2025--2026学年内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 4
2. 已知，，（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1D. 3
3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（ ）
A. 16B. 23C. 17.5D. 20
5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A. 2B. 6C. 4D. 8
7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，，若点满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（ ）
A. 的虚部为1
B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限
C.
D.
10. 下列有6个面的多面体是（ ）
A. 五棱锥B. 四棱柱C. 四棱锥D. 圆柱
11. 某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示：
则下列结论正确的是（ ）
A. 该人该月运动时长的极差为8hB. 该人该月运动时长的中位数为1.75h
C. 该人该月运动时长的平均数为1.8hD. 该人该月运动时长的方差小于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数的实部为，则的最大值为______.
13. 已知向量的夹角为，则__________.
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
16. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
17. 如图，在边长为4的正方体中， 点在上.
（1）当是中点时，证明平面；
（2）当和重合时，求三棱锥的表面积和体积；
18. 课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数；
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
19. 有一种游戏，方法是将红、白颜色的两枚质地均匀的骰子抛掷一次．
（1）出现点的概率？
（2）出现点数和为六的概率？
（3）如果两枚骰子点数之和是2，3，4，10，11，12，那么红方胜利，如果两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9那么白方胜，这种游戏对双方公平吗？请说明哪方占便宜．
数学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 4
答案：A
解析：
思路：建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解.
解答过程：如图，建立平面直角坐标系，
设， ，，，
则为 的中点，所以.
因此，，
所以.
2. 已知，，（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1D. 3
答案：A
解析：
解答过程.
3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：A
解析：
思路：求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解.
解答过程：由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，
圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为，
所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是.
故选：A
4. 样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（ ）
A. 16B. 23C. 17.5D. 20
答案：D
解析：
思路：先将样本数据按从小到大的顺序排列，再根据百分位数的定义计算．
解答过程：根据题意，将数据按从小到大顺序排列为13，16，19，20，21，23，24，28，
因为，
则该组数据的第40百分位数，是从小到大排列后的第4个数据，即20．
故选：D．
5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可.
解答过程：因为事件是相互独立事件，所以与相互独立，
所以，
则.
故选：C.
6. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A. 2B. 6C. 4D. 8
答案：B
解析：
解答过程：在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，因此，而，，
由余弦定理得，
所以.
7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：已知 .
在 方向上的投影: .
方向的单位向量: .
则在方向上的投影向量为.
8. 在中，，，若点满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由 ，得 ， .
所以
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（ ）
A. 的虚部为1
B. 在复平面内，所对应的点位于第一象限
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：先设复数，再根据模长公式计算求解判断A，应用复数的几何意义判断B，应用复数的乘法及除法计算判断C，D.
解答过程：设，则，解得或舍，故，故A正确；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选:ABD.
10. 下列有6个面的多面体是（ ）
A. 五棱锥B. 四棱柱C. 四棱锥D. 圆柱
答案：AB
解析：
思路：根据五棱锥、四棱柱、四棱锥以及圆柱的概念以及结构特征，即可判断答案.
解答过程：对于A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，正确；
对于B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，正确；
对于C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意；
对于D，圆柱为旋转体，不符合题意，
故选：AB
11. 某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示：
则下列结论正确的是（ ）
A. 该人该月运动时长的极差为8hB. 该人该月运动时长的中位数为1.75h
C. 该人该月运动时长的平均数为1.8hD. 该人该月运动时长的方差小于1
答案：BCD
解析：
思路：应用极差，中位数，平均数，方差定义计算求解判断各个选项.
解答过程：选项A：由题表可得该人该月运动时长的极差为，故A错误.
选项B：将该人该月的运动时长按从小到大的顺序排列后，中位数为第15个数据与第16个数据的平均数，由题表可知第15个数据是1.5，第16个数据是2，该月共有30天，因此该人该月运动时长的中位数为1.75h，,故B正确.
选项C：该人该月运动时长的平均数为，故C正确.
选项D：该人该月运动时长的方差为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数的实部为，则的最大值为______.
答案：
解析：
思路：先利用复数乘法化简复数，再由题意列式得，即可求解的最大值.
解答过程：，
因为的实部为，所以，故的最大值为.
故
13. 已知向量的夹角为，则__________.
答案：
解析：
解答过程：由题意可得，
可知.
14. 如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________.
答案：7
解析：
思路：连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，设点的新位置为，则可得当A，P，三点共线时，的长为的最小值.
解答过程：连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，
设点的新位置为，连接，则有，如图所示.
当A，P，三点共线时，的长为的最小值，
因为，，所以.
又，所以是边长为的正三角形，.
又，所以，所以，
由勾股定理可得.
故7
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先根据向量数乘和加法的坐标运算规则，求出的坐标，再利用向量模长的坐标公式计算其模长；
（2）可直接利用向量夹角的余弦公式​，先分别计算、和，再代入公式求解.
（1）因为，.
所以，因此
所以.
（2）因为，.
所以， ，
所以
16. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）根据纯虚数的定义列方程求参数值；
（2）由复数对应点所在的象限列不等式组求参数范围.
（1）由题意得，得，故.
（2）由题设，在复平面内对应的点为，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
得或，则，即的取值范围为．
17. 如图，在边长为4的正方体中， 点在上.
（1）当是中点时，证明平面；
（2）当和重合时，求三棱锥的表面积和体积；
答案：（1）证明见详解
（2），
解析：
思路：（1）连接，交于，在正方体中，易得为中点，结合是中点，可得，然后可证的平面；
（2）由题知，，利用三角形面积公式即可求表面积，又平面，再利用锥体体积公式即可三棱锥的体积.
（1）证明：连接，交于，连接，
在正方体中，底面为正方形，
所以为中点，又是中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）当和重合时，
在正方体中，平面，
，，
所以三棱锥的表面积
，
体积，
所以三棱锥的表面积为，体积为.
18. 课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数；
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
答案：（1），160
（2）105小时
解析：
思路：（1）根据频率和为1列出方程，解出值，再计算相关人数即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可.
（1）由频率分布直方图可知：．
解得．
所以一个学期课外阅读时间在内的学生人数为．
（2）该校学生一个学期课外阅读时间的平均数
.
即估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为105小时.
19. 有一种游戏，方法是将红、白颜色的两枚质地均匀的骰子抛掷一次．
（1）出现点的概率？
（2）出现点数和为六的概率？
（3）如果两枚骰子点数之和是2，3，4，10，11，12，那么红方胜利，如果两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9那么白方胜，这种游戏对双方公平吗？请说明哪方占便宜．
答案：（1）
（2） （3）不公平，答案见解析
解析：
思路：（1）根据相互独立事件概率计算公式求得最强大.
（2）根据和事件概率计算公式求得正确答案.
（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式进行判断.
（1）事件表示红骰子出现1，事件表示白骰子出现5．事件独立．
出现表示事件且同时发生，
所以.
（2）出现点数和为六的事件是：事件或事件或事件或事件或事件．
所以.
（3）两枚骰子点数之和见下表：
其中点数之和是2，3，4，10，11，12的情况共12种，即红方胜的概率是，
两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9的情况共24种，即白方胜的概率是．
所以这种游戏不公平，白方占便宜.
运动时长
0.5
1
1.5
2
2.5
3
天数
2
3
10
9
2
4
运动时长
0.5
1
1.5
2
2.5
3
天数
2
3
10
9
2
4
点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12