2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学高一下册5月期中考试（A卷）数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学高一下册5月期中考试（A卷）数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 化简后等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
3. 在中，若点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
5. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
6. （ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
二、多选题
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则
11. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C.
D. 在方向上的投影向量为
三、填空题
12. 若是方程的两根，则____
13. 已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为________.
14. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______
四、解答题
15. 已知函数
（1）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（2）写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
16. 已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若且，求角的值.
18. 设向量，，且．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值；
（3）若，且，求的值．
19. 已知向量，．设函数，．
（1）求函数的单调增区间．
（2）当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
（3）若方程在上的解为，，求．
数学
（考试时长：120分钟 总分：150分 ）
一、单选题
1. 化简后等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：应用向量加减法的运算律化简即可得.
解答过程.
故选：C
2. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
答案：D
解析：
思路：根据模长公式即可求解.
解答过程：，
故选：D
3. 在中，若点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.
解答过程：由条件可知，得.
故选：A
4. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
答案：D
解析：
思路：
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
解答过程：解：、是平面内所有向量的一组基底，
与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
与不共线，可以作为基底，
与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，
故选：．
5. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可.
解答过程：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为，，所以，，，
因为为中点，所以，，则.
所以，.
所以 .

6. （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解.
解答过程.
故选：A
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程.
，
因为，所以，
因为，所以，所以.
8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
答案：D
解析：
思路：将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
解答过程：，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
二、多选题
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.
解答过程：A：因为，
所以本选项不正确；
B：因为，
所以本选项正确；
C：因为
所以本选项正确；
D：因为，
所以本选项正确，
故选：BCD
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则
答案：AD
解析：
思路：根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出，的关系，进而可判断D.
解答过程：因为，，所以，，
对于A选项，若，则，所以，故A正确；
对于B选项，若，则，所以，
又，解得或，故B错误；
对于C选项，
，其中，
当时，取得最大值，故C错误；
对于D选项，若，则，即，
所以，
所以
，故D正确.
11. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C.
D. 在方向上的投影向量为
答案：BCD
解析：
思路：由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D.
解答过程：由题可得：，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以与不垂直，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量为，故D错误；
故选：BCD
三、填空题
12. 若是方程的两根，则____
答案：##0.4
解析：
思路：由题意利用韦达定理求得 的值，再利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．
解答过程：、是方程的两根，
，，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=21−−4=25.
13. 已知为一个单位向量，与的夹角是.若，则在上的投影向量为________.
答案：
解析：
解答过程：为一个单位向量，与的夹角是，，
由平面向量数量积定义可得，
所以在上的投影向量为.故
14. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______
答案：17
解析：
思路：借助功的定义计算即可得.
解答过程：因为，，则，且，
所以，
故力对冰球所做的功为.
四、解答题
15. 已知函数
（1）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（2）写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
答案：（1）答案见解析
（2）对称轴为.对称中心为：
解析：
思路：（1）令取表格给出的五个特殊值，计算出对应的和补全表格，再以五个计算结果为坐标在坐标系中描点、顺次连线，即可画出函数在一个周期内的图象；
（2）利用正弦函数的对称性，分别令和，求解后整理即可得到函数的对称中心坐标和对称轴方程.
（1）列表
（2）对称轴为.对称中心为：
对称轴方程的求解：由解得；
对称中心的求解：由解得.
16. 已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）且
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；
（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．
（1）因为，，，．
（2），，
，， 解得．
（3）与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若且，求角的值.
答案：（1）
（2）或.
解析：
思路：（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，即可求得函数的解析式；
（2）结合三角函数的图象变换，求得，再由，利用三角函数的图象由性质，即可求解.
（1）解：根据函数的图象可得，且，
所以，，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
所以，可得，
又因为，所以，所以.
（2）解：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
再向下平移一个单位得到，
再向左平移个单位得到，
即，
若，即，可得或，
即或，
因为，所以角的值为或.
18. 设向量，，且．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值；
（3）若，且，求的值．
答案：（1）90° （2）
（3）解析：
思路：（1）求出两向量的模长，利用向量数量积的运算律计算即可推断求得；
（2）利用差角的余弦公式 结合条件得到，再由运用向量数量积的运算律化简即可求得；
（3）根据角的范围求出与，结合，利用和角的正弦公式计算即得.
（1）因，，
则，．
向量与的夹角为．
（2）因
由，两边取平方可得，
又，代入化简得：，故．
（3）因且，则，
又，则，由（1）已得，
则．
故
．
19. 已知向量，．设函数，．
（1）求函数的单调增区间．
（2）当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
（3）若方程在上的解为，，求．
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）由题可得，然后利用正弦函数的性质即得；
（2）令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可；
（3）令，则函数变形为，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，即，代入，求解即可.
（1）由题意可知，
，
由，可得，
∴函数的单调增区间为；
（2）令，
当时，令，则
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若使得方程有两个不等的实根
则需函数与有两个交点
即，与有两个交点，
所以，即；
（3）由，令，则
所以
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，
设为与的两交点的横坐标，则，
，为方程的两个解，
，
即，即，，
所以.0
0
0
0
1
0
0