广东省深圳大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷含答案

这是一份广东省深圳大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷含答案，共24页。试卷主要包含了下列命题中，假命题的是，因式分解等内容，欢迎下载使用。
1．中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知m＜n，下列式子一定成立的是（ ）
A．m ﹣ 2＞n ﹣ 2B．md＜nd
C．m4＜n4D．4 ﹣ m＜4 ﹣ n
3．若一个多边形的外角和是它内角和的12，则这个多边形是（ ）边形．
A．三B．四C．五D．六
4．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
5．下列命题中，假命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．平行四边形的对边相等
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6．某工厂生产一批零件，共360个，开工后每天比原计划多生产15个，结果提前3天完成任务，若设原计划每天生产x个，那么下列方程中正确的是（ ）
A．360x−15−360x=3B．360x−360x+3=15
C．360x−360x+15=3D．360x−3−360x=15
7．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为25 ＝ 62﹣12，所以25就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
8．如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．CM=2DNC．CH＝CND．AN=2CD
二．填空题（共5小题）
9．因式分解：3ax2+12ax+12a ＝．
10．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为 ．
11．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是 米．
12．如图，平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝120°，E为边AD的中点，F为边CD上一动点，M、N分别为线段BF、CE的中点，当MN取最小值时，CF为 ．
13．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是 cm．
三．解答题（共6小题）
14．（1）解不等式组：3x−2＞x①x−23≤1②．（2）解分式方程：x2x−7+77−2x=1．
15．化简：(x+3x2−3x−x−2x2−6x+9)÷x2−9x2+3x，并从 2，3，4 中选择一个合适的数代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（3，1），C（5，1），请按如下要求作图，并完成填空：
（1）如图1，画出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'；
（2）如图2，画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△DBE，点A的对应点为点D．
17．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至点E，使得EO＝DO，连接BD、BE、CE．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若△ABC的周长为30，且AB+BC＝17，求四边形DBEC的面积．
18．某工厂计划生产 A，B 两种型号的机器，经调查，用 2000 元采购 A 型机器的台数是用 800 元采购 B 型机器的台数的 2 倍，一台 A 型机器的进价比一台 B 型机器的��价多 40 元．（1）求一台 A，B 型机器的进价分别为多少元？（2）若该工厂购进 A，B 型机器共 120 件进行试销，其中 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型机器的售价为 300 元/台，B 型机器的售价为 260 元/台，且全部能售出，求该工厂能获得的利润最小是多少？
19．【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
【问题解决】
（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝2，且AC与AB互为双关联线段，则矩形ABCD的面积为 ．
（2）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD、BE交于点F，求证：线段AD与线段BE互为双关联线段．
（3）如图2，在边长为6的等边△ABC中，点P是边BC上的动点（不与点B、C重合），连接AP，以AP为边作线段AP的双关联线段AQ（点Q与点C在直线AP的同侧），连接CQ、PQ．
①求线段AQ长度的最小值；
②当△CPQ为直角三角形时，直接写出所有满足条件的BP的长．
（4）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）
2025-2026学年广东省深圳大学附中八年级（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解．
【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．已知m＜n，下列式子一定成立的是（ ）
A．m ﹣ 2＞n ﹣ 2B．md＜nd
C．m4＜n4D．4 ﹣ m＜4 ﹣ n
【分析】本题考查不等式的性质．需要根据不等式的性质对每个选项逐一进行分析判断．不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】A选项：因为m＜n，根据不等式性质1，两边同时减2，应该是m﹣2＜n﹣2，所以A选项错误．B选项：当d ＝ 0时，md ＝ nd；当d＞0时，md＜nd；当d＜0时，md＞nd，所以B选项不一定成立．C选项：因为m＜n，根据不等式性质2，两边同时除以4，可得m4＜n4，C选项正确．D选项：因为m＜n，两边同时乘﹣1，根据不等式性质3，得﹣m＞﹣n，再两边同时加4，得4﹣m＞4﹣n，所以D选项错误．
