广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

这是一份广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．45B．10C．23D．0.2
2．函数y=3x−1中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠13B．x≥1C．x＞13D．x≥13
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2B．1，2，3C．4，6，8D．6，8，10
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．3+7=10B．42−32=1C．22×22=42D．27÷3=3
5．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A．AC=BDB．AC⊥BDC．OA=OCD．∠AOB=60°
6．已知-2＜m＜3，化简(m−3)2+|m+2|的结果是（ ）
A．5B．1C．2m-1D．2m-5
7．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．32+82=x2B．（x-8）2+32=x2
C．x2+82=（x+3）2D．（x-3）2+82=x2
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为边向外作半圆，并分别记它们的面积为S1，S2，S3，若S1=8π，S2=24π，则S3=（ ）
A．42πB．32πC．40πD．64π
9．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，则AF的长为（ ）
A．5B．25C．6D．41
10．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°，DE⊥BC于点E，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．3+1B．27+2C．23+1D．27+1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是 .
12．如图，数轴上点A，点B分别表示1和3，CB⊥AB，且CB=1，以点A为圆心，以AC为半径作弧，弧与数轴的交点为D，则点D表示的数是 .
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，AD=5，则菱形ABCD的面积为 ．
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14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠CDE= .
15．已知在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12.则BC的长为 .
16．如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFGC，且点E落在AD上，连接BE，BG，BG交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论正确的是 .
①AE+CH=EH；
②∠DEC=3∠ABE；
③BH=HG；
④CH=2AB.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：
（1）27−12+13；
（2）(2+3)2−(2+3)(2−3).
18．如图，每个小正方形的边长都为1.
（1）AB= ，BC= ，BD= ；
（2）判断∠BCD是直角吗？并说明理由.
19．先化简，再求值：(a+5)(a−5)−a(a−2)，其中a=2+12.
20．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度数．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点.过点A作AE∥BC，过点C作CE∥DA，交于点E.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC=12，AB=10，求CE的长.
22．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？
23．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．
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（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=23，求AO的长．
24．如图，在正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF.
（1）求证：AG=BF；
（2）若正方形边长为1，当点F为HB中点时，求AE的长；
（3）求证：CF−AG=2OF.
25．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．
（1）求证：AM=MF；
（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；
（3）当CF=4时，求CM的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、45=35，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、10是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、23=63，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、0.2=15=55，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵3x-1≥0，所以x≥13
