新高考物理一轮复习考点精讲精练第9章第15讲 电场能的性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考物理一轮复习考点精讲精练第9章第15讲 电场能的性质（2份，原卷版+解析版），共7页。
【模型一 电势高低及电势能大小的判断 】
类型1 静电力做功与电势能的关系
类型2电势高低的判断
类型3 等势面的理解及应用
【模型二 匀强电场中电势差与电场强度的关系】
类型1 匀强电场中电势差与电场强度的关系
类型2 等分法确定电场线与电势高低
类型3非匀强电场中电势差与电场强度分析
【模型三 电场线、等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题】
类型1 电场线与运动轨迹的综合问题
类型2 等势面与运动轨迹的综合问题
类型3.图象在电场中的应用
近几年高考题中出现了很多源于课本的题目变型，考查多以电势、电势能、电势差、静电力做功的选择题的形式出现，考查以物理观念为基础，以科学思维的考查为主。以生产、生活实践问题情境，考查将其抽象为电场问题，学会解决带电粒子在静电场中轨迹问题。
本讲内容备考时候，强化训练根据电场线和等势面的分布，判断电势、电势能的变化，特别要关注特殊电场的等势面的分布问题和匀强电场中场强的求解问题。
【模型一 电势高低及电势能大小的判断 】
类型1 静电力做功与电势能的关系
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与起始和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中也具有势能，我们称这种形式的能为电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
(3)电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。
3.电势能大小的判断
4.电势能大小的理解
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
【典例1】（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（ ）

