内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了34 ， 0，6B．7，82B．2，841，024，635等内容，欢迎下载使用。
内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学 2025-2026 学年高二下学期 5 月期中考试数学试题
单选题
把 10 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3 的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（）
A．10 种B．15 种C． 20 种D．45 种
某文创社有 5 款徽章设计稿，4 款钥匙扣设计稿，现从中随机选 3 款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有 2 款徽章设计稿的概率为（ ）
10
21
5
14
4
7
5
7
一袋中装有 7 个盲盒，已知其中 3 个是玩具盲盒，4 个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
3
7
4
7
． 1D． 1
C
23
一名职业篮球运动员在某8 场比赛中，三分球命中率分别为0.34 ， 0.27 ， 0.36 ， 0.42 ， 0.23 ， 0.39 ，
0.43 ， 0.38 ，若这组数据的60% 分位数为 p ，且随机变量ξ~ B 20, p ，则 E ξ  （ ）
A．7.6B．7.4C．7.2D．7
x
300
350
400
450
500
y
1.8
1.7
1.5
1.4
1.1
为了解某地区某种水果的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表：
若 y 关于 x 的回归直线方程为 ‸y  0.0034x  a‸ ，则a‸ （ ）
A．2.82B．2.86C．2.88D．2.92
某公司近几年投入 A 款产品的年研发费用 x 与年利润 y 的统计数据如下表：
若 y 与 x 的回归直线方程为 yˆ  1.9x  aˆ ，则aˆ  （ ）
A．2.1B．2.2C．2.3D．2.4
年研发费用 x
5
4
6
3
4
2
年利润 y
12
10
13
9
11
5
曲线 f (x)  9 在点(3, 3) 处的切线的倾斜角为（ ）
x
π
4
π
3
x 1, x  0
3π
4
2π
3

已知函数 f (x)   ln x , x  0 ，若 g(x)  f (x)  ax 至少有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A． 0, e
B． 0, e
 0, 1 
 0, 1 
e e

多选题
下列结论正确的是（）
A3
C3  7
74!
nn1
Am  nAm1 （ m, n 为正整数且n  m  1）
567
C2  C3  C3
1616
满足方程Cx2  x  C5x5 的 x 值可能为 x  1 或 x  3
下列说法正确的是（ ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1 B．经验回归方程为 ‸y  0.3  0.7x 时，变量 x 和 y 负相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据x1, y1  ， x2, y2  ，L ，  x10 , y10  ，其经验回 归方程 ‸y  b‸x  a‸ 必过点4,5 ，则 x1  x2 L x10  y1  y2 L y10  10  40
x 1
x 1
对于函数 f  x  ln
f  x 是奇函数
以及它的图象，下列说法正确的是（ ）
f  x 的图象关于点1,1 成中心对称
f  x 存在极值
f  x 在1,1 上单调递减
填空题
(x 1)10 的二项展开式中，系数最大的项为.
从 6 名男生和 4 名女生中选出 3 人参加知识竞赛，若这 3 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种.
已知函数 f  x  x ln x ， g  x  ax2  x ．若经过点 A(1, 0)存在一条直线 l 与曲线 y  f  x 和 y  g  x 都相切，则a  ．
解答题
月份 x
1
2
3
4
5
6
7
8
销售额
y 万元
3
4
8
9
12
12
15
17
某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下：
根据表中数据建立月份 x 与销售额 y 的经验回归方程 yˆ  bˆx  aˆ ；
为了更好的规划文创产品，从这8 个月中随机抽取2 个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
n

