦定理求得和的关系，再结合基本不等式即可求解.
（1）由正弦定理得，
即，
整理得，
，
因为，所以，则，
因为，所以.
（2）由余弦定理得，即，
，所以，当且仅当时等号成立，
面积，
当时取到最大值，此时为等边三角形，，
所以，周长为.
18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记．
（1）若，求线段的长度；
（2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得；
（2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可.
（1）因为的面积为，，，
所以，则，
在中利用余弦定理得，
所以线段的长度为.
（2）设，
因为的面积为，，所以，则，
因为，所以，
因为，所以
在中利用正弦定理可得，，
则
，
因为，所以，则，
则，则，
等号成立时，则，即，
故当时线段的长度最小，最小为.
19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且
（1）求角；
（2）求；
（3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得；
（2）由题设，，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得；
（3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得.
（1）因为，又，
所以，
因为，则，故，
因为，所以，
又，则，故为等腰直角三角形，所以.
（2）由，知，
由费马点定义知，，
设，，，，，，
由得：，
整理得，
则.
（3）在中，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，设点，
则，，
所以，
则的几何意义是点到点、、的距离之和，
因为，，则为等腰直角三角形，故，
易知，故，
所以，的“费马点”为点，故的最小值为.