A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等
【答案】D
【解析】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；
B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；
C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误；
D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。
故选D。
【变式1-1】如图所示是甲、乙两个点电荷电场的部分电场线分布图，下列说法正确的是（ ）
A．甲带负电，乙带正电，甲的电荷量大于乙的电荷量
B．P点的电场强度大于Q点的电场强度
C．将一个正试探电荷从P点由静止释放，只在静电力的作用下会沿电场线运动到Q点
D．一个负试探电荷在P点电势能比在Q的电势能大
【答案】B
【解析】A．电场线从正电荷出发到负电荷终止。甲带正电，乙带负电。
甲周围的电场线比乙密集，所以甲的电荷量大于乙的电荷量，A错误；
B．电场线越密，电场强度越大。 P点的电场强度大于Q点的电场强度，B正确；
C．将一个正试探电荷从P点由静止释放，只在静电力的作用下不会沿电场线运动到Q点，因为只有电场线是直线时，试探电荷才会沿着电场线运动，C错误；
D．一个负试探电荷从P点运动到Q点的过程中，电场力做负功，电势能增大，所以一个负试探电荷在P点电势能比在Q点的电势能小，D错误。
故选B。
【变式1-2】 两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则（ ）
A．场强大小关系有Eb>Ec
B．电势大小关系有φb>φd
C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值
D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做负功
【答案】B
【解析】A．电场线越密的地方，电场强度越大，由图可知c点的电场线比b点的更密，所以有Ec>Eb，故A错误；
B．沿着电场线，电势逐渐降低，b点所处的电场线位于右侧导体的前面，即b点的电势比右侧的导体高，而d点紧靠右侧导体的表面，电势与导体的电势几乎相等，故b点电势高于d点的电势，故B正确；
C．d点处电势为负值，根据Ep=qφ可知负电荷放在d点时其电势能为正值，故C错误；
D．从图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a点的电势高于d点的电势；正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正检验电荷从a点移到d点的过程中，电势能减小，则电场力做正功，故D错误。
故选B。
【变式1-3】（2025·云南高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（ ）
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV
【答案】C
【解析】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误；
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV
故C正确；
D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV
由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。
故选C。
【变式1-4】（2025·浙江·高考真题）一束粒子撞击一静止的金原子核，它们的运动轨迹如图所示。图中虚线是以金原子核为圆心的圆。已知静电力常量，元电荷，金原子序数为79，不考虑粒子间的相互作用，则（ ）
A．沿轨迹1运动的粒子受到的库仑力先做正功，后做负功
B．沿轨迹2运动的粒子到达P时动能为零、电势能最大
C．位于图中虚线圆周上的3个粒子的电势能不相等
D．若粒子与金原子核距离为，则库仑力数量级为
【答案】D
【解析】A．沿轨迹1运动的粒子受到的库仑力先做负功，后做正功，A错误；
B．沿轨迹2运动的粒子因为做曲线运动，则到达P时动能不为零，因距离原子核最近，则电势能最大，B错误；
C．位于图中虚线圆周上各点的电势都相等，可知虚线圆周上的3个粒子的电势能相等，C错误；
D．若粒子与金原子核距离为，则根据库仑定律可知库仑力
即数量级为，D正确。
故选D。
类型2电势高低的判断
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ＝ eq \f(Ep,q) 。
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
2.电势高低的判断
【典例2】（2025·全国卷·高考真题）匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其（ ）
所处位置的电势一定不断降低
所处位置的电势一定不断升高
轨迹可能是与电场线平行的直线
轨迹可能是与电场线垂直的直线
【答案】C
【解析】在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定。分析各选项：
A．若初速度方向与电场力方向相反（如初速度向左，电场力向右），电荷会先减速至零再反向加速。在减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高。因此电势不一定一直降低，故A错误；
B．若初速度方向与电场力方向相同（如初速度向右，电场力向右），电荷将一直加速，电势不断降低，因此电势不一定升高，故B错误；
C．若初速度方向与电场力方向共线（同向或反向），电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故C正确；
D．若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直。但电场力大小方向恒定，此时电荷将做类平抛运动，轨迹是曲线，故D错误。故选C。
【变式2-1】如图所示，实线和虚线分别为两点电荷和产生的电场中的电场线、等势线。已知的电量是的电量的9倍，以点电荷位置作为坐标原点，指向为轴正方向，、距离为。则关于两电荷的电性以及在轴上的范围内电势最低的点的坐标说法正确的是（ ）
A．两点电荷和为同种电荷，处电势最低
B．两点电荷和为同种电荷，处电势最低
C．两点电荷和为异种电荷，处电势最低
D．两点电荷和为异种电荷，处电势最低
【答案】B
【解析】根据电场线分布的特点可知，两点电荷和为同种电荷，电势最低点为场强为0的位置，电荷量为9倍的关系，根据
可知，该点到两电荷的距离为3倍的关系，处场强为0，电势最低。
故选B。
【变式2-2】如图所示，两等量同种正电荷Q分别放置在椭圆的焦点A、B两点，O点为椭圆中心，P、S是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（ ）
A．O点的电势高于M点和N点的电势
B．O点电场强度为零，电势也为零
C．椭圆上M、N两点电场强度相同
D．将一电子从P点移到S点，电场力一直做正功
【答案】A
【解析】A．根据等量同种电荷的电场线分布可知在中垂线上电场线的方向分别是OM和ON方向，根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，可知O点的电势高于M点和N点的电势，故A正确；
B．根据等量同种正点电荷的电场分布规律，可知O点电场强度为零，根据等量同种正点电荷的电势分布规律，可知O点电势大于零，故B错误；
C．由等量同种点电荷的电场分布特点及题图中的对称关系易知，M、N两点场强大小相等，方向相反，故C错误；
D．等量同种正点电荷的电场线与等势线分布规律如图所示
根据等势线分布规律可知，P点与S点电势相等，将一电子从P点移到S点过程中，电势可能一直不变，也可能先升高后降低或先降低或升高，对应电场力一直不做功、先做正功后做负功、先做负功后做正功，故D错误。
故选A。
【变式2-3】（2025·河北·高考真题）《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则四点中电势最高的是（ ）

A．a点B．b点C．c点D．d点
【答案】D
【解析】根据电场线的性质：沿电场线方向，电势逐渐降低。观察图中电场线，可判断电场线方向（假设从电势高处指向低处）。比较a、b、c、d四点，d点位于电场线“上游”，沿电场线方向电势依次降低，即d点电势高于c点，c点高于b点，b点高于a点。因此电势最高的是d点。
故选D。
【变式2-4】（2024·全国甲卷·高考真题）在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为和的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的单位是伏特），则（ ）
， B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】根据两点电荷周围的电势分布可知带正电，带负电；由图中电势为0的等势线可知
由图中距离关系可知
联立解得
故选B。
类型3 等势面的理解及应用
1，等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。
③等差等势面越密的地方电场强度越大，电场线越密集，反之越小。
④任意两个等势面都不相交。
2.几种常见的典型电场的等势面比较
【典例3】（2024·河北·高考真题）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（ ）