故答案为：D。
【分析】根据被开方数大于等于0，即可得到3x-1≥0，所以x≥13，即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.12+22≠22，不能构成直角三角形，不符合题意；
B.1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
C. 42+62≠82，不能构成直角三角形，不符合题意；
D.62+82=102，能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.3与7不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B.42−32=2，原选项计算错误，故此选项不符合题意；
C.22×22=8，原选项计算错误，故此选项不符合题意；
D.27÷3=3计算正确，符合题意；
故选：D.
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加条件为一个内角为直角，或者对角线相等
∴结合选项A答案符合题意。
故答案为：A。
【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相对于菱形特有的条件，即内角为90°，或者对角线相等，选项A， AC=BD ，对角线相等，所以符合题意。
B选项，菱形性质有 C⊥BD ，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
C选项， OA=OC ，也是菱形的性质，不能作为判定菱形成为正方形的条件。
D选项， ∠AOB=60° ，没有条件可以得到这个结论，故不符合题意。
6．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵ -2＜m＜3
∴m-3＜0，m+2＞0
∴m−32=3−m，m+2=m+2
∴(m−3)2+|m+2| =3-m+m+2=5
故答案为：A。
【分析】根据a2=a=−aa＜0可以得到m−32=3−m，m+2＞0，所以开方和去绝对值后得3-m+m+2=5，即可得到正确答案。
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵绳索长为x，由题意得木柱长为(x-3)尺
根据勾股定理得 （x-3）2+82=x2
故答案为：D。
【分析】本题可以抽象成直角三角形，由绳索长为x，根据绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，可以得到木柱长为(x-3)尺，再根据牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，这时可以看成是直角三角形的一条直角边为8，斜边是绳子的长，根据勾股定理即可得到（x-3）2+82=x2。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；圆与三角形的综合
【解析】，【解答】解：∵S1,S2,S3为半圆
∴S1=12π12AC2=18πAC2=8π
S2=12π12CB2=18πCB2=24π
S3=12π12AB2=18πAB2
∴S1+S2=18πAC2+18πBC2=64+196=256
∵ 在△ABC中，∠ACB=90
∴ △ABC为直角三角形
∴AC2+BC2=256=AB2
∴S3=18πAB2=32π
故答案为：B。
【分析】由S1,S2,S3为半圆，利用圆的面积公式=πr2，可以求出S1,S2,S3的面积，即可得到S1+S2=18πAC2+18πBC2=64+196=256，再根据直角三角形勾股定理得到AC2+BC2=AB2，所以S3=18πAB2=32π，即可得到答案。
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AF与点G，连接EF
∵ 四边形ABCD为矩形
∴∠D=90°，BC=AD
∴AD⊥CD
∵ AE平分∠DAF，AF⊥GE
∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°
∵点E为CD的中点
∴DE=CE
∴DE=EG=CE
∴在Rt△AGE与Rt△ADE中
∴AE=AE，DE=EG
∴Rt△AGE≅Rt△ADE
同理Rt△FGE≅Rt△FCE
∴AD=AG，GF=CF=1
∵BF=4，CF=1
∴BC=BF+CF=5
∴AG=5
∴AF=AG+GF=6
故答案为：C。
【分析】利用矩形的性质，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好辅助线，再利用角平分线的性质，得到EG=CE，再利用证明直角三角形全等的判定HL，即可得到Rt△AGE≅Rt△ADE，Rt△FGE≅Rt△FCE，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根据BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC交BD与点O，再连接AE交BD与点P
∵四边形ABCD为菱形且边长为4
∴AC⊥BD，AO=OC，AD=CD=BC=4
∵ ∠A=60°
∴ ∠ADB=60°
∵ DE⊥BC于点E
∴ ∠BDE=30°，DE=23，E为BC中点
∴ ∠ADE=90°，CE=2
∴AE=27
∴ △PCE的周长AE+CE=27+2
故答案为：B。
【分析】利用菱形的性质，得到点A与点C关于BD对称，CD=BC，再连接AE与BD交于点P，即为所求，求PC+PE就是求AE，根据 ∠A=60°，CD=BC，根据DE⊥BC于点E，利用等腰三角形三线合一，即可得到∠BDE=30°，利用勾股定理即可得到 DE=23，CE=2，再根据∠A=60°，AD=AB，所以三角形ADB为等边三角形，所以∠ADB=60°，即可得到 ∠ ADE=90°，再次利用勾股定理即可得到AE=27，即可得到△PCE的周长AE+CE=27+2。
11．【答案】28
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E为OA，OB的中点，且DE=14
∴根据三角形的中位线定理，可以得到AB=2DE=28
故答案为：28。
