2025--2026学年山东省青岛第二中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省青岛第二中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 在的展开式中，含的系数是， 函数的单调递减区间是，001， 已知正实数满足和，则， 已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 在的展开式中，含的系数是（ ）
A. 35B. 34C. 30D. 15
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ）
A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人
B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人
C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001
D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联
5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ）
A. 15个B. 27个C. 28个D. 36个
8. 已知正实数满足和，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 当取最大值时，或2
10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法
C. 数列为等比数列
D.
11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ）
（注：若，则）
A.
B. 在上是增函数
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对于事件，则__________.
13. 某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________.
14. 已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求.
16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：
（1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量；
（2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围.
参考信息：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2, a=y−bx; i=15xiyi=267
17. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）
（1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望；
（2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球.
（i）求从乙箱中取出的球是白球的概率；
（ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率.
19. 已知函数
（1）若函数单调递增，求实数的取值范围：
（2）若函数有3个零点；
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证.
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：由题意求得样本中心点，将其代入到回归直线方程即可求解.
解答过程：由题意得样本中心点为，代入到回归直线方程得，
解得.
2. 在的展开式中，含的系数是（ ）
A. 35B. 34C. 30D. 15
答案：A
解析：
思路：分别利用二项式定理计算出原多项式中每一项展开后的系数，最后将这些系数相加求得总和.
解答过程：由得，令，此时系数为，
由得C4k2⋅14−k2xk2，令，此时系数为，
由得，令，此时系数为，
由得，令，此时系数为，
最终含的系数是.
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间.
解答过程：由题意得，
令，则，解得,
因为，最终有.
4. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ）
A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人
B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人
C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001
D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联
答案：C
解析：
解答过程：对于A，在调查的高一学生中，科技类占比为0.6，若按比例分层随机抽样抽取20人，
则参加科技类的学生应为人，故A错误；
对于B，在调查的高二学生中，选择文艺类的人数为人，
选择科技类的人数为人，
选择文艺类比选择科技类的学生多人，故B错误；
对于C，因为，依据的独立性检验，
即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001，故C正确；
对于D，当时，，依据的独立性检验，
即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.01，故D错误.
5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和.
解答过程：设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况：
甲中-乙中-甲没中-甲，概率为13×23×23=427；
甲没中-甲没中-甲中-乙：23×23×13=427；
甲没中-甲中-乙中-甲：23×13×23=427，
所以.
6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：使用二项式展开求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值公式即可求解.
解答过程：由可得，当为整数时，该项为有理项，
因为且，所以当时，分别为2，0，是整数，
即有理项有3项，
的取值为，
，
，
则的分布列为
则
7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ）
A. 15个B. 27个C. 28个D. 36个
答案：C
解析：
思路：用隔板法即可求解
解答过程：法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份，
其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，
首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个，
再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数.
法二：等价于从左到右三份分别对应 且x+y+z=7,x≥1,y≥0,z≥0 ，
若 ，则k+y+z=6 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有C6+3−13−1=C82=28 个安康数.∴选C
8. 已知正实数满足和，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可.
解答过程：由，两边取对数，，即，
又由，两边取对数，，
即，
令，因为且，则，
则，由，可得在上单调递增，
则，故；
又由可得，则，
故.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 当取最大值时，或2
答案：ABD
解析：
解答过程：，，选项A正确.
，选项B正确.
，
，选项C错误.
，，或时，取得最大值，D选项正确.
10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法
C. 数列为等比数列
D.
答案：ABD
解析：
思路：通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解
解答过程：由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为，
，所以为等比数列，C错误；
为首项是，公比是的等比数列，
，故A正确；
前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率，
∴传到乙手中共有11种传法，B正确；
，显然，
，D正确.
11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ）
（注：若，则）
A.
B. 在上是增函数
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
答案：ACD
解析：
思路：对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解.