A．a点B．b点C．c点D．d点
【答案】C
【解析】在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大。
故选C。
【变式3-1】如图所示为避雷针周围的等势面分布情况，电场中有M、N、P三点，则( )

A．P点的电势比M点的高
B．M、N两点的电场强度相同
C．P点的电场强度大小比M点的大
D．电子在P点的电势能大于其在M点的电势能
【答案】D
【解析】由题图知，P点的电势为6 kV，M点的电势为8 kV，所以P点的电势比M点的低，A错误；
电场强度的方向与等势面垂直，所以M、N两点的电场强度方向不同，B错误；
等差等势面密的地方电场强度大，结合题图可知，P点附近的等势面较稀疏，
所以P点的电场强度小于M点的电场强度，C错误；
电势能Ep＝qφ，电子带负电，
所以电势越高，电势能越低，
因为P点的电势比M点的低，
所以电子在P点的电势能大于其在M点的电势能，D正确。
【变式3-2】(多选)电子透镜是通过静电场来使电子束聚焦的装置。电子透镜两极间的电场线分布如图中带箭头的实线。现有一电子仅在静电力作用下从M运动到N，运动轨迹如图虚曲线所示。则下列说法正确的是( )
A.电子在M点的加速度最大
B.P点的电势高于M点的电势
C.从M点到N点电子的动能先增大后减小
D.从M点到N点电子的电势能一直减小
【答案】BD
【解析】电场线的疏密程度反映电场的强弱，由题图可知M点的电场线比P点的稀疏，电场强度比P点的小，电子在M点受静电力比在P点的小，加速度比在P点的小，故A错误；
沿电场线的方向电势降低，则P点的电势高于M点的电势，故B正确；
电场方向沿电场线的切线方向，可知静电力一直做正功，电子的动能一直增加，电势能一直减小，故C错误，D正确。
【变式3-3】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是( )
A.两点电荷可能是异种点电荷
B.A点的电场强度比B点的大
C.A点的电势高于B点的电势
D.电子运动到P点时动能最小
【答案】CD
【解析】根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为负电荷，故A错误；
根据等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，故B错误；
因为两点电荷是负电荷，电场线由无穷远处指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，故C正确；
根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知由M到P静电力做负功，由P到N静电力做正功，
则由M到P动能减小，由P到N动能增加，
故电子运动到P点时动能最小，故D正确。
【模型二 匀强电场中电势差与电场强度的关系】
类型1 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
2．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论

推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，φC＝eq \f(φA＋φB,2)。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
【典例4】（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
匀强电场中任意两点间的中点电势等于这两点的平均值，可知ac中点d的电势与b点相同，bd的连线为该匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势指向低电势，故电场线沿ac方向且由a指向c，C选项正确。
故选C。
【变式4-1】（2025·四川·模拟预测）如图所示，在水平方向的匀强电场中，用长为2m的不可伸长的绝缘细线拴住一质量为0.06kg，带电荷量为0.002C的小球1，线的上端固定于O点，若在B点同一水平线上的左方距离为r处固定另一带电小球2，小球1恰好处于静止状态，当拿走小球2后，小球1由静止开始向上摆动，当细线转过120°角到达A点时的速度恰好为零，此时OA恰好处于水平状态，设整个过程中细线始终处于拉直状态，静电力常量为k，重力加速度为g。求：
(1)BA间电势差UBA；
(2)匀强电场的场强大小；
【答案】(1) (2)
【解析】（1）小球1从B到A过程，由动能定理得
解得
（2）BA间沿电场线的距离为
则匀强电场的场强大小为
联立解得
【变式4-2】 空间中存在平行于纸面的匀强电场，在纸面内取O点为坐标原点建立x轴，如图甲所示。现有一试探电荷，除电场力外还受到一个变力F，在t=0时刻以一定初速度从x轴上的a点开始在纸面内沿顺时针做匀速圆周运动，圆心为O、半径为R。已知图中圆为试探电荷运动轨迹，ab为圆轨迹的一条直径。测得试探电荷所处位置的电势φ随时间t的变化图像如图乙所示。a、b两点间的电势差为（ ）
A．B．-3VC．D．-6V
【答案】A
【解析】由图可知，转动周期为1.2s，从t=0时刻开始经过0.4s，电势达到最大，即转过120°，电势最高点为c，如图所示
根据匀强电场电场强度与电势差的关系可得，
联立解得
故选A。
类型2 等分法确定电场线与电势高低
1、等分法：
如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的 eq \f(1,n) ，采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。
2、“等分法”的应用思路：
3、由匀强电场的电势分布确定电场强度
【典例5】（2025·湖南·高考真题）（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、−q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为EpEp>0。下列说法正确的是（ ）