xi yi  nxy
bˆ  i1n8
n
参考公式：  22 ．参考数据：  x y  444 ，  x2  204 ．
i1

xi  nx
i i
i1
i
i1
aˆ  y  bˆx
某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了 100 个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
求m 的值；
求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
当配件的质量指标值不小于 80 分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取 3 件产品，随机变量 X 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 X 的分布列及数学期望.
已知函数 f  x   2 x3  1 x2  6x  4 ．
32
求 f  x 的单调区间；
求 f  x 在区间0, 3 上的最大值．
研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解 20－
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
30 岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在 4 月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如22列联表．
在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机选取 3 人访谈，记参与访谈的男性人数为 X ，求 X 的分布和期望 E  X  ；
依上表，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，20－30 岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
n ad  bc2
参考数据：参考公式： K 2 
a  bc  d a  cb  d 
，其中n  a  b  c  d ．
已知函数 f  x   lnx  ax ．
讨论 f  x 的单调性．
若 f  x  0 恒成立，求a 的取值范围；
P K 2  k 
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
当a  1 时，求证： f  x  ex  x  2
参考答案
1．B
6
【详解】先在 1 号箱子放 0 个小球，2 号箱子放 1 个小球，3 号箱子放 2 个小球，问题转化为将剩余的 7 个相同小球放入 3 个不同箱子中，方法数共有C2  15 种. 故选：B.
2．A
9
5 4
【详解】依题意从 9 款设计稿中任选 3 款的试验有C3 个基本事件，被选中的设计稿中恰有 2 款徽章设计稿的事件有C2C1 个基本事件，
C2C1
4010
所以所求概率为 5 4 .
C
9
38421
故选：A
3．A
【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，? = 3 × 2 = 1；
1767
②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，? = 4 × 3 = 2.
所以乙取到玩具盲盒的概率为?1
+ ?2
2
= 3． 7
767
4．A
【详解】把8 个数据按照从小到大的顺序排序得： 0.23 ， 0.27 ， 0.34 ， 0.36 ， 0.38 ， 0.39 ， 0.42 ， 0.43 ，
8 60%  4.8 ，所以这组数据的60% 分位数为第5 位数字，即 p  0.38 ，即ξ~ B 20, 0.38 ，所以 E ξ  20  0.38  7.6 .
故选：A.
5．B
【详解】由题意，得 x  1 300  350  400  450  500  400 , y  1 1.8  1.7  1.5  1.4  1.1  1.5 ，
55
所以1.5  0.0034  400  a‸ ，解得a‸  2.86 ．故选：B．
6．D
【详解】由表可知 x  5  4  6  3  4  2  4 ， y  12 10 13  9 11 5  10 ，
66
则样本中心点为4,10 ，代入回归直线方程 yˆ  1.9x  aˆ 得：
10  1.9  4  aˆ ，解得aˆ  2.4 ．故选：D.
7．C
1 1
【详解】因为 f (x)  lim f (x  x)  f (x)  9 lim x  xx  9 lim1  9 ，
x0x
x0x
x0 (x  x)xx2
所以 f 3  1，又切线的倾斜角的范围为[0, π) ，求倾斜角为 3π .
4
故选：C 8．D
【详解】由 g(x)  0 ，得 f (x)  ax ，函数 g ( x) 至少有 3 个不同的零点，
等价于直线 y  ax 与函数 y  f (x) 的图象至少有 3 个交点，
直线 y  ax 过原点，在同一坐标系内作出函数 y  f (x) 的图象与直线 y  ax ，
当直线 y  ax 与曲线 y  ln x 相切时，直线 y  ax 与函数 y  f (x) 的图象有 3 个交点，
0
由 y  ln x ，求导得 y  1 ，设切点坐标为(x , ln x ) ，则切线l 方程为 y  ln x  1 (x  x ) ，
x
x
0000
0
而切线过原点，则ln x  1，解得 x  e ，此时切线l 的斜率a  1 ，
000e
当a  1 时，直线 y  ax 与函数 y  f (x) 的图象有 2 个交点，不符合题意； e
当a  0 时，直线 y  ax 与函数 y  f (x) 的图象最多有 2 个交点，不符合题意；
当0  a  1 时，直线 y  ax 与函数 y  f (x) 的图象有 4 个交点，符合题意， e
所以实数
故选：D 9．BD
1
a 的取值范围是(0, e] .
A3
【详解】对于 A： C3  7 ，故 A 错误；
73!
对于 B： Am  n•(n 1)•(n  2)•L•(n  m 1) ， Am1  (n 1)•(n  2)•L•(n  m 1) ，
nn1
nn1
所以Am  nAm1 （ m, n 为正整数且n  m  1），故 B 正确；
对于 C： C2  C3  5 4 + 6  5 4 =10+20=30 ，又C3  7  6  5 =35 ，

