广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷含答案

这是一份广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷含答案试卷主要包含了直线y＝﹣x+3不经过第象限，下列计算中，正确的是，若点A，若直线y＝kx等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．23B．16C．2.5D．15
2．直线y＝﹣x+3不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列说法错误的是（ ）
A．存在无数个平行四边形MENF
B．存在无数个矩形MENF
C．存在无数个菱形MENF
D．存在无数个正方形MENF
4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．20−5=2B．35=355C．8×2=4D．﹣（3）2＝﹣3
6．如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以每小时24海里的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．6海里B．12海里C．62海里D．122海里
7．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ）
A．AC⊥BDB．∠ACB＝∠BACC．AB＝BCD．OA＝OC
8．若点A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）在正比例函数y＝2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3
9．若直线y＝kx（k是常数，k≠0）是过第一，第三象限，则k的值可为（ ）
A．﹣3B．﹣4C．−13D．5
10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（ ）
A．10B．12C．16D．413
二．填空题（共6小题）
11．二次根式x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
12．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是 米．
13．已知正比例函数的图象过点B（﹣2，3），则该函数的解析式为．
14．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为 ．
15．荆州市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%、面试按40%计算总成绩．如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为 分．
16．如图，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝60°，点P在边BC上运动，连接AP，取AP中点Q，连接DQ．
（1）当P为BC中点时，DQ的长为 ；
（2）在P从点B运动到点C的过程中，DQ+12DP的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．计算：（27−12）×13．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，求CF的长．
19．一块菜地的形状如图所示，其中BD＝3m，CD＝4m，AB＝12m，AC＝13m，且BD⊥CD．求这块菜地的面积．
20．赤霉素（GA）是一类重要的植物激素，广泛参与种子萌发、茎的伸长及开花调控等过程．为探究赤霉素对水稻幼苗茎伸长的促进作用，某生物兴趣小组将若干株长势相近的水稻幼苗随机分为实验组与对照组．实验组用100ppm赤霉素溶液处理，对照组用等量蒸馏水处理，培养条件保持恒温25℃、12小时光照/12小时黑暗循环．3天后测量茎的伸长量，记录并绘制成如图统计图．实验组数据（单位：cm）整理如下：18（2株）、20（3株）、22（5株）、24（7株）、26（3株）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）实验组水稻幼苗茎伸长量（单位：cm）的众数是 ，中位数是 ．
（2）求实验组茎伸长量的平均值．
（3）若用相同方法处理500株同品种水稻幼苗，估计茎伸长量至少达到24cm的植株数量．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第二象限，直线AC上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程2x﹣y＝﹣8的解，直线BC上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x+y＝2的解．
（1）点A的坐标为（ ，0），点B的坐标为（ ， ）；
（2）求点C的坐标时，小明是这样想的：先设点C的坐标为（m，n），因为点C在直线AC上，所以（m，n）是方程2x﹣y＝﹣8的解；又因为点C在直线BC上，所以（m，n）也是方程x+y＝2的解，从而m，n．满足2m−n=−8m+n=2．请据此求出点C的坐标；
（3）若点D在直线AC上，且满足S△OBD=16S△ABC，求点D的坐标．
22．某水果店准备购进甲种橙子x千克，付款y元，y与x的函数关系如图所示；购进乙种橙子的价格是每千克12元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若水果店计划一次性购进甲、乙两种橙子共80千克，其中甲种橙子不少于20千克且不超过50千克，设付款总金额为W元，求W的最小值．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知点C（﹣3，﹣2），D（0，4）．（1）求直线CD的函数解析式；（2）若点E（m+2，n1），F（2m+4，n2）都在直线CD上，求n1−12n2的值；（3）若点Q（s，3），且S△CDQ ＝ 8，求点Q的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点D的坐标；
（2）已知点E为直线l：y＝﹣x+3上一动点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的t的值及对应点E的坐标；