A．OA中点的电势为零B．电场的方向与x轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为2EPqdD．电场强度的大小为22Epqd
【答案】AD
【解析】A．根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO=Epq，φA=−Epq，φB=Ep2q
故OA中点的电势为φM=φO+φA2=0，故A正确；
B．如图，设N点为AB的三等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点做MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向，指向右下方，由AM=AN可知∠NMA=45°，故电场的方向与x轴正方向成45°角，故B错误；
CD．电场强度的大小为E=0−−Epq12d⋅cs45°=22Epqd
故C错误，D正确。
故选AD。
【变式5-1】（2017·全国III卷高考真题）一匀强电场的方向平行于平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（ ）

A．电场强度的大小为
B．坐标原点处的电势为
C．电子在a点的电势能比在b点的低
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为
【答案】AB
【解析】AB．由于该电场为匀强电场，故由已知条件可知，ac连线上离点处的点的电势为17V，过该点与点画出等势线，而该等势线与该四边形的过的对角线垂直，由于电场线与等势面垂直，则可知Oc连线即为一条电场线，根据匀强电场的性质有即
解得
则由几何关系可知电场强度的大小为，故AB正确；
C．由电势能表达式
可知电子在点的电势能点的电势能
则可知电子在点的电势能比在b点的高，故C错误；
D．电子从点运动到点，是从电势低处运动到电势高处，故其电势能减小，即电场力做正功为
，故D错误。
故选AB。
【变式5-2】(多选)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是( )
A.该电场的电场强度大小为1 V/m
B.电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C.将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV
D.将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
【答案】AD
【解析】P点电势为φP＝φa＋φc2＝2 V＝φb
可知bP是等势线，则电场强度方向由c点指向a点，电场强度大小为
E＝Ucal?3?12 V/m＝1 V/m，选项A正确；
R点的电势为φR＝φb＋φc2＝2.5 V>φP＝2 V
可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；
Q点的电势为φQ＝φb＋φa2＝1.5 V
将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝－0.5 eV，选项C错误；
将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为
WPR＝UPR(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。
【变式5-3】如图所示，在匀强电场中有一个圆心为O、直径为1 m的虚线圆，电场方向与圆所在的平面平行，A、B、C、D分别为圆上的四个点，其中AC过圆心，AB=0.6 m，AD=0.8 m。现将一个电子从A点移动到B点，电场力做的功为36eV；若将该电子从A点移到C点，则电场力做的功为100eV。下列说法正确的是（ ）

A．若取A点处的电势为0，则圆心O点处的电势为15 V
B．D点处的电势比B点处的电势低
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m、方向由C点指向A点
D．若将电子从A点移到D点，则其电势能减小36eV
【答案】C
【解析】A．由U=Wq结合题意可知，A、C两点处的电势差为UAC=φA−φC=100eV−e=−100 V
若取A点处的电势为φA=0，如图所示
则C点处的电势为φC=100 V
则圆心O点处的电势为φO=φA+φC2=50 V，故A错误；
B．同理可得，A、B两点处的电势差为UAB=φA−φB=36eV−e=−36 V
若仍取A点处的电势为φA=0，则φB=36 V
根据几何关系可知AB与CD平行且相等，在匀强电场中有UAD=UBC=−64 V=φA−φD
则φD=64 V
即φD>φB
因此D点处的电势比B点处的电势高，故B错误；
D．结合上述分析可知，A、D两点处的电势差为UAD=φA−φD=−64 V
根据Ep=qφ与q=−e可知，若将电子从A点移到D点，则EpA−EpD=UAD−e=64eV
说明电子的电势能减小64eV，故D错误；
C．过B点作AC的垂线交于P点，根据几何关系可知，在△APB中， AP=AB×ABAC=0.36 m
则A、P两点处的电势差为UAP=UAC⋅APAC=36 V
而UAP=UAB说明B、P两点处于同一等势面上，且电势高于A点处的电势，根据“电场线与等势面处处垂直、沿着电场线方向电势逐渐降低”可知，该匀强电场的电场强度的方向由C点指向A点、大小为E=UAPAP=36 V0.36 m=100 V/m，故C正确。
故选C。
【变式5-4】在匀强电场中有一个直角三角形与电场平行，，，的长度为7cm，A、B、C三点的电势分别为10V、3V、7V，则电场强度大小为（ ）
A．V/mB．V/m
C．V/mD．V/m
【答案】B
【解析】在AB上取一点D，D点电势为7V，则CD为等势线，过A点作CD的垂线AG，垂足为，AG方向为电场方向，如图所示
则有
AC长度为7cm，则AB长度为14cm，AD长度为6cm，在中有
解得cm
由三角形面积
解得cm
电场强度大小为V/m
故选B。
类型3非匀强电场中电势差与电场强度分析
(1)判断电场强度大小：根据E＝Ud，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大
【典例6】在工业生产中，静电场喷雾技术可用于汽车、家电、仪表等外壳的喷涂。如图所示的是一个静电场喷雾装置，该电场中a、c两点分别处于两个等势面中，点b处于两个等势面正中央。从喷口喷出的都是带负电液滴，其中有一滴刚好经过a、b、c三个点。下列说法正确的是（ ）

