2025--2026学年辽宁省沈阳市回民中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省沈阳市回民中学高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 7
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A. 点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为
B. 点P第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动95秒时，点P距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. 或B. 1或C. 或D. 1或
5. 在中，若，则一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰三角形
6. 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
7. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 12
8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题6分，按选项平均给分，多选不得分，共计18分）
9. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. ，则为内心
C. 若，则为的外心
D. 若，则点的轨迹经过的重心
10. 下列关于复数，的说法正确的是（ ）．
A. 若，则为实数或纯虚数B. 若，则
C. 若，则D.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则b的取值范围是
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 已知，则______．
13. 已知，则等于____
14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．
四、计算题（15题13分；16-17每题15分；18-19每题17分；共计77分）
15. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
16. 向量，函数．
（1）求的最小正周期和单调减区间；
（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．
17. 随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大．如图，是一块边长为100米的正方形地皮，其中是一座半径为60米的扇形小山，P是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在和上的长方形停车场．
（1）设，试写出停车场的面积S与的函数关系式；
（2）求长方形停车场面积的最大值和最小值（数据精确到个位）．（注：）
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设角的平分线交于点，且，求的值．
19. 已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，为锐角三角形，且O为的外心，满足，
（ⅰ）求的周长的取值范围；
（ⅱ）求的取值范围；
数学
一、单选题（每题5分，共计40分）
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 7
答案：A
解析：
思路：结合共轭复数的概念，根据复数的运算法则计算即可.
解答过程：，所以，所以.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：
因为，所以．
3. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A. 点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为
B. 点P第一次到达最高点需要20秒
C. 当水轮转动95秒时，点P距离水面1米
D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
答案：C
解析：
思路：根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
解答过程：设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，
所以，解得，
因为，所以，
则，
当时，，所以，则，
又，则，
综上，，故A正确；
令，则，
令，得秒，故B正确；
当秒时，米，故C错误；
当秒时，米，故D正确.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. 或B. 1或C. 或D. 1或
答案：A
解析：
解答过程：由知，即，得或，
故或.
5. 在中，若，则一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰三角形
答案：D
解析：
解答过程：由二倍角的余弦公式可得：，
所以，
所以，
所以，
因为，则，，
所以由可得：，所以.
6. 要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
答案：C
解析：
思路：首先根据诱导公式化为同名三角函数，再根据变换规律求解.
解答过程：，
将的图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变），变为，
再向左平移个单位，得到函数.
7. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 12
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理将角化为边，得到三角形三条边的比的关系，结合周长，分别求出三条边长，代入海伦公式求出三角形面积.
解答过程：中，，由正弦定理可得，
又周长为，即，
，，，，的面积.
8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
解答过程：取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：B
方法提示：思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
二、多选题（每题6分，按选项平均给分，多选不得分，共计18分）
9. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. ，则为内心
C. 若，则为的外心
D. 若，则点的轨迹经过的重心
答案：AD
解析：
思路：对A，由向量的意义可知表示在的角平分线上的向量，再结合向量的数量积的性质可得；对B，由条件可得为的重心；对C，由得，同理可得，，进而可得为的垂心；对D，由正弦定理可得，进而可得结果.
解答过程：A，因为是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量，
所以表示在的角平分线上的向量，如图：
又因为，所以的角平分线与垂直，
所以，故为等腰三角形，所以A正确；
B，设是的中点，则是三角形的中线，所以，
因为，所以，得三点共线，且是中线上靠近的三等分点，
所以为重心，故B错误；如图：
C，因为，所以，即，所以.
同理，得；，得，
所以为的垂心，故C错误；
D，由正弦定理：，所以，
设，
由，
所以与中线向量共线，即点的轨迹经过的重心，故D正确.
10. 下列关于复数，的说法正确的是（ ）．
A. 若，则为实数或纯虚数B. 若，则
C. 若，则D.
答案：AD
解析：
解答过程：设，（），
选项A：计算得，若，则虚部，即或；
若，则；若，则，当时为纯虚数，
当时，故为实数或纯虚数，正确；
选项B：举反例：，，，但，错误；
选项C：举反例：，，，但，错误；
选项D： .