（3）过点C作AB的平行线l1，过点D作（2）中直线l的平行线l2，l1与l2交于点Q，随着点P的运动，试探究点Q是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
25．定义：若两个点关于某个点中心对称，这两个点就称作完美对称点，那个点是对称中心．
如图1：平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，点A、点C是关于点O中心对称，所以点A、C是完美对称点，点O为对称中心．
如图2：平行四边形ABCD中对角线交于点O，MN过点O分别交AD、BC于点M、N．
（1）求证：点M与点N是完美对称点．
（2）如图3，当MN⊥AD，AC⊥BD时，tan∠ADC=3，请写出长度为4AM的线段．
2025-2026学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．23B．16C．2.5D．15
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式，需看被开方数中是否含有能开得尽方的因数或因式，以及是否含有分母．解题时逐一分析每个选项的被开方数情况．
【解答】A选项：23，被开方数23是质数，不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．B选项：16=4，不是最简二次根式．C选项：2.5=52，被开方数含有分母，不是最简二次根式．D选项：15，被开方数含有分母，不是最简二次根式．所以答案是A．
【点评】本题考查最简二次根式的概念，关键是准确把握最简二次根式的判断标准．
2．直线y＝﹣x+3不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），根据k和b的正负来判断函数图象经过的象限．本题中k＝﹣1＜0，b＝3＞0，据此分析图象经过的象限．
【解答】在一次函数y＝﹣x+3中，k＝﹣1＜0，所以函数图象从左到右下降；b＝3＞0，所以函数图象与y轴交于正半轴．则函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．所以答案是C．
【点评】本题考查一次函数图象的性质，关键是掌握k、b取值与函数图象经过象限的关系．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列说法错误的是（ ）
A．存在无数个平行四边形MENF
B．存在无数个矩形MENF
C．存在无数个菱形MENF
D．存在无数个正方形MENF
【分析】连接AC、MN，AC、BD、MN交于点O，由平行四边形的性质可得OE＝OF，再根据平行四边形、矩形．菱形、正方形的判定条件逐一判断即可．
【解答】解：如图，连接AC、MN，AC、BD、MN交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只需OM＝ON，四边形MENF是平行四边形，
即存在无数个平行四边形MENF，
故A说法正确，不符合题意；
只需OM＝ON，EF＝MN，四边形MENF是矩形，
而E，F是对角线BD上的动点，即存在无数个矩形MENF，
故B说法正确，不符合题意；
只需OM＝ON，EF⊥MN，四边形MENF是菱形，
∵E，F是对角线BD上的动点，即存在无数个菱形MENF，
故C说法正确，不符合题意；
只需OM＝ON，EF⊥MN，EF＝MN，四边形MENF是正方形，
此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个，
故D说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．
4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．20−5=2B．35=355C．8×2=4D．﹣（3）2＝﹣3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，需要分别对每个选项中的二次根式运算进行计算和判断．涉及二次根式的化简、乘除、加减运算等知识点．
【解答】A选项：20−5=25−5=5≠2，错误．B选项：35=3×55×5=155≠355，错误．C选项：8×2=8×2=16=4，正确．D选项：−(3)2=−3，正确．所以答案是C．
【点评】本题考查二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的运算法则，计算时要细心．
6．如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以每小时24海里的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．6海里B．12海里C．62海里D．122海里
【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据三角函数求BM的长．
【解答】解：由已知得，AB=12×24＝12海里，∠MAB＝30°，∠ABM＝105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN＝30°
∴BN=12AB＝6海里．
在直角△BNM中，∠MBN＝45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN＝MN＝6海里，
∴BM=BN2+MN262+62=62（海里）．
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
7．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ）
A．AC⊥BDB．∠ACB＝∠BACC．AB＝BCD．OA＝OC
【分析】本题考查矩形的判定．平行四边形的基础上，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等，逐一分析选项．
【解答】A选项：AC⊥BD，可判定平行四边���ABCD是菱形，不是矩形，错误．B选项：∠ACB＝∠BAC，只能说明△ABC是等腰三角形，不能判定平行四边形ABCD是矩形，错误．C选项：AB＝BC，可判定平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，错误．D选项：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，若OA＝OB，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定平行四边形ABCD是矩形，正确．所以答案是D．