【点评】本题主要考查对不等式性质的理解和运用，要注意在运用性质3时，乘或除以负数时不等号方向的改变，以及在涉及字母系数时要考虑多种情况．
3．若一个多边形的外角和是它内角和的12，则这个多边形是（ ）边形．
A．三B．四C．五D．六
【分析】本题考查多边形内角和与外角和的知识．多边形的外角和是360°，设这个多边形的边数为n，其内角和公式为（n﹣2）×180°，根据题目条件列出方程求解边数n．
【解答】设这个多边形的边数为n．因为多边形外角和是360°，且外角和是内角和的12，则内角和为360°×2 ＝ 720°．由多边形内角和公式（n﹣2）×180° ＝ 720°，n﹣2 ＝ 720°÷180° ＝ 4，n ＝ 4+2 ＝ 6．逐一分析选项：A选项三角形内角和为180°，不符合．B选项四边形内角和为360°，不符合．C选项五边形内角和为（5﹣2）×180° ＝ 540°，不符合．D选项六边形内角和为720°，符合．
【点评】本题关键是掌握多边形内角和与外角和的固定值及内角和公式，通过建立方程求解边数，注意计算的准确性．
4．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵GF是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11，
∴△AEG的周长为11；
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
5．下列命题中，假命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．平行四边形的对边相等
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定定理．需要对每个选项所涉及的特殊四边形的性质和判定有清晰的认识，逐一判断命题的真假．
【解答】A选项：菱形的性质就是对角线互相垂直，所以A选项是真命题．B选项：平行四边形的性质之一是对边相等，所以B选项是真命题．C选项：根据矩形的判定定理，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C选项是真命题．D选项：对角线互���垂直、平分且相等的四边形才是正方形，仅说对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，所以D选项是假命题．
【点评】本题考查特殊四边形的性质和判定，关键是准确掌握这些定理，注意区分不同特殊四边形判定条件的细微差别．
6．某工厂生产一批零件，共360个，开工后每天比原计划多生产15个，结果提前3天完成任务，若设原计划每天生产x个，那么下列方程中正确的是（ ）
A．360x−15−360x=3B．360x−360x+3=15
C．360x−360x+15=3D．360x−3−360x=15
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．关键是找到题目中的等量关系，原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数 ＝ 提前的天数．原计划每天生产x个，零件总数为360个，则原计划完成任务的天数为360x；实际每天生产（x+15）个，那么实际完成任务的天数为360x+15．
【解答】原计划完成任务的天数为360x，实际完成任务的天数为360x+15，因为提前3天完成任务，所以可列方程360x−360x+15=3．逐一分析选项：A选项不符合等量关系，错误．B选项不符合等量关系，错误．C选项正确．D选项不符合等量关系，错误．
【点评】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出等量关系，注意理解题目中各个量之间的关系，正确列出分式方程．
7．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为25 ＝ 62﹣12，所以25就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
【分析】本题考查因式分解的应用．设两个正整数分别为m、n（m＞n），那么“智慧数”可以表示为m2﹣n2＝ （m+n）（m﹣n），然后对每个选项逐一分析是否能写成这种形式．
【解答】设m、n为正整数，且m＞n，“智慧数”＝ （m+n）（m﹣n）．A选项：因为2025 ＝ 452﹣02＝ （45+0）（45﹣0），所以2025是“智慧数”．B选项：假设2026 ＝ （m+n）（m﹣n），因为m+n与m﹣n的奇偶性相同，若m+n和m﹣n都是奇数，那么它们的乘积是奇数，而2026是偶数；若m+n和m﹣n都是偶数，设m+n ＝ 2a，m﹣n ＝ 2b，则2026 ＝ 4ab，2026不能被4整除，所以2026不能表示为两个正整数的平方差，不是“智慧数”．C选项：因为2027 ＝ 10142﹣10132＝ （1014+1013）（1014﹣1013），所以2027是“智慧数”．D选项：因为2028 ＝ 5082﹣5062＝ （508+506）（508﹣506），所以2028是“智慧数”．
【点评】本题考查对“智慧数”概念的理解和因式分解的应用，关键是分析每个数能否写成两个正整数平方差的形式，注意m+n与m﹣n的奇偶性对结果的影响．
8．如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．CM=2DNC．CH＝CND．AN=2CD
【分析】对于选项A，连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，记为⊙M，证明点D在⊙M上得∠ADB＝90°，进而得∠FEA＝45°，由此得△FAD是等腰直角三角形，则DF＝AF，证明△AFC和△CBE全等得AF＝CE，据此得选项A正确；
对于选项B，由AD＝DC得弧AD＝弧DC，则∠1＝∠2＝22.5°，由垂径定理得MD⊥AC，证明△AMC是等腰直角三角形得∠MCA＝45°，由此得MQ＝AQ＝CQ，在Rt△MQC中，由勾股定理得CM＝MQ=2AQ，明△ADN是等腰直角三角形得AD＝DN，在△AQD中，由∠AQD＝90°得AQ＜AD，则AQ＜DN，由此得CM＜2DN，则选项B错误；
对于选项C，证明∠CNH＝∠CHN＝67.5°得CH＝CN，据此得选项C正确；
