2025--2026学年四川凉山州西昌市高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川凉山州西昌市高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 已知函数的导数为，则， 已知函数在处可导，且，则， 过点且与曲线相切的直线方程是， 若，下列等式中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 已知函数的导数为，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
2. 年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3. 下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
5. 为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（ ）
A. 36种B. 48种C. 72种D. 144种
6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
10. 若，下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 有两个极值点
B. 的最大值为
C.
D. 当时，
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的单调递增区间是，则__________.
13. 某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________.
14. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数：
（1）（2）
（3）16. 已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
17. 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人.
（1）项目组有多少种不同的选派方案？
（2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案.
18. 已知函数.
（1）若，求的最值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且.
19. 已知函数.
（1）若是的极值点，求的值；
（2）若函数存在两个不同的极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
数学
满分为150分，考试时间120分钟.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，
1. 已知函数的导数为，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
答案：B
解析：
解答过程：，故.
2. 年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：C
解析：
解答过程：第个语种（汉语）可以从名志愿者中选人，有种选择；
第个语种（英语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择；
第个语种（日语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择；
第个语种（韩语）只能选剩下的名志愿者，有种选择，
所以总的选派方案数是．
3. 下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：对于A，是幂函数，图象关于轴对称，不符合题意；
对于B，是由函数向上平移一个单位长度得到的，
因为的图象关于原点对称，
所以的图象不关于原点对称，不符合题意；
对于C，，为偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
令，则，
因为，所以图象关于原点对称，符合题意.
4. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
答案：D
解析：
思路：根据导数的定义求解．
解答过程：，
所以．
5. 为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（ ）
A. 36种B. 48种C. 72种D. 144种
答案：C
解析：
思路：利用插空法，先安装3个不同的新能源汽车充电区，再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中即可．
解答过程：先安装3个不同的新能源汽车充电区，则有种，
再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中，则有种，
所以不同的安装方案共有种．
故选：C
6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
解答过程：，点不在曲线上，
设切点为，则，
解得：，得切点，则
切线方程为：，
故选：．
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得；
函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.
，，在上恒成立，即.
，，；
，当且仅当，即时等号成立；
，即；
实数的取值范围是.
8. 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集
解答过程：为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求，
当时，设，，
所以为偶函数，，
时，，，
故在上单调递增，
当时，，
又，故，所以，故，
为偶函数，故在上单调递减，
时，，
又，所以，故，
所以不等式的解集为
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
答案：ABD
解析：
解答过程：由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确；
函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确.
10. 若，下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：根据排列数、组合数的计算公式逐项分析即可判断ACD，再由组合数的性质判断B得解.
解答过程：A，因为，故A正确；
B，由组合数的性质知，，故B错误；
C，因为，故C正确；
D，由，故D正确.
故选：ACD
11. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 有两个极值点
B. 的最大值为
C.
D. 当时，
答案：BD
解析：
思路：由题意列出方盒体积方程为，化简方程，对方程进行求导即可判断选项AB；
选项C为对称轴性质，没有对称轴；
选项D，当时，可以得出，由对称中心性质即可得出结论.
解答过程：，
，令，解得，因为，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
则在处(唯一极大值点)取得极大值，也是最大值，无极小值点.
，故A错误，B正确；
，故C错误；
当时，可以得出，所以，……
一共有9组和为2的数对，再加上，则，故选项D正确.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的单调递增区间是，则__________.
答案：2
解析：
解答过程：因为函数的对称轴为，则其单调递增区间为，
依题意可得，解得.
13. 某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________.
答案：
解析：
解答过程：要求至少有一道“有害垃圾”题的概率，可以先求一道“有害垃圾”题都没有的概率.
总抽法数种，一道“有害垃圾”题都没有的抽法数.
故所求概率为.
14. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是______.
答案：
解析：
思路：令，求出导数，分类讨论进而得到，可得，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值.
解答过程：令，
不等式对一切都成立等价于对一切都成立，
因为， ，
若， 则恒成立，即时函数单调递增，无最值；
若， 令得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数在时处取得极大值，也为最大值，为，
， ， ，
令， ， 令得，
在上，， 函数单调递减， 在上，，函数单调递增，
当时 ，， 所以的最小值为.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数：
（1）（2）
（3）答案：（1）；
（2）；
（3）解析：
思路：（1）本小问主要考查导数的减法运算法则和基本初等函数求导公式，对每一项分别求导，再相减即可；
（2）本小问主要考查导数的商的运算法则与复合函数的导数，代入求导公式计算即可；
（3）先将函数表达式进行化简，再根据导数加法运算法则及复合函数的导数，进行求导即可.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：由，
所以.
16. 已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
答案：（1）
（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为，
极大值，极小值．
解析：
思路：（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程．
（2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值．
（1）由，得，
因为，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）的定义域为，
，
令，得或，令，得或，令，得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，取极大值，当时，取极小值．
17. 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人.
（1）项目组有多少种不同的选派方案？
（2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案.
答案：（1）60 （2）660
解析：
思路：（1）结合题意分选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师两种情况求解即可；
（2）结合（1）分两种情况讨论求解即可.
（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师，
若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案；
若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案；
综上：项目组有60种不同的选派方案.
（2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师，
若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，
若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；
若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师，
若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，
若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；
综上：有种不同的分配方案.
18. 已知函数.
（1）若，求的最值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且.
答案：（1）函数的最小值为，无最大值；
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明见详解
解析：
思路：（1）利用导数求出函数的单调性，进而求最值；
（2）求导，分类讨论判断导数正负，求单调区间即可；
（3）由（2）可得，利用单调性和零点存在性定理可得在上存在唯一零点；可得，得，，构造函数，，利用导数求出最值，得证.
（1）当时，，则，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以函数的最小值为，无最大值.
（2）由，
当时，，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得或，
当时，，有，即在R上单调递增；
当时，，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
当时，，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）因为，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
依题意，，
又，，，，
所以在上存在唯一零点，且，
解得，两边取自然底数的对数，，
所以，，
令，，则，
故在上单调递减，则，
故.
19. 已知函数.
（1）若是的极值点，求的值；
（2）若函数存在两个不同的极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
答案：（1）
（2）（i）（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；
（2）（i）根据函数极值的定义，利用转化法进行求解即可；（ii）根据函数极值的定义，结合对数的运算性质，利用构造函数法、二次求导法进行求解运算证明即可.
（1） ，
因为是的极值点，
所以 ，即，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以是的极小值点，符合题意；
（2）（i），
函数的定义域为，
令，
设，
因为函数 存在两个不同的极值点，
所以直线与函数的图象有两个不同的交点，
，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
，当时，，且当时，，
当时，，且当时，，函数的图象如下图所示：
要想直线与函数的图象有两个不同的交点，
只需，
所以实数的取值范围为；
（ii）因为函数 存在两个不同的极值点，
所以不妨设，
且，
，
于是有，
，
因为，所以令，
所以有
要想证明，只需证明，
所以只要证明 在上恒成立，
即 在上恒成立，
设 ，
令，
因为，所以，因此函数在上单调递增，
于是当时，，
即，因此函数在上单调递增，
于是当时，，
因此在上恒成立，
所以 在上恒成立，
因此 .