2025--2026学年福建南安第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建南安第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
3. 已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
4. 已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
6. 湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
7. 已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为B. 复数的虚部为﹣1
C. 若，则D. 若复数满足，则
11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，的面积为________．
13. 如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论：
（1）平面；
（2）平面平面；
（3）；
（4）直线与直线所成角的大小为．
其中正确结论的序号是____________．
14. 若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为．已知．
（1）求的值；
（2）证明：．
16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：；
（3）若，求四棱锥的体积．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角A；
（2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.
18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）.
①请用表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，.
（1）若，求出，；
（2）如图，若，以为边作正方形.
（ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求证.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以，所以，解得.
2. 已知复数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，
则.
3. 已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
答案：B
解析：
思路：根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.
解答过程：当直线l与平交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，
但“”不成立，故充分性不成立；
若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；
所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件.
4. 已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用平面向量数量积的运算性质结合投影向量的定义可求得结果.
解答过程：因为、是夹角为的两个单位向量，则，
由平面向量数量积的定义可得，
又因为，，
所以，
所以，
所以在上的投影向量为.
5. 已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据余弦定理计算圆锥的轴截面三角形顶角的余弦值，判断得出其为钝角，再根据三角形的面积公式可知，当截面顶角为直角时截面面积最大.
解答过程：如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形，
则，，则，
则在中利用余弦定理可得，，
则为钝角，
设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则，
则截面三角形的面积为，
则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为.
故选：B
6. 湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
答案：A
解析：
思路：设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点，结合余弦定理建立关于的方程求解即可.
解答过程：设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点：
根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程，
足球从向运动后剩余的路程.
在中，已知，，
由余弦定理：，
可得
则，解得或，
所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒.
7. 已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先根据条件确定点的轨迹，再根据最小可确定点的位置，求出在上的投影，利用平面向量数量积的几何意义求即可.
解答过程：由题意可得，
取值最小时，在平面内，球在平面的交线为如图所示的圆弧.

故取值最小时，三点共线，
过点作于，则，
又，故，
所以，解得，从而，
因此.
8. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由正弦边角关系、三角形内角和及三角恒等变换得且，从而有，结合、和角正切公式得，最后应用基本不等式求最值.
解答过程：因为，
由正弦定理得，
又，则，
所以，
即，
所以，
由，则，而，所以，
所以角为钝角，，则角为锐角即，
此时，
由，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
答案：ABD
解析：
思路：先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C.
解答过程：由题意可知，，且，
则，
，
，
故，B正确；
，故A正确；
因，，
若，则，使得，
因不共线，则，此方程组无解，
故与不共线，故C错误；
因，
则，
因，则，故D正确.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为B. 复数的虚部为﹣1
C. 若，则D. 若复数满足，则
答案：AB
解析：
思路：根据复数模长公式和虚部的定义可以判断A、B选项，虚数不能比较大小，可判断C选项，举反例即可判断D选项.
解答过程：对于A选项，，故A正确，
对于B选项，的虚部为，故B正确，
对于C选项，因为，均为虚数，虚数不能比较大小，故C错误，
对于D选项，令 ，则，故D错误，
故选：AB.
11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
解析：
思路：先确定球的半径的范围，从而确定球面与正方体各面的交线，再用弧长公式计算总长度，逐一验证选项即可.
解答过程：A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，故A正确；
B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，故B正确；
C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，
则，即，则，
所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，故C错误；
D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，则，即，则，
如图所示，设轨迹与，分别交于点，，所以，
，则，同理，则，
所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，的面积为________．
答案：##
解析：
思路：利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解.
解答过程：在中，已知，，，
由正弦定理得，解得
由于，所以为锐角，即，因此，
故的面积为.
13. 如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论：
（1）平面；
（2）平面平面；
（3）；
（4）直线与直线所成角的大小为．
其中正确结论的序号是____________．
答案：（1）（2）（3）
解析：
思路：根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定（1）正确；再证得平面，利用面面平行的判定定理，可判定（2）正确；利用勾股定理，证得，结合，可判定（3）正确；利用异面直线所成角的定义和求法，可判定（4）错误.
解答过程：如图所示，连接，因为分别为的中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确；
因为分别为的中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确；
由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，
因为，所以，所以（3）正确．
由于，分别为侧棱，的中点，所以，
因为四边形为正方形，所以，
所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角，
又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误．
故（1）（2）（3）.
14. 若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______.
答案： ①. 1 ②.
解析：
思路：①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值.
解答过程：因为平面向量，满足，所以等式两边平方得
，展开化简得.
因为，所以.
所以，
设向量的夹角为时，，
所以，所以.
由于取最小值时，取最大值，
所以此时，所以.
因为，所以.
所以.
令 ，则 ，令 ，则 .
由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 .
故①1；②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为．已知．
（1）求的值；
（2）证明：．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解；
（2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解.
（1）由，得，整理，得.
在中，由余弦定理，得.
把代入上式，得，
因为，所以.
在中，由正弦定理，得
（2）在中，由余弦定理，得
因为，所以.
16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：；
（3）若，求四棱锥的体积．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
解析：
思路：（1）根据面面平行的判定定理，即可证明；
（2）根据线面平行的性质，即可证明；
（3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解.
（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，
所以，，
又平面，平面，
则平面，
同理平面，平面，
可得平面，
又，平面，
所以平面平面．
（2）因为底面为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
（3）因为四棱锥是正四棱锥，
所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心，
又，所以，
又，
所以四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角A；
（2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得；
（2）在中，结合余弦定理得，结合正弦定理得，进而求得，最后根据面积公式求解即可.
（1）解：因为，
所以，
，
，
因为，所以，
所以，即，
又，则有，所以.
（2）解：因为，，，
所以在中，，
所以，即，
因为在中，，
所以，
因为，所以，
所以
，
所以.
18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）.
①请用表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
答案：（1）
（2）①②
解析：
思路：（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；
（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解.
（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积.
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，易知，故，
则，
所以；
②由①可知：，
即，
令，则，上式即为，
又令，，则，
当时，，当时，，
当时，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
方法提示：关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点.
19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，.
（1）若，求出，；
（2）如图，若，以为边作正方形.
（ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求证.
答案：（1），
（2）（ⅰ）存在，（ⅱ）证明见解析
解析：
思路：（1）利用复数的三角形式乘法，将已知复数与表示和旋转的复数相乘，可直接得出结果；
（2）（ⅰ）设，利用复数乘法表示出，再由列方程，通过辅助角公式即可求得，进而得到；（ⅱ）利用复数乘法表示，结合向量等式，通过模长平方和向量数量积运算化简，可得到，最后结合的范围即可证明.
（1）连接，因为四边形，，
所以，又，所以，即，
因为，
所以， ，
所以，.
（2）设，，
则，
设对应的复数为，则.
（ⅰ）设对应的复数为，
则，
设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，
又，所以，所以.

（ⅱ）设对应的复数为，
所以，
所以，
又，，，
所以，
整理得：，
即，
所以，
又，所以，
所以的范围为.