A．a点的电势高于c点的电势
B．a、b两点的电势差一定等于b、c两点电势差
C．液滴一定沿直线做匀加速直线运动
D．从a到c的过程中液滴的电势能减小
【答案】D
【解析】A．题图可知电场方向从工件指向喷口，电势随着电场线方向降低，c点的电势高于a点的电势，故A错误；
B．题意知ab与bc距离相等，但这是一个非匀强电场，根据U=Ed
可知a、b两点的电势差一定不等于b、c两点电势差，故B错误；
C．液滴在非匀强电场不同位置所受的电场力大小不同，且电场力方向沿电场线向下指向工件，且液滴还受到重力，平行四边形定则可知液滴合力一定不沿初速度方向，且合力大小时刻在变，故液滴做变加速曲线运动，故C错误；
D．由于液滴受到的电场力方向沿电场线向下指向工件，可知a到c的过程电场力做正功，故从a到c的过程中液滴的电势能减小，故D正确。故选D。
【变式6-1】如图所示为电子束焊接机，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高电压U，两极之间形成了辐向分布的电场，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。有一电子在K极由静止被加速，不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（ ）
A．A、K之间的电场强度均为Ud
B．B点电势大于C点电势
C．电子由K到A的电势能减少了eU
D．电子在B点加速度大于C点加速度
【答案】C
【解析】A．图中电场是辐向分布，可知，图中不是匀强电场，则A、K之间的电场强度并不均等于Ud
故A错误；
B．等势线与电场线垂直，可以在图中作出经过C点的等势线，由于沿电场线电势降低，根据图中电场线的分布可知，B点电势小于C点电势，故B错误；
C．电子由K到A过程，电场力做正功为eU，则电势能减少了eU，故C正确；
D．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据图示可知，B点位置的电场线分布比C点位置的电场线分布稀疏一些，则B点的电场强度小于C点的电场强度，则电子在B点加速度小于C点加速度，故D错误。
故选C。
【变式6-2】（多选）如图所示，直线为点电荷电场中的一条电场线（方向未标出），A、B、C为电场线上等间距的三点，一个带负电粒子从电场中P点（图中未标出）分三次以不同的方向射出，仅在电场力作用下分别经过A、B、C三点，粒子经过这三点时，在A点速度变化最快，则A、B、C三点中（ ）

A．A点场强最大
B．场强方向从A指向C
C．A点电势最高
D．A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值
【答案】AD
【解析】A．粒子在A点速度变化最快，说明粒子在A点加速度最大，三点中A点离场源电荷最近，A点场强最大，A项正确；
BC．不能确定场源电荷的电性，因此不能确定场强方向，也不能确定电势高低，BC项错误；
D．离场源电荷越远，场强越小，由可知，A、B间电势差绝对值大于B、C间电势差绝对值，D项正确。
故选AD。
【变式6-3】如图所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（ ）

