2025--2026学年内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A. 10种B. 种C. 种D. 45种
2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ）
A. 7.6B. 7.4C. 7.2D. 7
5. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表：
若y关于x的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.82B. 2.86C. 2.88D. 2.92
6. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.1B. 2.2C. 2.3D. 2.4
7. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（）
A.
B. （为正整数且）
C.
D. 满足方程的值可能为或
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则
11. 对于函数以及它的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的图象关于点成中心对称
C. 存在极值
D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________.
13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种.
14. 已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则______．
四、解答题
15. 某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下：
（1）根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程；
（2）为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：．参考数据：，．
16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
18. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
（2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：，其中．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求证：
数学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A. 10种B. 种C. 种D. 45种
答案：B
解析：
思路：采用隔板法求解.
解答过程：先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，
问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.
故选：B.
2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率.
解答过程：依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件，
被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件，
所以所求概率为.
故选：A
3. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，；
②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，.
所以乙取到玩具盲盒的概率为．
4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ）
A. 7.6B. 7.4C. 7.2D. 7
答案：A
解析：
思路：先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可.
解答过程：把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，，
，所以这组数据的分位数为第位数字，即，
即，所以.
故选：A.
5. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表：
若y关于x的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.82B. 2.86C. 2.88D. 2.92
答案：B
解析：
思路：根据线性回归直线必过样本点中心即可求解．
解答过程：由题意，得,，
所以，解得．
故选：B．
6. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.1B. 2.2C. 2.3D. 2.4
答案：D
解析：
思路：根据回归直线方程的性质求解样本中心点，代入方程即可得的值.
解答过程：由表可知，，
则样本中心点为，代入回归直线方程得：
，解得．
故选：D.
7. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小.
解答过程：因为，
所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为.
故选：C
8. 已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由函数零点的意义，把问题转化为直线与函数的图象至少有3个交点，作出图象，利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得.
解答过程：由，得，函数至少有3个不同的零点，
等价于直线与函数的图象至少有3个交点，
直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点，
由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为，
而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率，
当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（）
A.
B. （为正整数且）
C.
D. 满足方程的值可能为或
答案：BD
解析：
思路：根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出，再检验，即可判断D.
解答过程：对于A：，故A错误；
对于B：，，
所以（为正整数且），故B正确；
对于C：，又，
所以，故C错误；
对于D：因为，所以或，
解得或或或
经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则
答案：BCD
解析：
思路：对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程必过点，可得D正确.
解答过程：对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确；
对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确.
故选：BCD
11. 对于函数以及它的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的图象关于点成中心对称
C. 存在极值
D. 在上单调递减
答案：AD
解析：
思路：对 A，先求函数定义域验证关于原点对称，再通过与关系判断函数奇偶性；对 B，由的取值判断；对 C和 D，利用导数求解函数单调性判断.
解答过程：对于A：要使函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，故选项A正确；
对于B：，选项B错误；
对于C和D：当时，，
则，
当时，，则，
所以在上单调递减，不存在极值，故选项C错误，选项D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________.
答案：
解析：
思路：根据展开式的各项的系数即为各项的二项式系数，再结合二项式系数的最值求解对应项即可.
解答过程：的二项展开式的通项公式为：，
各项的系数即为各项的二项式系数，
因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数，
所以系数最大的项为第项.
13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种.
答案：
解析：
思路：分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可.
解答过程：2名男生1名女生：，
1名男生2名女生：，
故共有种，
故
14. 已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则______．
答案：1
解析：
思路：首先求函数过点处的切线方程，再让切线与函数联立，根据，即可求解.
解答过程：，设直线与相切于点
所以切线方程为，切线过点，
则，整理为，
设，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
所以方程的根为，
所以切线方程为，
联立，得，，得.
故1
四、解答题
15. 某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下：
（1）根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程；
（2）为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：．参考数据：，．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用最小二乘法可得回归方程；
（2）分别计算各月份销售额的预测值，再根据古典概型概率公式可得解.
（1）由已知，，
又，，
则，，
所以回归方程为；
（2）当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个，
则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率.
16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
答案：（1）
（2） （3）分布列见解析，
解析：
思路：（1）由频率分布直方图可得；
（2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数；
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案.
（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
随机变量X的数学期望.
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
答案：（1）答案见解析
（2）解析：
思路：（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间；
（2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值.
（1）由求导得：，
由可得，由可得或，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增，
因，则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
故当时，函数取得最大值为.
18. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
（2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：，其中．
答案：（1）分布列见解析，
（2）答案见解析
解析：
思路：(1)利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望；
(2)根据列联表中的数据，经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论.
（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据，得到，
因为，不能拒绝零假设，
所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求证：
答案：（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）求导，分和，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
（2）结合（1）的结论，求函数的最大值，由最大值不大于0可求的取值范围.
（3）由（2）可知，再设，分析函数的最值，可得，进而可得结论.
（1）由题意得，函数的定义域为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，不合题意，舍去，
当时，，不合题意，舍去，
当时，由（1）知的最大值为，
由已知解得.
所以.
（3）由（2）可得，当时，，
所以（当且仅当取等号）.
设，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以（当且仅当取等号）.
（），
.
x
300
350
400
450
500
y
1.8
1.7
1.5
1.4
1.1
年研发费用
5
4
6
3
4
2
年利润
12
10
13
9
11
5
月份
销售额万元
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
300
350
400
450
500
y
1.8
1.7
1.5
1.4
1.1
年研发费用
5
4
6
3
4
2
年利润
12
10
13
9
11
5
月份
销售额万元
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828