2025--2026学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题（共18分)，填空题（共15分)，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 设复数z满足=i，则|z|=
A. 1B. C. D. 2
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B= ( )
A. B. C. D.
5. 设a→=1,2,b→=1,1,c→=a→+kb→．若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
二、多选题（共18分)
9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 不论取何值都有B. 存在实数，使
C. 存在实数，，使D. 存在实数，，使
11. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为3π
B. 的增区间是
C. 是奇函数
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象
三、填空题（共15分)
12. 已知向量，，若，则___________．
13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________.
14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是______．
四、解答题(共 77分)
15. 已知．
（1）若，求；
（2）若，的夹角为，求；
（3）若，求与的夹角为．
16. 在中，设所对的边分别为，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
17. 已知．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
18. 在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求;
（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．
19. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上.
（1）求的长度；
（2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值.
数学
一、单选题（共40分）
1. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：D
解析：
思路：先求得，然后求得.
解答过程：因为，所以.
故选：D
2. 设复数z满足=i，则|z|=
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：试题分析：由题意得，，所以，故选A.
考点：复数的运算与复数的模.
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据三角函数平移变换可求得，利用代入检验的方式得到整体的范围，根据正弦函数单调区间可构造不等式求得结果.
解答过程：向右平移个单位得：，
当时，，
在上单调递增，，解得：，
的最大值为.
故选：D
4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B= ( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：试题分析：根据正弦定理可得,
由已知可得,整理可得,
,在中.故C正确.
考点：1正弦定理;2余弦定理.
5. 设．若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由已知，得c→=1,2+k1,1=k+1,k+2，
因为，则，因此，解得，故A正确.
6. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
答案：D
解析：
思路：利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解.
解答过程：由题意，向量，且，
则，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
7. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算.
解答过程：已知，，且.
可得：，即..
，将其变形为.
分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行），
得到.
将代入可得：
，则.
故选：D.
8. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
答案：A
解析：
思路：设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得.
解答过程：设，依题意，，，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
由，
可得：
解得：
故选：A
二、多选题（共18分)
9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：BCD
解析：
思路：利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
解答过程：对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 不论取何值都有B. 存在实数，使
C. 存在实数，，使D. 存在实数，，使
答案：AD
解析：
思路：利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD.
解答过程：对于A，任意实数，，则，A正确；
对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误；
对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误；
对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确.
故选：AD
11. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为3π
B. 的增区间是
C. 是奇函数
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象
答案：AB
解析：
思路：由函数最值求解A，由周期求ω，结合特殊点的函数值求，即得函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可．
解答过程：对于A，由图，，函数的最小正周期满足，则，故A正确；
对于B，由A可得，则，又因图象过点，则，
即，因，所以则得
令，解得，故B正确；
对于C，，因函数的定义域为，其图象显然不经过点，故不是奇函数，即C错误；
对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）可得，故D错误．
故选：AB．
三、填空题（共15分)
12. 已知向量，，若，则___________．
答案：
解析：
思路：依据向量垂直的充要条件，列出关于k的方程，即可求得k的值
解答过程：由，，，
可得，解之得
故
13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________.
答案：
解析：
思路：由图可求以及与的夹角，利用数量积的定义即可求解.
解答过程：由图可知，所以，
故答案为.
14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是______．
答案：##
解析：
思路：先求出的解析式，再根据奇函数的定义和诱导公式列式求解.
解答过程：由题意得函数，
又是奇函数，所以，解得，又，
所以当时，取得最小值．
故
四、解答题(共 77分)
15. 已知．
（1）若，求；
（2）若，的夹角为，求；
（3）若，求与的夹角为．
答案：（1）或
（2） （3）
解析：
思路：(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得；
(2)根据向量模的求法及数量积计算可得；
(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.
（1）若，则与的夹角为0或．
所以或．
（2）因为
，
所以．
（3）若，则，即，
所以，
即，所以，
又，所以．
16. 在中，设所对的边分别为，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
答案：（1）60°；
（2）等边三角形；
解析：
思路：（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；
（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断.
（1）∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
（2）∵
∴，
又，
∴，且，
∴，
又，
所以，
所以，
∴为等边三角形.
17. 已知．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）利用三点共线对应向量共线的坐标关系建立方程，求解得到的值；
（2）通过向量加法运算得到的坐标，再由向量垂直的数量积为0的性质列方程，求解得到的值；
（3）先计算的模长，再根据题中给定的模长关系建立方程，求解得到的两个取值.
（1）由三点共线，与共线，故，解得.
（2），由，
得，解得.
（3），，，
由，得，
两边平方得，即，
解得或.
18. 在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求;
（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案；
（2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案.
（1）因为，所以由正弦定理得
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以;
（2）在中，，可得，
又，可得，又，，可得为正三角形，
故面积为.
19. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上.
（1）求的长度；
（2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值.
答案：（1）
（2），，.
解析：
思路：（1）在中利用正弦定理计算可得；
（2）根据正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质求出最大值.
（1）在中，，
所以，
由正弦定理，
即，解得，故的长度为.
（2）由题可知，
在中，
∴，，
∴
，
∴，，
∵，∴，
∴，
所以当，即时取得最大值，最大值为.