，
的共轭分别为，，两者相乘得：
，正确.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则b的取值范围是
答案：ACD
解析：
思路：A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误；
解答过程：选项A，因为，即，
所以有整理可得，所以，
故为等腰三角形，故A正确；
选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减，
故，故B错误；
选项C：若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故C正确；
选项D：因为，，如图，因为有两解，所以，
，解得，故D正确；
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 已知，则______．
答案：##
解析：
思路：先应用二倍角正弦公式计算化简得出，再应用二倍角正切公式计算求解.
解答过程：因为，
所以，所以，所以，
则.
13. 已知，则等于____
答案：
解析：
解答过程：由，则，
因为，所以，解得，
于是，故.
14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．
答案：
解析：
解答过程：在中，由余弦定理得
，
所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，
，故．
四、计算题（15题13分；16-17每题15分；18-19每题17分；共计77分）
15. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
答案：（1）1 （2）
解析：
思路：（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值；
（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值.
（1）因为复数是纯虚数，所以.
由，解得或.
当时， ，符合要求；
当时，，不符合要求，舍去，
所以m的值为1；
（2）当时，复数，
由题意知复数是关于x的方程的一个根.
因为方程的系数为实数，
所以方程的另外一个根是的共轭复数.
所以由韦达定理可得，
解得.
16. 向量，函数．
（1）求的最小正周期和单调减区间；
（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．
答案：（1）；
（2）；
解析：
思路：（1）先根据向量数量积的坐标运算公式计算得到的表达式，利用三角恒等变换公式对进行化简，利用正弦函数的周期公式求最小正周期；再根据正弦函数的单调减区间的求解方法，结合复合函数单调性规律，求出的单调减区间；
（2）根据平移规则求出的解析式，利用角的拆分，结合两角差的余弦公式进行求解.
（1），
故的最小正周期为;
令，解得，
故的单调减区间为；
（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
即，
，即，
由，得，则，
故
.
17. 随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大．如图，是一块边长为100米的正方形地皮，其中是一座半径为60米的扇形小山，P是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在和上的长方形停车场．
（1）设，试写出停车场的面积S与的函数关系式；
（2）求长方形停车场面积的最大值和最小值（数据精确到个位）．（注：）
答案：（1）；
（2）长方形停车场面积的最大值为4000、最小值为3315.
解析：
思路：（1）用表示即可由得解；
（2）先由（1）得到停车场的面积S与的函数关系式，令，结合与的关系式，将面积转化成关于t的一元二次函数即可由二次函数性质求解.
（1）由题可得且，
所以停车场的面积；
（2）由（1）长方形停车场面积，
令，则，
所以，
所以，
因为，所以，
又函数为上的减函数，
所以当时有，当时有.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设角的平分线交于点，且，求的值．
答案：（1）2 （2）
解析：
思路：（1）先利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得的值；
（2）利用面积公式建立关于边和角的等式，结合二倍角公式与余弦定理建立关于，的等式，整理后可得结果．
（1）由，
结合正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
解得．
（2）如图，由题意得，
即，
因为，，，
代入化简得：，即．
由余弦定理得，又因，
则，
整理可得，
两边同除以，得，
即．
19. 已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，为锐角三角形，且O为的外心，满足，
（ⅰ）求的周长的取值范围；
（ⅱ）求的取值范围；
答案：（1）； （2）6；
（3）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解；
（2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可；
（3）（i）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可；(ii)利用对称性结合均值不等式求解.
（1）由正弦定理，
可变成，
又
则，又，,
则，即，又，则，
从而，所以.
（2）由的面积为，得，
又由余弦定理，得，从而，
从而，得（负值舍去）
从而的周长.
（3）（ⅰ）由正弦定理，从而
，
由为锐角三角形，得，解得，
从而,则,，
即的周长的取值范围.
（ⅱ）O为的外心，由，
则
得，即，从而，
也有，
得，即，从而，
从而可得，即有，
由为锐角三角形，得，得；，得，
化简得，从而有，得，从而
，
考查函数，
当，，
，从而，，
，即，
从而单调递减，
则，当且仅当时取等号，
的取值范围为.