A.A、K之间的电场强度均为Ud
B.B点电势大于C点电势
C.B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A的电势能减少了eU
【答案】D
【解析】A、K之间建立的是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，因此A、K之间的电场强度不等于Ud，故A错误；
C所在等势面为和电场线垂直的圆弧，如图所示，根据沿电场线方向电势降低，可知C点电势大于B点电势，故B错误；
电场线的疏密程度表示电场强度的大小，由题图可知C点处的电场线比B点处的密，则C点的电场强度比B点的大，故C错误；
电子由K到A，电场力做正功，电势能减少，由W＝－ΔEp＝eU知D正确。
【模型三 电场线、等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题】
类型1 电场线与运动轨迹的综合问题
1.电场线与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法
（1）如果带电粒子只受电场力作用，根据带电粒子所受的电场力沿着电场线的切线方向且（或等势面的垂线）指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向；
（2）再结合电场线的方向（或等势面的电势）确定带电粒子的电性；
（3）最后根据带电粒子运动轨迹与电场线的分布情况，确定电场力做功、电势能的变化情况
2.求解此类问题的思维模板
【典例7】（2025·福建·高考真题）某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，|CQ|=2|BP|，a粒子入射动能为Ek，则（ ）
A．B点的电场强度
B．P点场强大于C点场强
C．b粒子在P点动能小于Q点动能
D．b粒子全程的克服电场力做功小于2eU
【答案】D
【解析】A．a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有，粒子恰好做圆周运动，则，联立解得，故A错误；
B．由图可知，P点电场线密度较稀疏，则场强小于C点场强，故B错误；
C．已知|CQ|=2|BP|，因为BC在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误；
D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则BP之间平均电场强度大小大于CQ之间的平均电场强度大小，根据，则，则b粒子全程的克服电场力做功，故D正确。
故选 D。
【变式7-1】（2023·浙江·高考真题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有

联立可得
故选A。
【变式7-2】（2024·广东·高考真题）污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有（ ）

A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
【答案】AC
【解析】AC．根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故AC正确；
B．根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；
D． M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合AC选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。
故选AC。
类型2 等势面与运动轨迹的综合问题
1.等势面（线）与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法
（1）如果带电粒子只受电场力作用，根据电场力沿着垂直于等势面方向且指向运动轨迹弯曲的凹侧，确定带电粒子所受电场力的方向；
（2）再结合等势面的电势高低关系确定电场线的方向，进而确定带电粒子的电性；
（3）最后根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做功、电势能的变化情况等。
2.电场中常见的功能关系
（1）若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
（2）若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
（3）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
（4）所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
【典例8】（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（ ）

A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV
【答案】C
【解析】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误；
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV
故C正确；
D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV
由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。
故选C。
【变式8-1】（（2024·甘肃·高考真题）某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，下列说法正确的是（ ）

粒子带负电荷
M点的电场强度比N点的小
粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
【答案】BCD
【解析】A．根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知，带电粒子带正电，故A错误；
B．等差等势面越密集的地方场强越大，故M点的电场强度比N点的小，故B正确；
CD．粒子带正电，因为M点的电势大于在N点的电势，故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能；由于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小，故CD正确。
故选BCD。
【变式8-2】如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是（ ）
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能小于它在a点的动能
C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
【答案】D
【解析】 由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确，不符合题意；
M从a点到b点，电场力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于在a点的动能，故B正确，不符合题意；
d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于在e点的电势能，故C正确，不符合题意；
N从c点运动到d点，电场力做正功，故D错误，符合题意。
【变式8-3】如图所示，为某静电透镜的示意图，图中实线K、G是电极板，K板电势为120V、带孔的G板电势为30V，虚线为等势线，从K板中心附近沿水平方向向右发射的带电粒子最终都汇聚到B点。不计粒子重力，关于从A点发射的粒子其从A点到B点的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．粒子在A点时的动能大于在B点时的动能
C．粒子在A点时的电势能大于在B点时的电势能
D．粒子动量的变化率一直不变
【答案】B
【解析】A．粒子出G板后，受电场力指向z轴，沿电场线方向，电势逐渐降低，可知电场力与场强方向相反，则粒子带负电，故A错误；
BC．粒子受电场力做负功，则粒子在A点时的动能大于在B点时的动能，由于只有电场力做功，则粒子在A点时的电势能小于在B点时的电势能，故B正确，C错误；
D．粒子受电场力变化，由动量定理可知，则粒子动量的变化率一直改变，故D错误；
故选B
类型3.图象在电场中的应用
1．v­t图象：根据电荷在电场中运动的v­t图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φ­x图象：(1)电场强度可用φ­x图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向。(2)在φ­x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化，确定电场强度的方向。（3）在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断
3．E­x图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E0)的电势为0，得
解得
故可知当时，；当时，。
故选D。
【变式9-3】（2024·天津·高考真题）某静电场在x轴正半轴的电势随x变化的图像如图所示，a、b、c、d、为x轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d点开始沿x轴负方向运动到a点，则该电荷（ ）
A．在b点电势能最小B．在c点时速度最小
C．所受静电力始终做负功D．在a点受静电力沿x轴负方向
【答案】BD
【解析】AB．根据题意，由公式可知，负电荷在高电势位置的电势能较小，由图可知，点的电势最大，则在点电势能最小，同理可知，c点的电势最小，则在c点时电势能最大，电荷仅在电场力作用下，电荷的电势能和动能之和不变，可知，电势能最大时，动能最小，则在c点时，电荷的动能最小，即速度最小，故A错误，B正确；
CD．根据沿电场线方向电势逐渐降低，结合题图可知，点左侧电场方向沿轴正方向，点右侧电场方向沿轴负方向，可知，点右侧负电荷受沿轴正方向的电场力，点左侧负电荷受沿轴负方向的电场力，可知，在a点受静电力沿x轴负方向，从d点开始沿x轴负方向运动到a点，电场力先做负功再做正功，故C错误，D正确。
故选BD。
【变式9-4】如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是( )

