2025--2026学年宁夏吴忠市盐池中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏吴忠市盐池中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 12
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（ ）
A. 4种B. 15种C. 16种D. 24种
6. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. 15B. 40C. 60D. 80
7. 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A. 第6项B. 第3项C. 第3项和第6项D. 第5项和第7项
8. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下面导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 可能有三个极值点B. 若，则在上单调递减
C. 若，则的极大值点为D. 若，则
三、填空题
12. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
13. 即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式．
14. ________．
四、解答题
15. 已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.
16. （1）计算：；
（2）计算： ，求；
（3）计算：，求.
17. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.
（1）求的系数；
（2）求的值.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若不等式恒成立，求的最大值.
19. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
（3）讨论方程的实数解的个数.
数学
总分150分 答题时间120分钟
一、单选题
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据导数的定义对函数求导代入计算即可.
解答过程：易知，
所以.
故选：A.
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法，
若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法，
若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法，
由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为.
3. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 12
答案：C
解析：
思路：根据多项式相乘时，展开式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可.
解答过程：因为第一个括号有2项，
第二个括号有3项，
第三个括号有项，
所以展开式共有项，
所以.
故选：C
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小．
解答过程：因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．
故选：A.
5. 4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（ ）
A. 4种B. 15种C. 16种D. 24种
答案：B
解析：
解答过程：4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法，
若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为.
6. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. 15B. 40C. 60D. 80
答案：C
解析：
思路：利用二项式定理的通项公式进行求解.
解答过程：由题，展开式的通项为，
令，所以展开式中常数项为.
故选：C.
7. 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A. 第6项B. 第3项C. 第3项和第6项D. 第5项和第7项
答案：D
解析：
思路：结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解.
解答过程：因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式的各项系数分别为，
第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且，
所以系数最大的项是第5项和第7项.
故选：D
8. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由图像可知函数关于原点对称，是奇函数，
对于选项C，，，
故是偶函数，不符合，排除C；
对于选项A，，求导得，
故在上单调递增，
不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；
根据图像，极大值点在左侧，
对于选项B，，求导得，
令，得，
故的极大值点为，不符合图像，排除B.
二、多选题
9. 下面导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：由导数的四则运算逐项判断即可.
解答过程：由导数的运算公式，得：
，
AD错误，BC正确．
10. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：由排列与组合数的运算性质求解即可.
解答过程：A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故选：BC.
11. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 可能有三个极值点B. 若，则在上单调递减
C. 若，则的极大值点为D. 若，则
答案：ABC
解析：
思路：根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解.
解答过程：由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点，
所以可能有三个极值点，A正确．
若，，由图可得当时，，单调递减，B正确．
若，，由图可得当时，，
当时，，所以的极大值点为，C正确．
若，则，由图可得，
得或，所以或，D错误．
故选：ABC
三、填空题
12. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
答案：
解析：
思路：求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等得到方程，解得即可.
解答过程：因为，所以，则，
直线的斜率为，
依题意可得，解得.
故
13. 即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式．
答案：54
解析：
思路：考虑利用分布乘法计数原理的应用，结合“特殊元素（特殊位置）优先法”解决问题.
解答过程：第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：种；
第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，有：种；
第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有：种.
根据分步乘法计数原理，一共有：种不同的乘坐方式.
故54
14. ________．
答案：256
解析：
思路：由二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，则，可得答案.
解答过程：因为,而二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，
所以，
故．
四、解答题
15. 已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.
答案：（1）；（2）,或.
解析：
解答过程：试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得，，解方程可得的值；（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.
试题解析：（1）∵的导数，
由题意可得，，
解得，.
（2）∵切线与直线垂直，
∴切线的斜率.设切点的坐标为，
则，∴.
由，可得，或.
则切线方程为或.
即或.
16. （1）计算：；
（2）计算： ，求；
（3）计算：，求.
答案：（1）0；（2）；（3）或
解析：
思路：（1）利用排列数性质计算即可得；
（2）利用组合数与排列数性质计算即可得；
（3）利用组合数计算即可得.
解答过程：（1）；
（2）由已知可得，所以，
所以，所以，解得或，
又n+1≥2n−1≥2，即，故；
（3）由可得或，
解方程，即，解得或，
解方程，即，解得或，
又因为、均为整数，且0≤x2−x≤160≤5x−5≤16，
所以或符合要求，和均不符合要求.
故或；
17. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.
（1）求的系数；
（2）求的值.
答案：（1）180 （2）
解析：
思路：（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出.
（2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
（1）第3项与第9项的二项式系数相等，
则，解得，所以.
所以的展开式中项为：，所以.
（2）由（1）知，的展开式中，当时，，
由二项展开式可得：
所以都是正数，都是负数，
所以
当时，，
所以.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若不等式恒成立，求的最大值.
答案：（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为
（3）解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得；
（2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；
（3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围.
（1）当时，，则，
得.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，得，
令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）恒成立，即恒成立，
即恒成立.
令，则，
当时，则，函数在上单调递增，
因为，不符合题意；
当时，由，得，则函数在上单调递增，
由，得，则函数在上单调递减，
故的最大值为，
由和，解得.
综上可得，的最大值为.
19. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
（3）讨论方程的实数解的个数.
答案：（1）极小值为，无极大值
（2）作图见解析 （3）答案见解析
解析：
思路：（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）分析可知时，，由此可作出函数图象；
（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
（1）因为函数定义域为，，又恒成立，
当时，；当时，；
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（2）当时，，，则恒成立，
图象如下：
（3）方程的根的个数等价于函数与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与有两个不同交点；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与无交点；
综上所述：当时，方程有唯一的实数根；
当时，方程有两个不同的实数根；
当时，方程无实数根.
1
0
单调递增
单调递减