【点评】本题考查矩形的判定定理，关键是准确理解和运用矩形的判定条件．
8．若点A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）在正比例函数y＝2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3
【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：正比例函数y＝2x中，
∵k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∵点A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）在正比例函数y＝2x的图象上，0＜2＜3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9．若直线y＝kx（k是常数，k≠0）是过第一，第三象限，则k的值可为（ ）
A．﹣3B．﹣4C．−13D．5
【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．
【解答】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，∴k＞0．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（ ）
A．10B．12C．16D．413
【分析】观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，则b＝a+2，利用勾股定理求出弦c的长度即可．
【解答】解：小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，即b﹣a＝2，
则b＝a+2＝6+2＝8，
∴设勾a＝6，则弦c的长度是c=a2+b2=62+82=10．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共6小题）
11．二次根式x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．本题中被开方数是x+3，据此列出不等式求解x的取值范围．
【解答】因为二次根式x+3在实数范围内有意义，所以x+3≥0，解得x≥﹣3．所以答案是x≥﹣3．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数是非负数这一要点．
12．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是 10 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵AC和BC的中点分别为点D，E，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE的长为5米，
∴AB＝2DE＝10（米）．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．已知正比例函数的图象过点B（﹣2，3），则该函数的解析式为．
【分析】本题考查用待定系数法求正比例函数解析式．正比例函数的一般形式为y ＝ kx（k≠0），已知函数图象过一点，将该点坐标代入函数式，即可求出k的值，进而得到函数解析式．
【解答】设正比例函数解析式为y ＝ kx（k≠0），因为函数图象过点B（﹣2，3），把x ＝﹣2，y ＝ 3代入y ＝ kx，可得3 ＝﹣2k，解得k =−32，所以该正比例函数的解析式为y =−32x．
【点评】本题考查待定系数法求正比例函数解析式这一基础知识点，关键是掌握代入点坐标求解系数的方法．
14．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为x＜2 ．
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
∴关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
∴x＜2，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．荆州市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%、面试按40%计算总成绩．如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为 84 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式计算即可．
【解答】解：根据加权平均数的计算公式列出算式可得：
80×60%+90×40%＝48+36＝84分，
∴小张的总成绩为84分，
故答案为：84．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式．
16．如图，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝60°，点P在边BC上运动，连接AP，取AP中点Q，连接DQ．
（1）当P为BC中点时，DQ的长为 7 ；
（2）在P从点B运动到点C的过程中，DQ+12DP的最小值为 4 ．
【分析】（1）根据菱形的性质可知△BCD是等边三角形，再由三线合一可知DP⊥BC，然后利用勾股定理求得DP，再求AP，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（2）连接DP、DB、AC，DB交AC于点O，则点C是BD、AC的中点，取AB、AD的中点N、M，连接NQ、OQ、MN、MB、MQ、BQ，根据三角形中位线的性质推出DQ+12DP=DQ+MQ，点P运动过程中，点Q在线段NO上运动，然后根据三线合一证得NO垂直平分BM，则MQ＝BQ，进而根据两点之间线段最短可求得答案．
【解答】解：（1）如图，连接DP、DB，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠ABC＝∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵P为BC中点，
∴BP＝CP＝2，DP⊥BC，∠PDC＝∠PDB＝30°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠PDC＝90°，
∴DP=CD2−CP2=42−22=23，
∴AP=AD2+DP2=42+(23)2=27，
又∵点Q是AP的中点，
∴DQ=AQ=QP=12AP=7；
（2）如图，连接DP、DB、AC，DB交AC于点O，则点O是BD、AC的中点，
取AB、AD的中点N、M，连接NQ、OQ、MN、MB、MQ、BQ，
同理△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝4，∠ABD＝60°，
∵点Q是AP的中点，点M是AD的中点，点N是AB的中点，点O是BD、AC的中点，
∴MQ是△ADP的中位线，MN是△ABD的中位线，NQ是△ABP的中位线，OQ是△APC的中位线，
∴MQ=12DP，MN=12BD=12AB＝BN，NQ∥BP，OQ∥PC，
∴DQ+12DP＝DQ+MQ，点N、Q、O三点共线，
即点P运动过程中，点Q在线段NO上运动，
设BM交NO于点E，
∵AB＝DB，点M是AD的中点，
∴BM⊥AD，
又∵点N是AB的中点，点O是BD的中点，
∴NO∥AD，
∴BM⊥NO，
∵MN＝BN，
∴ME＝BE，即NO垂直平分BM，
∴MQ＝BQ，
∴DQ+12DP=DQ+MQ=DQ+BQ．
∵DQ+BQ≥BD，
∴当B、D、Q三点共线时，DQ+BQ有最小值，最小值为BD＝4，
∴DQ+12DP的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、胡不归问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．计算：（27−12）×13．
【分析】本题考查二次根式的混合运算．先将括号内的二次根式化为最简二次根式，再进行计算，最后根据二次根式的乘法法则进行运算．
【解答】先化简二次根式，27 ＝ 33，12 ＝ 23，则原式 ＝ （33−23）×13 ＝ 3×13 ＝ 1．
【点评】本题考查二次根式混合运算的基本方法，关键是正确化简二次根式并运用乘法法则．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，求CF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，根据勾股定理得到AB＝BC＝13，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝DC，
∵点E为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BD∥EF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°．
在Rt△ADB中，
∵AD＝12，BD＝5，
∴AB＝BC=AD2+BD2=122+52=13，
∵DE是△ABC的中位线．
∴DE=12BC=132，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF=132．
∴CF＝BC+BF＝13+132=392．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
19．一块菜地的形状如图所示，其中BD＝3m，CD＝4m，AB＝12m，AC＝13m，且BD⊥CD．求这块菜地的面积．
【分析】连接BC，在Rt△BDC中，已知BD，CD的长，运用勾股定理可求出BC的长，在△ABC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABDC的面积为Rt△ACB与Rt△DBC的面积之差．
【解答】解：连接BC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝3m，CD＝4m，
∴BC=BD2+CD2=5m，
∵AB＝12m，AC＝13m，
∴AB2+BC2＝122+52＝169＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD
=12AB×BC−12BD×CD
=12×12×5−12×4×3
＝30﹣6
＝24（m2），
即这块菜地的面积为24m2．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACB的形状是解答此题的关键．
20．赤霉素（GA）是一类重要的植物激素，广泛参与种子萌发、茎的伸长及开花调控等过程．为探究赤霉素对水稻幼苗茎伸长的促进作用，某生物兴趣小组将若干株长势相近的水稻幼苗随机分为实验组与对照组．实验组用100ppm赤霉素溶液处理，对照组用等量蒸馏水处理，培养条件保持恒温25℃、12小时光照/12小时黑暗循环．3天后测量茎的伸长量，记录并绘制成如图统计图．实验组数据（单位：cm）整理如下：18（2株）、20（3株）、22（5株）、24（7株）、26（3株）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）实验组水稻幼苗茎伸长量（单位：cm）的众数是 24cm ，中位数是 23cm ．
（2）求实验组茎伸长量的平均值．
（3）若用相同方法处理500株同品种水稻幼苗，估计茎伸长量至少达到24cm的植株数量．
【分析】（1）根据众数、中位数的概念求解可得；
（2）根据加权平均数公式解答即可；
（2）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由统计图可知，样本容量为：2+3+5+7+3＝20，
实验组水稻幼苗茎伸长量的众数是24cm，中位数是22+242=23cm，
故答案为：24cm；23cm．
（2）x=120×(18×2+20×3+22×5+24×7+26×3)=22.6（cm）．
答：实验组茎伸长量的平均值为22.6cm；
（3）500×7+320=250（株），
答：估计茎伸长量至少达到24cm的植株数量为250株．
【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的概念．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第二象限，直线AC上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程2x﹣y＝﹣8的解，直线BC上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x+y＝2的解．
（1）点A的坐标为（ ﹣4 ，0），点B的坐标为（ 2 ， 0 ）；