562 13 2 173 2 1
567
所以C2  C3  C3 ，故 C 错误；
1616
对于 D：因为Cx2  x  C5x5 ，所以 x2  x  5x  5 或 x2  x  5x  5  16 ，解得 x  1 或 x  5 或 x  3 或 x  7
1616
经检验 x  1 或 x  3 符合题意，故满足方程Cx2  x  C5x5 的 x 值可能为 x  1 或 x  3 ，故 D 正确.故选：BD.
BCD
【详解】对于 A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 A 不正确；
对于 B，因为斜率小于0 ，所以变量 x 和 y 负相关，故 B 正确；
对于 C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故 C 正确；
对于 D，因为经验回归方程 ‸y  b‸x  a‸ 必过点 x , y  ，所以 x  x1  x2 L x10  4 ， y  y1  y2 L y10  5 ，
1010
所以 x1  x2 L x10  y1  y2 L y10  10  40 ，故 D 正确.故选：BCD
AD
x 1
x 1
【详解】对于 A：要使函数 f  x  ln
有意义，则
0 ，即 x  1 ，
x 1
x 1
所以函数 f  x 的定义域为, 1 1,1 1,  ，关于原点对称，
x 1
x 1
又 f x  ln
 ln
 ln
 ln
  f  x ，
x 1
x 1
x 1 1
x 1
x 1
x 1
所以函数 f  x 是奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，故选项 A 正确；
x  2
x
对于 B： f 1 x  f 1 x  ln
 ln
 ln
 2 ，选项 B 错误；
x  2
x
x2  4
x2
对于 C 和 D：当 x 1,1 时， f  x  ln 1 x ，
x 1
f  x
 1
 2
x 1
 2
2 2
则  
1 x    x 12   1 x    x 12    1 x x 1   1 x2 ，

x 1

当 x 1,1 时，1 x2  0 ，则 f  x  0 ，
所以 f  x 在1,1 上单调递减，不存在极值，故选项 C 错误，选项 D 正确．
252 x5
【详解】(x 1)10 的二项展开式的通项公式为： T Cr x10r , r  0,1,2,L,10 ，
r 110
各项的系数即为各项的二项式系数，
10
因为n  10 ，所以二项式系数的最大值为C5 ，是第 6 项的二项式系数，
所以系数最大的项为第6 项T C5 x5  252x5 .
5110
96
6 4
【详解】2 名男生 1 名女生： C2C1  60 ，
6 4
1 名男生 2 名女生： C1C2  36 ，故共有60  36  96 种，
故答案为： 96
14．1
【详解】 f  x  ln x 1，设直线l 与 f  x 相切于点 x0 , x0 ln x0 所以切线方程为 y  x0 ln x0  ln x0 1 x  x0  ，切线过点1, 0 ，则x0 ln x0  ln x0 11 x0  ，整理为ln x0  x0  1，
设h  x  ln x  x 1， h x  1 1  1 x ， x  0 ，
xx
当0  x  1时， h x  0 ， h  x 单调递增，当 x  1 时， h x  0 ， h  x 单调递减，所以当 x  1 时， h  x 取得最大值， h 1  0 ，
所以方程ln x0  x0  1的根为 x0  1，所以切线方程为 y  x  1 ，
 y  x 1

联立 y  ax2
，得ax2  2x  1  0 ，   4  4a  0 ，得a  1 .

x
故答案为：1 15．(1) yˆ  2x 1
(2) 13
28
【详解】（1）由已知 8 
i
x  1 8 x
i1
 1 1 2  3  4  5  6  7  8  9 ，
82

y  1 8
8 i1
n
y  1 3  4  8  9 12 12 15 17  10 ，
i8
8
又 xi yi
i1
 444 ，  x2  204 ，
i
i1
n
 xi yi  nxy
444  8  9 10
则bˆ  i1  2  2 ， aˆ  y  bˆx  10  2  9  1，
n

