2025--2026学年山东菏泽市高一下册期中学情检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东菏泽市高一下册期中学情检测数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了 下面命题中，正确的是， 若复数， 欧拉公式， 已知向量，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面命题中，正确的是（ ）
A. 若， 则B. 若，则
C. 若， 则D. 若 则
2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. D. 0
3. 已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（ ）
A. B. C. 2D. -2
6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部是B.
C. 复数z的共轭复数是D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
10. 已知向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
11. 如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（ ）

A. B.
C. D.
第II部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则________．
13. 在△中，若，,,求△的面积__________________
14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（为虚数单位）.
（1）若，求复数的共轭复数及；
（2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值.
16. 在中，内角所对的边分别为.
（1）若，求和的大小；
（2）若，求和的值.
17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.

（1）设，试用表示，并求；
（2）设，求的最小值.
18. 在锐角中，角的对边分别为，已知且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围.
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题：
（1）已知向量满足，求的值；
（2）若，用坐标表示；
（3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围.
数学
第I部分（选择题共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面命题中，正确的是（ ）
A. 若， 则B. 若，则
C. 若， 则D. 若 则
答案：D
解析：
思路：根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可.
解答过程：对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误；
对B，向量不能比较大小，错误；
对C，若，则，错误；
对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确.
故选：D
2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. D. 0
答案：A
解析：
思路：根据纯虚数的概念列式求解即可.
解答过程：若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得.
故选：A
3. 已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：点不能构成三角形，故共线，
故，解得.
4. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
思路：借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D.
解答过程：对A：由，则，则，由、，与矛盾，
故不存在这样的三角形，故A错误；
对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定，
故该三角形有且只有一个，故B正确；
对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误；
对D：，则，
故满足题意的三角形有两个，故D错误.
5. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（ ）
A. B. C. 2D. -2
答案：A
解析：
解答过程：

，
​因此结果为​，选A
6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可.
解答过程：由题意，可得，
且，在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
所以．
故选：D．
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
解答过程：解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
解答过程：建立如图所示平面直角坐标系．

已知，，，得，，
，，，
，，
，，
因为点在上，则，
又，且、不共线，
可得，且，解得．
，
．
故选：D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部是B.
C. 复数z的共轭复数是D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
答案：CD
解析：
思路：根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.
解答过程：，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
10. 已知向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
答案：ABD
解析：
思路：借助向量垂直性质结合数量积公式计算可得A；借助数量积公式与辅助角公式计算可得B；借助数量积与模长的关系，结合辅助角公式计算即可得C；借助投影向量定义计算可得D.
解答过程：对A：若，则，即，故A正确；
对B：，
由，则当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B正确；
对C：因，则
，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对D：若，则，
则在上的投影向量为，故D正确.
11. 如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（ ）

A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
解答过程：因为，
所以由待定系数法得：，所以，
根据平行四边形法则可知：，所以，
若点在的延长线上，根据三点共线的向量定理得，
所以，则需要满足的条件为：
A选项，，不满足条件，所以A选项错误；
B选项，满足，所以B选项正确；
C选项，，不满足条件，所以C选项错误；
D选项，满足，所以D选项正确.
第II部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则________．
答案：1
解析：
思路：根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可.
解答过程：，
所以，解得.
故1
13. 在△中，若，,,求△的面积__________________
答案：或
解析：
思路：由题意首先由余弦定理求得BC的值，然后利用面积公式求解△ABC的面积即可.
解答过程：在中，设，由余弦定理可得，
，，或．
当时，的面积为，
当时，的面积为，
故答案为或．
方法提示：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
答案：
解析：
思路：根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可.
解答过程：因为点是圆上一点，，所以，
因为，
所以，
设与的夹角为，，
则，所以，
又，所以，
又点是圆内部一点，所以，
综上；
，
因为，所以，则，
所以.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（为虚数单位）.
（1）若，求复数的共轭复数及；
（2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值.
答案：（1），
（2），
解析：
思路：（1）设，借助复数运算法则计算即可得，再利用共轭复数定义与模长公式计算即可得解；
（2）将代入方程计算即可得解.
（1）设，
则，
，
则，解得，即，
则复数的共轭复数为，；
（2）由题意可得，
化简得，
即有，解得.
16. 在中，内角所对的边分别为.
（1）若，求和的大小；
（2）若，求和的值.
答案：（1），
（2），
解析：
思路：（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算可得；
（2）借助余弦定理计算可得，再利用正弦定理计算即可得.
（1）由，可得，
由余弦定理，可得，
即，则；
（2）由余弦定理，可得，
即，解得，
则由正弦定理可得.
17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.

（1）设，试用表示，并求；
（2）设，求的最小值.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）借助平面向量线性运算法则计算可用表示出，再利用模长与数量积关系计算即可得；
（2）结合（1）中所得，可用、表示，再利用平面向量三点共线定理可得，最后由基本不等式中“1”的活用计算即可得的最小值.
（1）因为，所以，
所以，
；
（2）由（1）知，由，
则，
由、、三点共线，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为.
18. 在锐角中，角的对边分别为，已知且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）借助两角和的余弦公式计算即可得；
（2）借助余弦定理计算可得，再利用面积公式计算即可得的面积；
（3）利用正弦定理可用角表示边，再利用三角函数性质计算即可得解.
（1），
则，
即，又，故，
则，即，又，故；
（2）由余弦定理，可得，
即，解得（负值舍去），
故；
（3）由正弦定理可得，
则，，
故
，
由，可得，则，
则，即.
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题：
（1）已知向量满足，求的值；
（2）若，用坐标表示；
（3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）借助向量夹角公式可求出，再利用同角三角函数基本关系结合所给定义计算即可得解；
（2）利用向量夹角公式、同角三角函数基本关系、模长与数量积关系结合所给定义计算即可得解；
（3）利用（2）中所得可得，则可得，再利用面积公式可得，结合为锐角三角形，可得，解出可得范围，再利用余弦定理即可得
范围，则可得范围，即可得面积的范围.
（1），则，
则；
（2），
则
，
故；
（3），，
由（2）可得，即，
则，
又，故，
由为锐角三角形，则，即，
解得或，
设，
则，
令，当时，递减，
则；
当时，递增，则；
故，则，
故.