【分析】根据三角形的中位线定理，平行于第三边且等于第三边的一半，由D，E为OA，OB的中点，且DE=14，即可得到AB=2DE=28。
12．【答案】5+1
【知识点】实数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵ 数轴上点A，点B分别表示1和3
∴AB=3-1=2
∵ CB⊥AB，且CB=1
∴在直角三角形ABC中AC=AB2+BC2=22+11=5
∴AD=5
∴ 点D表示的数是5+1
故答案为：5+1。
【分析】根据数轴上两点之间距离为大数减小数，所以AB=3-1=2，再CB⊥AB，可以得到三角形ABC为直角三角形，再根据CB=1，AB=2，即可得到点D表示的数是。
13．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，AO=OC，OD=OB
∴∠AOD=90°
∵ AC=6，AD=5
∴AO=3，
∴在Rt△AOD中，OD=AD2−AO2=52−32=25−9=16=4
∴BD=2OD=8
∴ 菱形ABCD的面积为12AC×BD=12×6×8=24
故答案为：24。
【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，可以得到∠AOD=90°，BD=2OD，根据勾股定理得到，在Rt△AOD中，OD=AD2−AO2=52−32=25−9=16=4，即可得到BD=2OD=8，再根据菱形面积是对角线成绩的一半，即可得到 菱形ABCD的面积为12AC×BD=12×6×8=24。
14．【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形
∴∠BCD=90°，BC=CD
∵ 三角形BCE为等边三角形
∴CE=BC， ∠BCE=60°
∴CD=CE，∠DCE= ∠BCE+，∠DBC=150°
∴ ∠EDC= ∠DEC
∴ ∠EDC=180°- ∠DCE=180°-150°=30°
∴∠EDC=15°
故答案为：15°。
【分析】根据正方形的性质得到，∠BCD=90°，BC=CD，再根据三角形BCE为等边三角形，即可得到CE=BC， ∠BCE=60°，所以CD=CE，根据等边对等角，所以∠EDC= ∠DEC，再利用三角形的内角和，即可得到 ∠EDC=180°- ∠DCE=180°-150°=30°，即可得到∠EDC=15°。
15．【答案】14或4
【知识点】勾股定理；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：此题需分类讨论，当∠BAC为钝角时，如下图
过点A做AD⊥BC与点D
∴∠ADB=90°
在RtADB中，AB=13，AD=12
∴BD=5
同理在Rt△ADC中，AC=15，AD=12
∴DC=9
∴BC=BD+CD=14
当∠ABC为钝角时，过点D 作AD⊥CB交CB延长线与点D
∴∠ADC=90°
∴在Rt△ADC，与Rt△ABD中
AC=15，AD=12，AB=13
∴BD=5，CD=9
∴BC=CD-BD=4
综上BC=14或4
故答案为：14或4。
【分析】此题需要数形结合，当∠BAC为钝角时，利用高AD可以得到△ABD与△ADC为直角三角形。利用勾股定理BA2−AD2=132−122=169−144=25=5，同样可以得到CD=9，所以BC=5+9=14。
当∠ABC为钝角时，利用高AD可以得到△ABD与△ADC为直角三角形。利用勾股定理BA2−AD2=132−122=169−144=25=5，同样可以得到CD=9，所以BC=9-5=4。
综合两种情况，即可得到BC=14或4。
16．【答案】①③
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ① AE + CH = EH
过点B作BM⊥CE于M
∵旋转性质：CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，故AB=CG。
​∴AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵CB=CE
∴∠CBE=∠CEB
∴∠AEB=∠CEB。
​∴△ABE≅△MBE
∴AE=ME，AB=MB
​∵MB=CG
∴△BMH≅△GCH
∴MH=CH。
​∴EH=EM+MH
∴EH=AE+CH，①正确。
② ∠DEC = 3∠ABE
∵△ABE≅△MBE
∴∠AEB=∠MEB
∵AD∥ BC
∴∠DEC=∠ECB
​∴设∠ABE=α
∴∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α
∴∠AEC=180°-2α
​∵∠AEC+∠DEC=180°
∴∠DEC=2α=2∠ABE，不是3∠ABE，②错误。
③ BH = HG
∵△BMH≅△GCH
根据全等三角形对应边相等
∴BH=HG，③正确。
④ CH = 2AB
∵FH平分∠EFG，∠EFG=90°
∴∠EFH=45°
∵∠FEH=90°
∴EF=EH。
​在矩形中AB=EF
∴AB=EH。
​∵①知EH=AE+CH
∴AB>CH，不是CH=2AB，④错误。
【分析】①根据旋转≅的性质CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，AD∥BC，故AB=CG。∠AEB=∠CBE，再利用三角形全等，即可得到△ABE△MBE，所以AE=ME，AB=MB，根据MB=CG，得到△BMH≅△GCH即可得到答案。
②根据△ABE≅△MBE，AD∥ BC，所以∠AEB=∠MEB，∠DEC=∠ECB，设∠ABE=α，所以∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α，所以∠AEC=180°-2α，再根据∠AEC+∠DEC=180°，即可得到∠DEC=2α=2∠ABE，故 ② 错误
③根据BH = HG，得到△BMH≅△GCH，利用全等三角形的性质即可得到BH=HG③正确。
④根据FH平分∠EFG，∠EFG=90°，即可得到∠EFH=45°，所以EF=EH，利用矩形性质​，AB=EF，即可得到AB=EH，根据①知EH=AE+CH，所以AB>CH，④错误
17．【答案】（1）解：27−12+13
=33−23−33
= 433
（2）解： (2+3)2−(2+3)(2−3).