解答过程：对于A，，所以A正确；
对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小，
在上是减函数，B错误；
对于，根据对称性，将替换为，
即，
图象关于直线对称，所以C正确；
对于D，，根据对称性得，
因此，即。
关于（）对称，D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对于事件，则__________.
答案：
解析：
思路：先利用条件概率和事件的概率算出，再根据两个事件并集的概率公式和的值即可求出，
解答过程：已知PB=35,PA∣B=16，由条件概率公式，得PAB=PA|B·PB=16×35=110，
又因为PA∪B=45，根据两个事件并集的概率公式PA∪B=PA+PB−PAB，
得PA=PA∪B−PB+PAB=45−35+110=310.
13. 某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________.
答案：18
解析：
思路：先分类讨论使用两种或三种颜色，结合分类加法与分步乘法计数原理依次讨论即可.
解答过程：不妨将图象从上到下分为三个区域，
第一种情况：使用两种颜色，
此时一、三区域同色，3种颜色选1种，二区域从剩下2种颜色中选一种，
即正面有种涂法，
因为同一区域的两面不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，
所以对应反面仅一种涂法，所以该种情况有种涂法，
第二种情况：使用三种颜色，
正面有种涂法，反面全错排共2种涂色方法；
所以该种情况有种涂法，
所以总共种.
14. 已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________.
答案：
解析：
思路：求得，得到，由，得到，且，求得，得到，代入计算，即可求解.
解答过程：由函数，可得，
因为为的极值点，可得，
又因为且，所以，
令函数，可得，所以在上单调递增，
所以，则，
又因为，所以，
所以，
因为，所以
代入可得.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求.
答案：（1）8 （2）0
解析：
思路：（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解；
（2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解.
（1）由题意得,,且，
且，所以有，
整理得，解得或（舍），
（2）令，得；
令，得a1+⋯+an==1−1=0 .
16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：
（1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量；
（2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围.
参考信息：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2, a=y−bx; i=15xiyi=267
答案：（1），千台
（2）解析：
思路：（1）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到月对应的值，代入可得月该款迎宾机器人的销量；
（2）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围.
（1）因为，
y=15×(8+10+13+20+24)=15 ，∑i=15xi2=1+4+9+16+25=55 ，
所以b^=∑i=15xi−xyi−y∑i=15xi−x2=∑i=15xiyi−5xy∑i=15xi2−5x2=267−5×3×1555−5×9=4210=4.2
所以，故经验回归方程为，
月对应的值为，当时，千台，
故可估计月该款迎宾机器人的月销量为千台；
（2）解法一：设甲､乙两学校购买迎宾机器人的个数之和为，则的所有可能取值为，
PX=0=1−p2−3p=3p2−5p+2 ，PX=1=1−p3p−1+p2−3p=−6p2+6p−1 ，PX=2=p3p−1=3p2−p ，
所以EX=0×3p2−5p+2+1×−6p2+6p−1+2×3p2−p=4p−1 ，
依题意有4p−1×2000≤3000 ，且，得，故的取值范围为.
解法二：设甲学校购买迎宾机器人的个数为，乙学校购买迎宾机器人的个数为，则PX=0=1−p,PX=1=p,EX=p ；
PY=0=2−3p,PY=1=3p−1 ，EY=3p−1 .
EX+Y=∑i=1n∑j=1nxi+yjpij=∑i=1n∑j=1nxipij+∑i=1n∑j=1nyjpij=∑i=1nxi∑j=1npij+∑j=1nyj∑i=1npij=∑i=1nxipi+∑j=1nyjpj=EX+EY，
所以EX+Y=4p−1 .依题意有4p−1×2000≤3000 ，且，得，故的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切线方程；
（2）法一（构造函数法）： 构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围；法二（分离参数法）： 排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参新函数在指定区间上的最小值问题。
（1）的定义域为，
所以，所以切线方程为，即.
（2）法一：令，则，
设，则在上恒正，
所以在上单调递增，.
