2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市盐池中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市盐池中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. 1C. D. 2
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 在中，下列四式中成立的个数为（ ）
①，②，③，④
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D.
5. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
6. 已知点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 若点，则四边形是平行四边形
C. 若，则
D. 若，则
7. 在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
8. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
B. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、曲边梯形等
D. 底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱
10. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 则；
②若 则；
③若， 则；
④若 则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______.
13. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________.
14. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为______
四、解答题：（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知复数，根据下列条件求实数的值．
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）在复平面内对应的点在第二象限．
16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；，且边，
（1）求的周长；
（2）若角，求的面积．
17. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：直线、、三线共点．
18. 已知向量，其中
（1）若，求k的值；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
19. 如图，在中，是边的中点，与交于点.
（1）求和的长度；
（2）求.
数学
总分150分 答题时间120分钟
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：B
解析：
思路：运用复数除法的法则，对复数z进行化简，最后求出复数z的模．
解答过程：由于，
则.
故选：B
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：B
解析：
思路：根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
解答过程：由向量，因为，可得，解得.
故选：B.
3. 在中，下列四式中成立的个数为（ ）
①，②，③，④
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：利用向量的加减运算法则即可得解.
解答过程：对于①，，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，故④正确；
故选：C.
4. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D.
答案：B
解析：
思路：根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长.
解答过程：由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：B
5. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
答案：D
解析：
思路：根据模长公式即可求解.
解答过程：，
故选：D
6. 已知点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 若点，则四边形是平行四边形
C. 若，则
D. 若，则
答案：C
解析：
思路：根据向量的坐标运算求解后判断各选项.
解答过程：A选项，因为，BC=0,−1，所以AC⋅BC=2×0+0×−1=0+0=0 ，
所以，是直角三角形，A正确；
B选项，因为，所以BD=2,0=AC，又因为四点不共线，所以四边形是平行四边形，B正确；
C选项，，AP=AB+AC=4,1，则，C错误；
D选项，因为，则是线段中点，所以，D正确.
7. 在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
答案：A
解析：
思路：等式变形为，再根据，，展开变形，判断三角形的形状.
解答过程：由条件可知,
因为，所以
，所以，
所以，
整理为：,
即
因为，所以，
，所以是直角三角形.
故选：A
方法提示：本题考查判断三角形的形状，重点考查三角函数恒等变换，属于基础题型，本题的重点是利用公式，变形，化简三角函数.
8. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
答案：B
解析：
思路：设米，结合已知条件得，，再应用余弦定理计算求解即可.
解答过程：设米，在中，，则，
在中，，则，
因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得（米）.
故选：B
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
B. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、曲边梯形等
D. 底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱
答案：AC
解析：
思路：利用相关几何体的定义域特点一一分析判断即可.
解答过程：对A，根据棱柱的特点知其侧棱都相等, 侧面都是平行四边形，故A正确；
对B，根据棱台定义知两个面不仅要平行，还要相似，各条侧棱所在直线交于一点，故B错误；
对C，若用与圆柱上下底面平行的平面去截圆柱，则得到截面为圆，若用与圆柱轴截面平行的平面截圆柱（也可是轴截面），则得到矩形，若此截面保证与上下底交，且交线相互平行，并且交线长不等，此时截面为曲边梯形，C正确；
对D，若这两个是矩形的侧面为相对的侧面，则此时另外两个面可以是平行四边形，则此时不是正四棱柱，故D错误.
故选：AC.
10. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
思路：利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求.
解答过程：由题设，①，
②，
所以①2②得即，
②①得，故，A正确、B错误；
所以，
故，故C正确、D错误.
故选：AC
11. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 则；
②若 则；
③若， 则；
④若 则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
答案：BC
解析：
思路：根据线面，面面平行或垂直的位置关系，即可判断选项.
解答过程：①没说明直线垂直于两平面的交线，所以不能判断，故①错误；
②根据面面平行的性质定理，若 ，则，故②正确；
③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若，则，
若，则，故③正确；
④若，则平行或相交，若，则或相交或，故④错误.
故选：BC
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______.
答案：
解析：
思路：代入长方体体积公式求解.
解答过程：长方体的体积.
13. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________.
答案：9
解析：
思路：根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
解答过程：因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以，又，
故，
当且仅当，即时等号成立.
故9.
14. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为______
答案：
解析：
思路：根据正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.
解答过程：如图，过S作平面，则垂足为底面正方形的中心，
由底面边长为，得.
在中，，则，
所以，故是过点的球的球心，
可得球的半径为，所以该球的表面积为.
故
四、解答题：（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知复数，根据下列条件求实数的值．
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）在复平面内对应的点在第二象限．
答案：（1）1或2 （2）
（3）解析：
思路：（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解；
（2）根据复数的概念列式即可求解；
（3）根据复数的几何意义列式即可求解.
（1）由题意
，
若是实数，则，解得或
（2）若是纯虚数，则，解得；
（3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得.
16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；，且边，
（1）求的周长；
（2）若角，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理得，则得到其周长；
（2）根据余弦定理得，解出的值，再利用三角形面积公式即可得到答案.
（1）∵，
∴由正弦定理可得，∴，
∴三角形周长为．
（2）由（1）知，
由余弦定理得，
即，解得，
∴.
17. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：直线、、三线共点．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点.
（1）（2）
由于且，故直线相交，设交于，
则，
同理可得直线相交于点，则，
故与重合，故直线三线相交于点O，
故直线三线交于一点．
18. 已知向量，其中
（1）若，求k的值；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）分别求得的坐标，再根据求解；
（2）先求得，的坐标，再由求解.
（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2），
，
所以，
所以向量在向量的投影向量为.
19. 如图，在中，是边的中点，与交于点.
（1）求和的长度；
（2）求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.
（1）是高，，在Rt中，，
所以.
是中线，，
，
（2），
.
另解：过D作交于，
是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，
.