（2）求点C的坐标时，小明是这样想的：先设点C的坐标为（m，n），因为点C在直线AC上，所以（m，n）是方程2x﹣y＝﹣8的解；又因为点C在直线BC上，所以（m，n）也是方程x+y＝2的解，从而m，n．满足2m−n=−8m+n=2．请据此求出点C的坐标；
（3）若点D在直线AC上，且满足S△OBD=16S△ABC，求点D的坐标．
【分析】（1）对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝0时，x＝﹣4，由此得点A（﹣4，0）；对于二元一次方程x+y＝2，当y＝0时，x＝2，由此得点B（2，0），
（2）解方程组2m−n=−8①m+n=2②得m=−2n=4，由此得点C（﹣2，4）；
①当点D在x轴上方时，过点D作DF⊥x轴于点F，则S△OBD=12×2×DF＝2，由此得DF＝2，则点D的纵坐标为2，对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝2时，则x＝﹣3，由此得点D（﹣3，2）．②当点D在x轴下方时，过点D作DF⊥x轴于点F，则S△OBD=12×2×DF＝2，由此得DF＝2，则点D的纵坐标为﹣2，对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝﹣2时，x＝﹣5，由此得点D（﹣5，﹣2），综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝0时，x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）；
对于二元一次方程x+y＝2，当y＝0时，x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：﹣4；2；0；
（2）对于方程组：2m−n=−8①m+n=2②，
①+②，得：3m＝﹣6，
解得：m＝﹣2，
将m＝﹣2代入②得：﹣2+n＝2，
解得：n＝4，
∴该方程组的解为：m=−2n=4，
∴点C的坐标为（﹣2，4）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，如图1所示：
由（1）（2）可知：点A（﹣4，0），点B（2，0），点C（﹣2，4），
∴OA＝4，OB＝2，CE＝4，
∴AB＝OA+OB＝6，
∴S△ABC=12AB•CE=12×6×4＝12，
∴S△OBD=16S△ABC＝2，
∵点D在直线AC上，
∴有以下两种情况：
①当点D在x轴上方时，过点D作DF⊥x轴于点F，如图2所示：
∴S△OBD=12OB•DF=12×2×DF＝2，
∴DF＝2，
∴点D的纵坐标为2，
∵点D在直线AC上，
∴点D的坐标是二元一次方程2x﹣y＝﹣8的解，
对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝2时，则2x﹣2＝﹣8，
解得：x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2）．
②当点D在x轴下方时，过点D作DF⊥x轴于点F，如图3所示：
∴S△OBD=12OB•DF=12×2×DF＝2，
∴DF＝2，
∴点D的纵坐标为﹣2，
∵点D在直线AC上，
∴点D的坐标是二元一次方程2x﹣y＝﹣8的解，
对于二元一次方程2x﹣y＝﹣8，当y＝﹣2时，则2x﹣（﹣2）＝﹣8，
解得：x＝﹣5，
∴点D的坐标为（﹣5，﹣2）．
综上所述：点D的坐标为（﹣3，2）或（﹣5，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形，二元一次方程的解，解二元一次方程组，三角形的面积，理解二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组，三角形的面积公式是解决问题的关键，分类讨论是易错点．
22．某水果店准备购进甲种橙子x千克，付款y元，y与x的函数关系如图所示；购进乙种橙子的价格是每千克12元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若水果店计划一次性购进甲、乙两种橙子共80千克，其中甲种橙子不少于20千克且不超过50千克，设付款总金额为W元，求W的最小值．
【分析】（1）分0≤x≤20及x≥20两种情况考虑，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总价＝单价×数量，可找出当20≤x≤50时W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设当0≤x≤20时，y与x之间的函数关系式为y＝mx（m≠0），
将（20，300）代入y＝mx得：300＝20m，
解得：m＝15，
∴当0≤x≤20时，y与x之间的函数关系式为y＝15x；
设当x≥20时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，300），（40，500）代入y＝kx+b得：300=20k+b500=40k+b，
解得：k=10b=100，
∴当x≥20时，y与x之间的函数关系式为y＝10x+100．
∴y与x之间的函数关系式为y=15x(0≤x≤20)10x+100(x≥20)；
（2）根据题意得：当20≤x≤50时，W＝10x+100+12（80﹣x），
即W＝﹣2x+1060，
∵﹣2＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝50时，W取得最小值，最小值为﹣2×50+1060＝960．
答：W的最小值为960．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出一次函数的关系式是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知点C（﹣3，﹣2），D（0，4）．（1）求直线CD的函数解析式；（2）若点E（m+2，n1），F（2m+4，n2）都在直线CD上，求n1−12n2的值；（3）若点Q（s，3），且S△CDQ ＝ 8，求点Q的坐标．
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及三角形面积相关问题．（1）用待定系数法设直线CD的解析式为y ＝ kx+b（k≠0），将C、D两点坐标代入求解k、b；（2）把E、F两点坐标代入直线解析式，得到n1、n2关于m的表达式，进而求出n1−12n2的值；（3）先求出直线CD与x轴交点坐标，再根据三角形面积公式列出关于s的方程求解．
