2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
2. 已知向量，则实数的取值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，已知，则（ ）.
A. B. C. D.
4. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）

A. B.
C. D.
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B. 1C. D.
8. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9. 下列有关平面向量的说法中正确的是（ ）
A.
B. 在边长为1的等边中，
C. 若，则
D. 若，则向量的夹角是钝角
10. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第一象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，且D为BC上的中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数______．
13. 若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则_______
14. 如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________.
三．解答题
15. 已知向量满足，，且的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值 .
16. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
18. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得．
（1）求A，M两点间的距离；
（2）求山顶M，N之间的距离．
19. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
答案：C
解析：
思路：根据复数的模长公式求解即可.
解答过程.
2. 已知向量，则实数的取值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：，
，解得.
3. 在中，已知，则（ ）.
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由余弦定理得.
4. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）

A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案.
解答过程：根据题意，作出原图，

由斜二测画法，在原图中，，，
所以，故的周长为.
故选：C．
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ）
A. 1B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解．
解答过程：由题意，在中，
由正弦定理可得，
又B为的内角，
，
的面积，
故选：D．
6. 已知某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.
解答过程：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，
所以该扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，则，解得：，
因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，
该圆锥的体积为.
故选：C
7. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
解答过程：以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
则，则，
则.
8. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，，，则，所以，
将直三棱柱补成长方体，如下图所示：

所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，
即直径为，
因此，该直三棱柱的外接球的表面积为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9. 下列有关平面向量的说法中正确的是（ ）
A.
B. 在边长为1的等边中，
C. 若，则
D. 若，则向量的夹角是钝角
答案：AC
解析：
思路：根据相反向量、向量平行、向量数量积及向量夹角判断即可.
解答过程：选项A：根据相反向量定义可知，，所以，故A正确.
选项B：等边中，，与的夹角为，
则，故B错误.
选项C：若，则满足，根据向量平行的判定定理可知，，故C正确.
选项D：，则.
但当时，，此时两向量反向共线，夹角不是钝角，故D错误.
10. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第一象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
答案：AC
解析：
解答过程.
A：因为，所以A选项正确；
B：因为，所以在复平面上对应的点在第四象限，因此B选项不正确；
C：因为，所以是纯虚数，因此C选项正确；
D：因为的虚部为，所以D选项不正确.
11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，且D为BC上的中点，则
答案：ABD
解析：
思路：借助正弦定理将边化为角后借助诱导公式与三角形内角和关系计算即可得A；借助正弦定理可得B；借助余弦定理与基本不等式计算可得C；由结合余弦定理计算可得、，再借助向量线性运算法则与数量积公式计算即可得D.
解答过程：对A：由正弦定理将边化为角可得，
由，
故，由，则，
故，即，则，故A正确；
对B：由外接圆的半径为，则，
故，故B正确；
对C：由余弦定理可得，
即，当且仅当时，等号成立，
故，则，故C错误；
对D：由，则，又，
则，，
由，则，
即，故，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数______．
答案：
解析：
解答过程：因为复数z对应的点的坐标为，所以，
可得，即复数z的共轭复数.
13. 若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则_______
答案：##
解析：
思路：借助平移性质得到后代入计算即可得.
解答过程：gx=cs2x−2×π6+π3=cs2x ，则gπ3=cs2π3=−12.
14. 如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________.
答案：
解析：
思路：建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可.
解答过程：以为原点，以、为轴、轴建立平面直角坐标系，
则，，，，.
设，则，.
所以.
所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值.
易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时，
因此的最大值为.
三．解答题
15. 已知向量满足，，且的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值 .
答案：（1）
（2）或．
解析：
思路：（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据向量垂直，可得数量积为0，即可代入计算求解.
（1）因为，，且的夹角为
所以
所以
（2）由向量与互相垂直，
所以，即，
所以，解得或．
16. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由已知条件结合余弦定理求解即可；
（2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解.
（1）因为，又，所以，得，
又，所以.
（2）由（1）得，，得，
又，解得，
所以，故，
所以的周长为.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）利用三角恒等变换先化简解析式，根据解析式可求单调增区间；
（2）根据的范围得出的范围，结合图象可得值域.
（1），
令，可得，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）当时，，令由的图象可得，即的值域为.
18. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得．
（1）求A，M两点间的距离；
（2）求山顶M，N之间的距离．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）在中，利用正弦定理求解；
（2）由题可得为等腰三角形，可求得，在中，利用余弦定理求解.
（1）如图所示，在中，，
由正弦定理可得，，所以.
（2）∵，，
∴，易求得，
在中，，由余弦定理得，，
代入数据有，即.
所以M，N之间的距离为.
19. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可；
（3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
即，
由可得，即，
由，可得.
（2）因为，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，，
所以.
（3）如图，
由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，
化简可得，，
所以，当且仅当时等号成立.
故BD长度的最大值为.