【答案】D
【解析】设两个带电小球间距为r，则F合＝mgsin θ－kq甲q乙r2
在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球的间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，Ek－x图像的斜率表示合外力，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；
E－x图像的斜率绝对值表示库仑力的大小，即|k斜|＝kq甲q乙r2，在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，则E－x图像的斜率的绝对值逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。
【变式9-4】如图（a）所示，有一电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O，轴线上的电场强度和电势分布如图（b）（c）所示。现有一带负电的粒子（重力不计）以初速度v0沿轴线由P运动到Q，OP＝OQ＝L。关于粒子由P运动到Q的过程分析，下列说法正确的是（ ）
A．粒子一直加速
B．静电力对粒子做功不为0
C．粒子所受静电力先增大后一直减小
D．粒子经Q点后可能在某处返回，也可能一直沿x轴正向运动
【答案】D
【解析】A．由图（c）可知，OP段电场强度向左，PQ段电场强度向右，因粒子带负电，故粒子在OP段所受电场力向右，做加速运动，在PQ段所受电场力向左，做减速运动，故A错误；
BD．由图（c）可知，P、Q两点电势相等，粒子在P、Q两点电势能相等，故静电力对粒子做功为0，根据动能定理可知，粒子经过Q点时速度向右，大小为v0，若12mv02小于粒子由Q点到无穷远处克服电场力做的功，粒子经Q点后会在某处返回，若12mv02大于或等于粒子由Q点到无穷远处克服电场力做的功，粒子经Q点后会一直沿x轴正向运动，故B错误，D正确；
C．由图（b）可知，由P到Q电场强度先增大后减小，再增大再减小，故粒子所受静电力先增大后减小，再增大再减小，故C错误。
故选D。
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，Ep＞0时，其绝对值越大，电势能越大；Ep＜0时，其绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功
根据UAB＝WABq，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
在连线的中垂线上，电势为零
等量同种正点电荷的电场
在连线上，中点电势最低，而在连线的中垂线上，中点电势最高
匀强电场中同一条直线上的线段两端点间电势差正比于线段长度。
三步法确定电场强度：①确定等势线；②画等势线的垂线，确定电场强度方向；③根据E＝Ud确定电场强度大小
匀强电场中若两线段（非等势线线段）平行，则这两线段各自的端点间电势差正比于线段长度。题中出现平行线时可用此方法
匀强电场中，利用E＝Ud，分别求出两垂直方向的电场强度，再求出各电场强度
图像类别
电势能与位移关系图像（Ep－x图像）
动能与位移关系图像（Ek－x图像）
功能关系
电场力做功与电势能变化关系
合外力做功与动能的变化关系
函数关系表达式
qE·Δx＝W电＝－ΔEp
F合·Δx＝ΔEk
图像斜率物理含义
绝对值表示电场力大小（qE）
合外力（F合）