【解答】（1）设直线CD的解析式为y ＝ kx+b（k≠0），把C（﹣3，﹣2），D（0，4）代入可得−3k+b=−2b=4，解得k=2b=4，所以直线CD的解析式为y ＝ 2x+4．（2）因为点E（m+2，n1），F（2m+4，n2）都在直线y ＝ 2x+4上，所以n1 ＝ 2（m+2）+4 ＝ 2m+8，n2 ＝ 2（2m+4）+4 ＝ 4m+12，n1−12n2 ＝ 2m+8−12（4m+12）＝ 2m+8﹣2m﹣6 ＝ 2．（3）令y ＝ 0，则2x+4 ＝ 0，解得x ＝﹣2，设直线CD与x轴交点为G，则G（﹣2，0）．S△CDQ ＝ S△CGQ+S△DGQ ＝ 12×|﹣2﹣（﹣3）|×|3|+12×|﹣2﹣0|×|3|＝ 32+3 ＝ 92≠8（舍去）或S△CDQ ＝ S△DGQ﹣S△CGQ ＝ 12×|﹣2﹣0|×|3|−12×|﹣2﹣（﹣3）|×|3|＝ 3−32 ＝ 32≠8（舍去）或S△CDQ ＝ 12×|4﹣（﹣2）|×|s﹣（﹣3）|＝ 8，即3×|s+3|＝ 8，|s+3|＝ 83，s+3 ＝ 83或s+3 =−83，解得s =−13或s =−173，所以点Q的坐标为（−13，3）或（−173，3）．
【点评】本题综合考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征以及三角形面积计算，关键是掌握相关方法并准确计算．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点D的坐标；
（2）已知点E为直线l：y＝﹣x+3上一动点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的t的值及对应点E的坐标；
（3）过点C作AB的平行线l1，过点D作（2）中直线l的平行线l2，l1与l2交于点Q，随着点P的运动，试探究点Q是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）求出BC＝3，则t＝3÷2=32，再由CO＝PD＝3，OP=32，可求D（32，﹣3）；
（2）设E（m，﹣m+3），D（t，2t﹣6），根据对角线分三种情况讨论即可；
（3）分别求出直线AB的解析式为y＝2x+6，直线l1的解析式为：y＝2x+6﹣2t，直线l2的解析式为y＝﹣x+3t﹣6，求出Q点坐标即可得Q点在直线y=45x+65上．
【解答】解：（1）∵B（0，6），
∴OB＝6，
∵C是线段OB的中点，
∴BC＝OC＝3，
∴t＝3÷2=32，
∵CO＝PD＝3，OP=32，
∴D（32，﹣3）；
（2）设E（m，﹣m+3），D（t，2t﹣6），
当AB为平行四边形的对角线时，−3=m+t6=−m+3+2t−6，
解得m=−5t=2，
∴E（﹣5，8）；
当AE为平行四边形的对角线时，−3+m=t−m+3=6+2t−6，
解得t=0m=3（舍），
∴E（3，0）；
当AD为平行四边形的对角线时，−3+t=6−m+32t−6=6−m+3，
解得t=3m=9，
∴E（9，﹣6）；
综上所述：t＝2时，E（﹣5，8）或t＝3时，E（9，﹣6）；
（3）点Q在定直线y=45x+65上，理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∴﹣3k+6＝0，
解得k＝2，
∴y＝2x+6，
∵BC＝2t，
∴OC＝|6﹣2t|，
∴C（0，6﹣2t），
∵AB∥l1，
∴直线l1的解析式为：y＝2x+6﹣2t，
∵l∥l2，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+3t﹣6，
当2x+6﹣2t＝﹣x+3t﹣6时，解得x=53t﹣4，
∴Q（53t﹣4，﹣2+43t），
∴y=45x+65．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
25．定义：若两个点关于某个点中心对称，这两个点就称作完美对称点，那个点是对称中心．
如图1：平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，点A、点C是关于点O中心对称，所以点A、C是完美对称点，点O为对称中心．
如图2：平行四边形ABCD中对角线交于点O，MN过点O分别交AD、BC于点M、N．
（1）求证：点M与点N是完美对称点．
（2）如图3，当MN⊥AD，AC⊥BD时，tan∠ADC=3，请写出长度为4AM的线段．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD＝OB，AD∥BC，进而利用ASA证明△DOM≌△BON解答即可；
（2）根据菱形的判定得出▱ABCD是菱形，进而利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出AC＝AD，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵∠DOM＝∠BON，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴点M与点N关于点O中心对称，
即点M与点N是完美对称点；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，
∵tan∠ADC=3，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠DAC＝60°，
∵MN⊥AD，
在Rt△AMO中，∠AOM＝30°，
∴AO＝2AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，
∴AC＝4AM，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝AC＝4AM，
答：长度为4AM的线段为AB、BC、CD、AD、AC．
【点评】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出OD＝OB，AD∥BC解答．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 10:55:24；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.14
9.16
9.14
9.16
方差
6.1
6.8
6.7
6.1
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.14
9.16
9.14
9.16
方差
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