=4+43+3-4−3
=4+43+3-1
=6+43
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质，再根据合并同类项法则，二次根式的加减法即可求出答案。
（2）根据完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2，平方差公式a+ba−b=a2−b2，再结合二次根式加减法 即可求出答案。
18．【答案】（1）26；25；5
（2）解：∵CD2=22+12=5，BC2=252=20
∴BC2+CD2=20+5=25=BD2=52
∴∠BCD是直角。
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】解：（1）AB=52+12=25+1=26
BC=42+22=16+4=20=25
BD=32+42=25=5
故答案为：AB=26，BC=25，BD=5.
【分析】（1）把AB放到直角三角形中，其中直角边为5和1，故利用勾股定理得到AB=52+12=25+1=26，BC放到直角边分别为4和2的直角三角形里，所以BC=42+22=16+4=20=25，BD放到直角边为3和4的直角三角形中，根据勾股数3，4，5即可得到BD=5，故AB=26，BC=25，BD=5.
（2）根据勾股定理的逆定理，因为CD2=22+12=5，BC2+CD2=20+5=25=BD2=52，满足勾股定理的逆定理，所以 ∠BCD是直角 。
19．【答案】解：原式=a2-5-a2+2a
=2a-5，
将a=2+12代入2a-5得：
2(2+12)−5
=22+1-5
=22-4．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先化简代数式，根据平方差公式（a-b）（a+b）=a2-b2，即可得到(a+5)(a−5)=a2−5，再去括号得-a2+2a，所以(a+5)(a−5)=a2−5 -a2+2a=2a-5，再把a=2+12 代入即可得到结果。
20．【答案】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF=6，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50°，
在Rt△BDC中，BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，
则BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°+50°=140°．
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据点E、F分别是边AB、AD的中点，即可联想到三角形的中位线，所以辅助线就出来了，连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可得到EF∥BD，BD=2EF=12，利用平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得到∠ADB=∠AFE=50°，再利用勾股定理的逆定理得到BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，所以BD2+CD2=BC2，即可得到∠BDC=90°，所以∠ADC=90°+50°=140°。即可得到答案。
21．【答案】（1）解：∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵CE∥DA
∴EC⊥BC
∴∠ECD=90°
∵AE∥BC
∴∠E+ECB=180°
∴∠E=90°
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵D是BC的中点，BC=12
∴CD=6，AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=100-36=64
∴AD=8
∵由（1）知道四边形ADCE为矩形，
∴CE=AD=8。
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一可以得到AD⊥BC，再根据平行线的性质和矩形的判定 即可得出四边形ADCE为矩形。
（2）利用等腰三角形的三线合一即可得到BD=6，再根据勾股定理即可得到AD=8，根据矩形的性质对边相等，即可得到CE=8.