对于选项D，对于选项D，根据△ADN是等腰直角三角形且AD＝ND，由勾股定理得AN＝√2AD，然后根据AD＝CD得选项D正确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC，
∴AB是△ABC外接圆的直径，
∵点M是AB的中点，
∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M，
∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点，
∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°，
∴∠CAB＝∠EDB＝45°，
∴点D在⊙M上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°，
∵AF⊥DE，垂足为F，
∴∠F＝90°，
∴△FAD是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，
在△BCE中，∠E＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠FCA＝∠EBC，
在△AFC和△CBE中，
∠F=∠E=90°∠FCA=∠EBCAC=BC，
∴△AFC≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE，
∴DF＝CE，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
∵AD＝DC，
∴AD=DC，
∴∠1＝∠2=12∠CBA＝22.5°，
由垂径定理得：MD⊥AC，
∴∠MQC＝∠AQD＝90°，
在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点，
∴CM⊥AB，CM＝AM＝BM=12AB，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠MCA＝45°，
又∵MD⊥AC，
∴MQ＝AQ＝CQ=12AC，∠CMB＝∠CMA＝90°，
在△MQC中，由勾股定理得：CM=MQ2+CQ2=2MQ=2AQ，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM是AB边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AD＝DN，
在△AQD中，∠AQD＝90°，
∴AQ＜AD，
∴CM＜2AD，
故选项B错误，符合题意；
对于选项C，
在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°，
∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°，
∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°，
在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°，
∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°，
∴CH＝CN，
故选项C正确，不符题意；
对于选项D，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM是AB边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AD＝ND，
由勾股定理得：AN=AD2+ND2=2AD，
∵AD＝CD，
∴AN=2CD，
故选项D正确，不符合题意，
综上所述：选项B错误，符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．因式分解：3ax2+12ax+12a ＝．
【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】首先提取公因式 3a，得到 3a（x2+4x+4）；然后根据完全平方公式（a+b）2＝ a2+2ab+b2，这里 a ＝ x，b ＝ 2，可得 x2+4x+4 ＝ （x+2）2；所以 3ax2+12ax+12a ＝ 3a（x+2）2．
【点评】本题关键是熟练掌握提公因式法和完全平方公式，分解因式要彻底．
10．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为x＜2 ．
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
∴关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
∴x＜2，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是 10 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵AC和BC的中点分别为点D，E，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE的长为5米，
∴AB＝2DE＝10（米）．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．如图，平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝120°，E为边AD的中点，F为边CD上一动点，M、N分别为线段BF、CE的中点，当MN取最小值时，CF为 5 ．
【分析】连接CM，并延长CM交AB于点P，连接PE，过点E作EQ⊥AB于点Q，先求出AE＝2，∠A＝60°，解Rt△EQA得AQ＝1，则BQ＝5，证明△MPB和△MCF全等得PM＝CM，再证明MN是△CPE的中位线得MN=12EP，由此得当EP为最小时，MN为最小，再根据“垂线段最短”得EP≥EE，据此得当点P于点Q重合时，MN为最小，此时BP＝BQ＝5，则CF＝BP＝5．
【解答】解：连接CM，并延长CM交AB于点P，连接PE，过点E作EQ⊥AB于点Q，如图所示：
∴∠EQA＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，BC＝4，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，BC∥AD，AB∥CD，
∵E为边AD的中点，