①当时，，所以在上单调递增，
即恒成立，所以此情况满足题意；
②当时，，，
当时，，故，因此，
且在上单调递增，所以使得，
即，有.
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
解得，因为，所以，
，则，所以在单调递增，
所以，
综上所述，的取值范围为.
法二：①当时，，对任意实数恒成立；
②当时，.不妨令，则
令，解得或.所以在上单调递减，
在上单调递增.所以.
综上，的取值范围为.
18. 已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）
（1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望；
（2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球.
（i）求从乙箱中取出的球是白球的概率；
（ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率.
答案：（1）
； （2）（i）（ii）
解析：
思路：（1）通过超几何分布求出取到不同个数红球的概率以列出分布列，再直接代入公式计算数学期望；
（2）（i）将“从甲箱转移到乙箱的2个球”按颜色分类作为互斥的条件事件，应用全概率公式求解最终摸出白球的总概率；（ii）在第（i）问已知结果的基础上，将“甲箱取出同色球”作为原因，应用贝叶斯公式进行逆向推算.
（1）由题意可能取值为，
，
，
，
期望.
（2）（i）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”；“甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球”
由全概率公式：
PD=PAD+PBD+PCD
=PAPDA+PBPDB+PCPDC
.
（ii）设“从甲箱中取出2个同色球”，所以
由贝叶斯公式：PED=PA∪CD=PAD+PCD
=PAD+PCDPD=PAPDA+PCPDCPD
.
19. 已知函数
（1）若函数单调递增，求实数的取值范围：
（2）若函数有3个零点；
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证.
答案：（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）求得f′x=12lnx+x+12x−a ，转化为对任意恒成立，设sx=12lnx+x+12x−a ，利用导数求得的单调性，求得，得出不等式，即可求解；
（2）（i）由（1）得求得 f′e−2a=1+e2a2−2a ，令φx=1+e2x−4x ，利用导数求得单调性，求得f′e−2a>0 和f′e2a>0 ，得到∃m∈e−2a,1,n∈1,e2a，满足，得到x1∈e−2a,m,x2=1,x3∈n,e2a，即可求解；
（ii）当时，fx=x+12lnx−2ax−1x+1，设ux=lnx−2ax−1x+1，根据题意，得到有3个零点，由，得到，进而证得结论.
（1）由函数fx=x+1lnx−ax+a ，可得f′x=12lnx+x+12x−a
因为函数单调递增，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设sx=12lnx+x+12x−a ，可得s′x=12x−12x2=x−12x2，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以f′(x)min=f′1=1−a ，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）（i）由（1）可得当时，函数单调递增，不符合题意；
当时，；当时，f′e−2a=1+e2a2−2a .
不妨令φx=1+e2x−4x ，可得φ′x=2e2x−4=0 ，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以φ(x)min=φ12ln2=3−2ln2>0 ，所以f′e−2a>0 ；
当时，f′e2a=e2a+12e2a>0 ，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以∃m∈e−2a,1,n∈1,e2a，满足，
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以fm>f1=0>fn，
fe2a=1+e2a22a−ae2a−1=2a>0 ，
fe−2a=1+e−2a2×−2a−ae−2a−1=−2ae−2a0 ，则与的零点相同，
即函数有3个零点且x1∈e−2a,m,x2=1,x3∈n,e2a，
而u1x=−lnx−2a1−xx+1=−ux，
又因为ux1=ux3=0 ，所以，
因为，故4a−3x1+x3=x3+4a−3x3>x3+1x3>2=2x2，
故4a−3x1+x3>2x2成立.
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
3月
4月
5月
6月
7月
月份代码
1
2
3
4
5
月销量（单位：千台）
8
10
13
20
24
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
P
月份
3月
4月
5月
6月
7月
月份代码
1
2
3
4
5
月销量（单位：千台）
8
10
13
20
24
0
1
2
0
1
2