2025-2026学年福建省南安市第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省南安市第一中学高一（下）期中数学试卷，文件包含河南郑州外国语学校2026届高三下学期适应性训练一化学答案pdf、河南郑州外国语学校2026届高三下学期适应性训练一化学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1.已知平面向量=（-1，2），=（x,-2），若⊥，则x的值为（ ）
A. -4B. -1C. 1D. 4
2.已知复数，则|z|=（ ）
A. 0B. 1C. D.
3.已知直线l、m和平面α，若m⊂α，则“l与m不相交”是“l∥α”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
4.已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
6.湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动.已知米，AC=20米，∠BAC=30°.若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=AA1=2，以点B为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为Γ，点P为Γ上的动点，当|PC1|取最小值时，此时的值为（ ）
A. 4B. C. D.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a+bcsC=0，则tanA的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.下列说法正确的是（ ）
A. 复数2+i的模为
B. 复数z=1-i的虚部为-1
C. 若z1=2i,z2=i,则z1＞z2
D. 若复数z1，z2满足，则z1=z2=0
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在其表面上运动，且|PA|=x,把点的轨迹长度L=f（x）称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ）
A. B. f（2）=3π
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，a=2，，A=120°，△ABC的面积为 .
13.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．
其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）
14.若平面向量，满足，，则当最小时，= ；记与的夹角为θ，则tanθ的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求的值；
（2）证明：.
16.(本小题15分)
如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）求证：平面MNQ∥平面PAD；
（2）求证：BC∥l；
（3）若，求四棱锥P-ABCD的体积.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求角A；
（2）D为△ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，CD=1，若，，求△ABD的面积.
18.(本小题17分)
某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF∥CE，且BC=BF=1，CE=2，，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形PMNQ（该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE=θ（），
①请用θ表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
19.(本小题17分)
我们知道复数有三角形式z=r（csθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）=r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍.已知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，其边长为1，∠AOC=120°，点A，B，C所对应的复数分别为z1，z2，z3.
（1）若，求出z2，z3；
（2）如图，若P（3，0），以PA为边作正方形APMN.
（ⅰ）若M，N在AP下方，是否存在复数z1使得OM长度为，若存在，求出复数z1；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若M，N在AP上方，且向量，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】①②③
14.【答案】1
．

15.【答案】 证明：因为=，
又0＜B＜π，所以
16.【答案】由题易知MN∥PD，NQ∥AD，
又因为MN⊄面PAD，PD⊂面PAD，则MN∥面PAD，
同理可得NQ⊄面PAD，AD⊂面PAD，可得NQ∥面PAD，
又因为MN∩NQ=N，MN，NQ⊂面MNQ，则面MNQ∥面PAD 由题易知BC∥AD，
又因为BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，则BC∥面PAD，
又因为BC⊂面PBC，面PBC∩面PAD=l，则BC∥l 32
17.【答案】
18.【答案】解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积．
（2）①由图可知：PM=NQ=2csθ，PC=2sinθ，
在梯形BCEF中，由CE=2，BF=BC=1，
易知，故CQ=2-2csθ，
则PQ=CP+CQ=2+2sinθ-2csθ，
所以V=π|MP|2⋅|PQ|=8πcs2θ（1+sinθ-csθ）．
②由上问可知：
即
=，
令，则，
上式即为，
又令n=8m-1，，则，
当n=0时，t=π，
当-1＜n＜0时，t＜π，
当n＞0时，，
当且仅当，即n=3，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为2π．
19.【答案】z2=2i， （ⅰ）存在，；（ⅱ）证明：设对应的复数为z7，
因此=[（csα-3）+isinα]•（-i）=sinα+i（3-csα），
因此，
又，，，
因此，
整理得：，
即4xy（10-6csα）=x2+y2-xy，
因此，
又，因此，
因此的范围为[17，29]．