∴AE=12AD＝2，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在△EQA中，∠EQA＝90°，
∴csA=AQAE，
∴AQ＝AE•csA＝2×ca60°＝1，
∴BQ＝AB﹣AQ＝5，
∵AB∥CD，
∴∠MPB＝∠MCF，∠MBP＝∠MFC，
∵点M是线段BF的中点，
∴BM＝FM，
在△MPB和△MCF中，
∠MPB=∠MCF∠MBP=∠MFCBM=FM，
∴△MPB≌△MCF（AAS），
∴PM＝CM，
即点M是线段CP的中点，
又∵点N是线段CE的中点，
∴MN是△CPE的中位线，
∴MN=12EP，
∴当EP为最小时，MN为最小，
根据“垂线段最短”得：EP≥EQ，
∴当点P于点Q重合时，MN为最小，
此时BP＝BQ＝5，
∴CF＝BP＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
13．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是 8 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，AF＝BF，进而求解即可．
【解答】解：由条件可知AD＝CD，AF＝BF，
∵BC＝8cm，
∴BD+DF+BF＝BD+DF+AF＝BD+AD＝BD+CD＝BC＝8cm，
∴△BDF的周长是8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共6小题）
14．（1）解不等式组：3x−2＞x①x−23≤1②．（2）解分式方程：x2x−7+77−2x=1．
【分析】（1）分别求解不等式①和②，然后取它们的交集得到不等式组的解集；（2）先将分式方程化为整式方程，再求解并检验．
【解答】（1）解不等式①：3x﹣2＞x移项可得 3x﹣x＞22x＞2x＞1解不等式②：x−23≤1两边同时乘以 3 得 x﹣2≤3移项得 x≤3+2x≤5所以不等式组的解集为 1＜x≤5．（2）解分式方程：x2x−7+77−2x=1变形为x2x−7−72x−7=1两边同时乘以 2x﹣7 得：x﹣7 ＝ 2x﹣7移项得 x﹣2x ＝﹣7+7﹣x ＝ 0x ＝ 0检验：当 x ＝ 0 时，2x﹣7 ＝﹣7≠0所以 x ＝ 0 是原分式方程的解．
【点评】本题考查解不等式组和解分式方程的基本方法，注意解分式方程要检验．
15．化简：(x+3x2−3x−x−2x2−6x+9)÷x2−9x2+3x，并从 2，3，4 中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先对原式括号内的分式进行通分，再将除法转化为乘法，化简后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值．
【解答】先化简原式：对括号内通分：(x+3)(x−3)x(x−3)2−x(x−2)x(x−3)2=x2−9−x2+2xx(x−3)2=2x−9x(x−3)2将除法转化为乘法：2x−9x(x−3)2×x(x+3)(x+3)(x−3)=2x−9(x−3)3因为当 x ＝ 3 时，原分式无意义，所以当 x ＝ 2 时，原式=2×2−9(2−3)3=4−9(−1)3=5；当 x ＝ 4 时，原式=2×4−9(4−3)3=8−91=−1．
【点评】本题考查分式的化简求值，关键是正确化简并注意分式有意义的条件．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（3，1），C（5，1），请按如下要求作图，并完成填空：
（1）如图1，画出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'；
（2）如图2，画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△DBE，点A的对应点为点D．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点E，D即可．
【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求，A′（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）；
（2）如图2中，△DBE即为所求，AC与DE所在直线的夹角为90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
17．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至点E，使得EO＝DO，连接BD、BE、CE．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若△ABC的周长为30，且AB+BC＝17，求四边形DBEC的面积．
【分析】（1）先证明四边形DBEC是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得BD＝CD，即可得证；
（2）设AB＝x，BC＝y．则x+y＝17，AC＝13，由勾股定理可得x2+y2＝169，求出xy＝60，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵点O是BC的中点，
∴OB＝OC．
∵EO＝DO，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∵点D是AC的中点，△ABC是直角三角形，
∴BD＝CD．
∴四边形DBEC是菱形．
（2）解：设AB＝x，BC＝y．
∵AB+BC＝17，△ABC的周长为30，
∴x+y＝17，AC＝13．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2．
∵x2+y2=169x+y=17，
∴xy＝60．
∵点D、O分别是AC、BC的中点，
∴AB＝2OD，
∵DE＝2OD，
∴AB＝DE＝x．
∴S四边形DBEC=12BC⋅DE=12xy=12×60=30．
答：四边形DBEC的面积为30．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
18．某工厂计划生产 A，B 两种型号的机器，经调查，用 2000 元采购 A 型机器的台数是用 800 元采购 B 型机器的台数的 2 倍，一台 A 型机器的进价比一台 B 型机器的��价多 40 元．（1）求一台 A，B 型机器的进价分别为多少元？（2）若该工厂购进 A，B 型机器共 120 件进行试销，其中 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型机器的售价为 300 元/台，B 型机器的售价为 260 元/台，且全部能售出，求该工厂能获得的利润最小是多少？
