2025--2026学年宁夏回族自治区吴忠市滨河中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

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1. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，若，则（ ）
A. -1B. -7C. 1D. 7
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 7
5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
6. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知角，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分.
9. 下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 若点，则线段的中点的坐标为；
B. 若向量满足，，，则；
C. 若向量，则不能作为平面向量的一组基底；
D. 若单位向量和的夹角为，则在上的投影向量为
10. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是函数的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为
11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ）
A. 是等腰三角形B.
C. 的面积为D. 的周长为
三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分.
12. 已知，若向量与相互垂直，则实数的值为__________.
13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.
14. 已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长后所得图像关于轴对称，则的值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知均为第二象限角，求的值.
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
17. 在中，已知.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的面积.
18. 设的内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）求角；
（3）若，的面积为，求.
19. 已知向量，设函数.
（1）将函数化简为的形式；
（2）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：D
解析：
思路：先求得，然后求得.
解答过程：因为，所以.
故选：D
2. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由正弦定理可得，所以或，
因，则，故为锐角，即.
3. 已知，，若，则（ ）
A. -1B. -7C. 1D. 7
答案：A
解析：
思路：根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
解答过程：由向量，，
因为，可得，解得.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 7
答案：B
解析：
思路：先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可.
解答过程：由，，则，
所以，
则.
故选：B
5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
答案：B
解析：
思路：方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
解答过程：方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
6. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为是的中点，，
因为，所以，又，
由题意得，故B正确.
7. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以，
展开整理得，即.
8. 已知角，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可.
解答过程：由，，则，
则，
，
所以
.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分.
9. 下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 若点，则线段的中点的坐标为；
B. 若向量满足，，，则；
C. 若向量，则不能作为平面向量的一组基底；
D. 若单位向量和的夹角为，则在上的投影向量为
答案：AD
解析：
解答过程：对于A，因为，，所以线段的中点坐标为，故A正确；
对于B，因为，，，所以，故B错误；
对于C，，与不共线，所以与能作为平面向量的一组基底，故C错误；
对于D，因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.
10. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是函数的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为
答案：ABD
解析：
思路：根据图象得到的解析式，利用正弦函数的性质和图象变换一一判断即可.
解答过程：对于A，由的图象可得，故A正确；
对于B，设的最小正周期为，则，得，故B正确；
对于C，因为，所以，又，得，
得，又，所以，所以，
又，所以不是的一条对称轴，故C错误；
对于D，将函数的图象向右平移个单位后，
得到，故D正确.
11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ）
A. 是等腰三角形B.
C. 的面积为D. 的周长为
答案：AC
解析：
思路：计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D.
解答过程：对于A，因为，所以或，
因为，所以，
则，则是等腰三角形，故A正确.
对于B，在中，由余弦定理可得，
即，则，
由正弦定理可得，故B错误.
对于C，的面积为，故C正确，
对于D，周长为，故D错误.
三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分.
12. 已知，若向量与相互垂直，则实数的值为__________.
答案：
解析：
解答过程：因为向量与相互垂直，所以，即，
又因为，所以，即.
13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.
答案：##
解析：
思路：根据余弦定理直接求解即可.
解答过程：，
，
，.
故答案为.
14. 已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长后所得图像关于轴对称，则的值为__________.
答案：##
解析：
思路：首先根据周期求，再根据函数的性质求，即可求函数的解析式.
解答过程：函数的最小正周期为，
，．
因为其图象向左平移个单位后，可得的图象；
所以根据所得图象关于轴对称，可得，，即，，
又，则．
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知均为第二象限角，求的值.
答案：，
解析：
解答过程：因为均为第二象限角，
所以，
所以，
.
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
（2）根据向量模的计算公式计算可得.
（3）利用向量夹角余弦公式可求出答案.
（1）因为，,
所以
（2）因为，,
所以，
所以,
（3）.
17. 在中，已知.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的面积.
答案：（1）或.
（2）解析：
思路：（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果；
（2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积.
（1）由正弦定理，可得，
因为，所以或.
（2）因为为锐角三角形，则，
则，
所以的面积.
18. 设的内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）求角；
（3）若，的面积为，求.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式，证明；
（2）先用正弦定理将边化角，再用第（1）问结论代入，化简后求出的值，进而得到角；
（3）先用三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合的值得到的值，最后通过完全平方公式联立方程，求出和.
（1）证明：在中，，
， .
即.
（2）由正弦定理，
将已知条件中的边化为角，得，
由（1）知，代入上式得，
即，
整理得，
.，
又.，.
（3），且，解得.
由余弦定理，得，即.
将代入上式，得，，
，，
，.
联立，解得.
19. 已知向量，设函数.
（1）将函数化简为的形式；
（2）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）最小正周期为，单调递减区间为
（3）解析：
思路：（1）根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换运算求解；
（2）根据正弦型函数的最小正周期公式求函数的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解；
（3）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解.
（1）因为，
则，
所以.
（2）因为，则的最小正周期；
令，解得，
所以函数的最小正周期为，单调递减区间为.
（3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得，
由可得，
因为，则，
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值，
即，可得，即
所以实数的取值范围是.