i1
i
x2  nx2
 9 22
204  8  
2
 
所以回归方程为 yˆ  2x 1；
（2）当 x  1 时， yˆ1  2 11  3 ，残差e1  3  3  0 ；当 x  2 时， yˆ2  2  2 1  5 ，残差e2  4  5  1； 当 x  3 时， yˆ3  2  3 1  7 ，残差e3  8  7  1；
当 x  4 时， yˆ4  2  4 1  9 ，残差e4  9  9  0 ； 当 x  5 时， yˆ5  2  5 1  11 ，残差e5  12 11  1 ；
当 x  6 时， yˆ6  2  6 1  13 ，残差e6  12 13  1；当 x  7 时， yˆ7  2  7 1  15 ，残差e7  15 15  0 ；当 x  8 时， yˆ8  2  8 1  17 ，残差e8  17 17  0 ；
则这8 个月中残差为负的月份有2 个，残差为非负的月份有6 个，
C2  C1 C111213
则这8 个月中随机抽取2 个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率 P  226 .
C
8
22828
16．(1) m  0.030
(2) 76.5
(3)分布列见解析，1.2
【详解】（1）由题知， 0.010  0.015  m  0.035  0.01010  1，解得m  0.030 .
设 x 为样本数据的平均数，
则 x  550.0110  650.01510  750.03510  850.0310  950.0110  76.5 ，
故这组样本数据的平均数为 76.5.
设 p 表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知 p  m  0.0110  0.4 ，随机变量 X ~ B 3, 0.4 ，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3
则 P  X  0  C0  (1 0.4)3  0.216 ，
3
P( X  1)  C1  (1 0.4)2  0.4  0.432 ，
3
P( X  2)  C2  (1 0.4)  0.42  0.288 ，
3
P( X  3)  C3  0.43  0.064 ，
∴X 的分布列为
随机变量 X 的数学期望 E  X   3 0.4  1.2 . 17．(1)答案见解析
(2) 17
2
【详解】（1）由 f  x  2 x3  1 x2  6x  4 求导得： f  x  2x2  x  6  (x  2)(2x  3) ，
32
由 f  x  0 可得2  x  3 ，由 f  x  0 可得 x  2 或 x  3 ，
22
故函数 f  x 的单调递减区间为(2, 3) ，单调递增区间为(, 2) 和( 3 , ) ；
22
（2）由（1）已得函数 f  x 在(2, 3) 上单调递减，在( 3 , ) 上单调递增，
22
因 x 0, 3，则函数 f  x 在(0, 3) 上单调递减，在( 3 , 3) 上单调递增，
22
又 f (0)  4, f (3)  2  33  1  32  6  3  4  17 ，
322
故当 x  3 时，函数 f  x 取得最大值为17 .
2
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
18．(1)分布列见解析， E  X   2
(2)答案见解析
【详解】（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6 人，再从这6 人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为 X ，样本中感冒的男性有8 人，女性有4 人，比例为2 :1，按照性别采用分层抽样的方法抽取6 人，则抽取男性4 人，女性2 人，随机变量 X 的所有取值为1，2， 3 ，
C1 C21
P  X  1  4 2  ，
C
5
3
6
C2C13
P  X  2  4 2  ，
C
5
3
6
C31
P  X  3  4  ，
C
5
3
6
所以 X 的分布列为：
所以 E  X   1 1  2  3  3 1  2 .
555
（2）解：提出零假设 H0 ： 20  30 岁年轻人的体质健康与性别无关，

50  8 24  4 14 2
根据列联表中的数据，得到 K 2  3.30 ， 12  38 22  28
因为3.30  3.841 ，不能拒绝零假设 H0 ，
所以没有95% 的把握认为20  30 岁年轻人的体质健康与性别有关.
19．(1)当a  0 时， f  x 在0, ∞ 上单调递增，当a  0 时， f  x 在 0, 1  上单调递增，在 1 , ∞ 上单调
a  a

递减.
a  1
e
证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数 f  x 的定义域为0, ∞, f  x  1  a  1 ax ，
xx
当a  0 时， f  x  0 ，所以 f  x 在0, ∞ 上单调递增，
X
1
2
3
P
1
5
3
5
1
5
当a  0 时，令 f  x  0 ，解得0  x  1 , f  x 单调递增，
a
令 f  x  0 ，解得 x  1 , f  x 单调递减，
a
所以，当a  0 时， f  x 在0, ∞ 上单调递增，
当a  0 时， f  x 在 0, 1  上单调递增，在 1 , ∞ 上单调递减.
a  a

当a  0 时， f  x  lnx ，不合题意，舍去，
当a  0 时， f 1  a  0 ，不合题意，舍去，
 a  a 
当a  0 时，由（1）知 f  x 的最大值为 f  1   ln  1  1，
  
由已知ln  1  1  0 解得a  1 .
a
 
 e
所以a  1 .
e
由（2）可得，当a  1 时， f  x  ln x  x  f 1  1，所以lnx  x  1（当且仅当 x  1 取等号）.
设h  x  ex  x ，则h x  ex 1，
由h x  0  x  0 ；由h x  0  x  0 .
所以h  x 在∞, 0 上单调递减，在0, ∞ 上单调递增，且h 0  1.
所以ex  x  1  ex  x 1 （当且仅当 x  0 取等号）.
ex  x  2  2x 1  1（ x  0 ），
ex  x  2  f  x .