22．【答案】解：过点D作AD⊥BC于点D， 设BD=x,则CD=14−x，如图：
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2=AB2−BD2,AD2=AC2−CD2,
∴AB2−BD2=AC2−CD2，
即132−x2=152−14−x2,
解得：x=5,
∴AD2=AB2−BD2=132−52=144，
∴AD=12(米)，
∴学校修建这个花园的费用=30×12×14×12=2520(元)，
答：学校修建这个花园需要投资2520元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】过点D作AD⊥BC于点D， 设BD=x,则CD=14−x,再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：因为AO=OC，OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，
所以∠2=∠ACB，
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACB
所以AB=CB，
所以平行四边形ABCD是菱形
（2）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，
设OE=x，
因为AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，
所以62-（4+x）2=（23）2-x2，
解得：x=1，
所以AO=AE+OE=4+1=5．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定，对角线互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根据∠1=∠2，等量代换即可得到∠1=∠ACB，利用等角对等边即可得到AB=CB，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到平行四边形ABCD是菱形。
（2）根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根据支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，设OE=x，根据AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（23）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠CBA=90°，
∴∠CBF+∠GBA=90°，
∵AG⊥BE，CF⊥BE，
∴∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，
∴∠ABG=∠BCF，
在△AGB和△BFC中，
∠ABG=∠BCF∠AGB=∠BFCAB=BC，
∴△AGB≌△BFC（AAS），
∴AG=BF
（2）解：∵正方形边长为1
∴BC=AB=1，∠ABC=910°
∴在Rt△ABC中，AC=2
∵F为BH中点，CF⊥BH
∴△BCH为等腰三角形
∴BC=CH=1
∴AH=2−1
∵AD∥BC
∴△AHE~△CHB
∴AEBC=AHCH
∴AE=2−1。
（3）解：如图，四边形ABCD是正方形，连接OG、OB，
∴AO=BO，∠AOB=90°，
又∵∠BGA=90°，∠GHA=∠OHB，
∴∠FBO=∠GAO，
在△OBF和△OAG中，
BF=AG∠FBO=∠GAOOB=OA，
∴△OBF≌△OAG（SAS），
∴∠BOF=∠AOG，FO=GO，
∴∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，
∴△GOF为等腰直角三角形，
∴GF2=OG2+OF2=2OF2，∠OFG=45°，
∴GF=2OF；由（1）知△AGB≌△BFC，
∴CF=BG，
∴CF-AG=BG-BF=GF，
∴CF−AG=2OF
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，邻边相等，内角为直角，即可得到BC=AB，∠CBA=90°，结合图形得到∠CBF+∠GBA=90°，再根据垂直AG⊥BE，CF⊥BE，即可得到∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，所以∠ABG=∠BCF，利用三角形全等的判定条件，即可得到△AGB≌△BFC，根据全等的性质，所以AG=BF。
（2）根据边长为1，利用勾股定理即可得到对角线AC=2，再利用F为BH中点，CF⊥BH，三线合一得到三角形BCH为等腰三角形，即可得到BC=CH=1，所以AH=2−1，再根据AD∥BC，利用三角形相似判定，即可得到△AHE~△CHB，利用对应边成比例AEBC=AHCH，代入数值即可得到AE=2−1。
（3）通过辅助线，再利用正方形的性质AO=BO，∠AOB=90°，∠BGA=90°，∠GHA=∠OHB，即可得到△OBF≌△OAG，所以利用全等的性质即可得到∠BOF=∠AOG，FO=GO，所以∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，得到△GOF为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，即勾股定理得到GF2=OG2+OF2=2OF2，∠OFG=45°，所以GF=2OF；由（1）知△AGB≌△BFC，即可得到CF=BG，结合图形CF-AG=BG-BF=GF，所以CF−AG=2OF 。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝MF；
（2）解：∵点E是边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=4，
∵四边形ABCD为矩形，BC=8，
∴AB∥CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=8
∴∠F＝∠BAF，
又∵∠AEB=∠FEC，
∴ΔAEB≌ΔFECAAS，
∴AB=CF=6，
设CM=x，则由（1）知，AM=MF=x+6，DM=6−x
在RtΔADM中，AM2=AD2+DM2，
∴x+62=82+6−x2，
解得x=83，
∴CM的长为83；
（3）解：当CF=4时，设CM=x，应分两种情况：
第一种情况，点E在线段BC上，如图所示，则AM=MF=x+4，DM=6−x
∴在RtΔADM中，AM2=AD2+DM2，
∴x+42=82+6−x2，
解得x=215，
∴CM的长为215；
第二种情况，点E在线段BC的延长线上，如图所示，则AM=MF=x−4，DM=x−6
∴在RtΔADM中，AM2=AD2+DM2，
∴x−42=82+x−62，解得x=21，
∴CM的长为21
综上可知，当CF=4时，CM的长为215或 21
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得AB∥CD，则∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，则∠F＝∠MAF，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据直角三角形斜边长的中线性质可得BE，再根据矩形性质可得AB∥CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=8，则∠F＝∠BAF，根据全等三角形判定定理可得ΔAEB≌ΔFECAAS，则AB=CF=6，设CM=x，则由（1）知，AM=MF=x+6，DM=6−x根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）当CF=4时，设CM=x，分情况讨论：点E在线段BC上，点E在线段BC的延长线上，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.