【分析】（1）设未知数，根据数量关系列分式方程求解进价；（2）根据条件列出利润关于 A 型机器件数的函数关系式，再根据条件求最小值．
【解答】（1）设一台 B 型机器的进价为 x 元，则一台 A 型机器的进价为（x+40）元．根据题意可得：2000x+40=2×800x化简得：2000x ＝ 2×800×（x+40）2000x ＝ 1600x+64000移项得 2000x﹣1600x ＝ 64000400x ＝ 64000x ＝ 160则 x+40 ＝ 200所以一台 A 型机器进价 200 元，一台 B 型机器进价 160 元．（2）设购进 A 型机器 m 件，则购进 B 型机器（120﹣m）件．利润 W ＝ （300﹣200）m+（260﹣160）（120﹣m）＝ 100m+100（120﹣m）＝ 100m+12000﹣100m＝ 12000因为 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，所以 m≤120﹣m，2m≤120，m≤60．因为一次函数 W ＝ 12000 是常数函数，所以利润最小是 12000 元．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，关键是准确找出数量关系．
19．【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
【问题解决】
（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝2，且AC与AB互为双关联线段，则矩形ABCD的面积为 43 ．
（2）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD、BE交于点F，求证：线段AD与线段BE互为双关联线段．
（3）如图2，在边长为6的等边△ABC中，点P是边BC上的动点（不与点B、C重合），连接AP，以AP为边作线段AP的双关联线段AQ（点Q与点C在直线AP的同侧），连接CQ、PQ．
①求线段AQ长度的最小值；
②当△CPQ为直角三角形时，直接写出所有满足条件的BP的长．
（4）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）
【分析】（1）根据矩形的性质可得AO＝BO，∠BAD＝90°，则∠BAO＝∠ABO＝60°，可得∠ADB＝30°，可得 BD＝2AB＝4，由勾股定理得AD的长，可求矩形ABCD的面积；
（2）由△ABC是等边三角形，得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证明△BAE≌△ACD（SAS），可得∠E＝∠D，由外角和对顶角可得∠BFD＝∠ACB＝60°，可证明线段AD与线段BE互为双关联线段；
（3）①证明△ACQ≌△ABP（SAS），则AQ＝AP，由直线外一点到直线的距离垂线最短，可得线段AQ长度的最小值；
②分情况考虑△ACQ为直角三角形时，求BP的长；
（4）以C为顶点，任意长为半径画弧，与AB交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取CD＝AB，点C、D、与交点可构成等边三角形，则∠BCD＝60°或∠ACD＝60°，可得线段CD．
【解答】（1）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABO＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴AD=BD2−AB2=42−22=23，
∴S矩形ABCD=AB×AD=2×23=43，
故答案为：43；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝6，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠BAE＝180°﹣∠BAC，∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠BAE＝∠ACD．
在△BAE和△ACD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠E＝∠D，
∵∠BFD＝∠E+∠EAF，∠ACB＝∠D+∠CAD＝60°，∠EAF＝∠CAD，
∴∠BFD＝∠ACB＝60°，
∵AD、BE交于点F，
∴线段AD与线段BE互为双关联线段；
（3）解：①∵AP为边作线段AP的双关联线段AQ，
∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ．
当AP最短时，AQ也最短．
∵直线外一点到直线的距离垂线最短，
∴AP⊥BC时，AP最短．
∴AP=AB⋅sin∠B=6×32=33，
此时线段AQ长度的最小值是33；
②∵以AP为边作线段AP的双关联线段AQ，
∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ．
∵△ACQ为直角三角形，
当∠ACQ＝90°时，AQ为△ACQ 的斜边．
∴AQ＞AC．
∵点P是边BC上的动点（不与点B、C重合），
∴AP＜AC．
故∠ACQ≠90°，
同理∠ACQ≠90°，
当∠AQC＝90°时，由①可知，△ACQ≅△ABP（SAS），
∴∠AQC＝∠APB＝90°，
∴BP=AB⋅cs∠B=6×12=3；
（4）解：以C为顶点，任意长为半径画弧，与AB交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取CD＝AB．
∵都以相同长为半径画弧，
∴点C、D、与交点可构成等边三角形，
∴∠BCD＝60°或∠ACD＝60°，
∴如图，线段CD即为所求．
作法一：；
作法二：；
作法三：；
作法四：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及判定，尺规作图等，掌握综合知识是解题的关键．
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直接写出A′的坐标： ．
AC与DE所在直线的夹角为： °．
直接写出A′的坐标： （﹣3，﹣4） ．
AC与DE所在直线的夹角为： 90 °．