2025--2026学年陕西省西安市某校高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西省西安市某校高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形D. 两个互异平面和有三个不共线的交点
3. 化简：（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（ ）
①，时，与的方向一定相反；
②，时，与的方向一定相同；
③，时，与的方向一定相同；
④，时，与的方向一定相反．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 如图，这是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 20
6. 在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. -2D. ±2
8. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线，不共面，则，为异面直线
B. 若直线平面，则与内无数条直线平行
C. 若直线平面，平面平面，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
11. 陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 剩下几何体的表面积为
B. 剩下几何体的体积为
C. 挖去圆柱体的外接球表面积为
D. 若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为
三、填空题
12. 已知复数 ，则 _______.
13. 已知向量，，则________．
14. 有以下六个命题：
①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.
②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.
③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.
⑤两条异面直线所成角的范围是.
⑥直线和平面所成角的范围是.
其中正确命题的序号是___________.
四、解答题
15. 已知复数（i为虚数单位），．
（1）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（2）若z为纯虚数，求实数m的值．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
17. 如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值.
18. 飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变.
（1）求 的最大值；
（2）若 米秒， 秒，求 .
19. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
数学
一、单选题
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：利用复数乘法运算法则，写成的形式，得其对应点的坐标，判断即可.
解答过程：因为.
所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形D. 两个互异平面和有三个不共线的交点
答案：C
解析：
思路：根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可.
解答过程：对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，空间四边形不是平面图形，B错误；
对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；
对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误.
故选：C.
3. 化简：（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由向量加法的三角形法则可知.
解答过程.
故选：C.
4. 已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（ ）
①，时，与的方向一定相反；
②，时，与的方向一定相同；
③，时，与的方向一定相同；
④，时，与的方向一定相反．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解析：
思路：根据数乘向量的定义和性质进行判断.
解答过程：由与向量的积的方向规定，易知①②正确，
对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向，
当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确．
故选：D
5. 如图，这是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 20
答案：A
解析：
解答过程：由斜二测画法得，的边，边上的高，
所以的面积为.
6. 在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：作出辅助线，得到即为和所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求出夹角余弦值.
解答过程：连接，，因为，所以即为和所成角，
因为，，
由勾股定理得，，
因此.
故选：D．
7. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. -2D. ±2
答案：C
解析：
思路：根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
解答过程：因为，
所以，解得.
故选：C
8. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.
解答过程：解：由，，又，故，所以.
因为，所以，又三点共线，
所以.
因此，当，时，，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
答案：BC
解析：
解答过程：A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线，不共面，则，为异面直线
B. 若直线平面，则与内无数条直线平行
C. 若直线平面，平面平面，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
答案：CD
解析：
思路：根据异面直线的定义、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系以及等角定理进行判断可得答案.
解答过程：由异面直线的定义可得A正确；
若直线平面，则内与平行的直线有无数条，故B正确；
若直线平面，平面平面，则或，故C错误；
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故D错误．
故选：CD．
11. 陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 剩下几何体的表面积为
B. 剩下几何体的体积为
C. 挖去圆柱体的外接球表面积为
D. 若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为
答案：BCD
解析：
思路：结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得.
解答过程：对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，，
圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为：
，故A错误；
对于B，由题意，剩下几何体的体积为：
，故B正确；
对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点，
设外接球的半径为，由图知，，
则圆柱的外接球的表面积为，故C正确；
对于D，设该实心球的半径为，依题意，，
即得，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12. 已知复数 ，则 _______.
答案：
解析：
思路：先化简复数，再结合复数运算法则计算模.
解答过程：由题意得，
所以
13. 已知向量，，则________．
答案：
解析：
解答过程.
14. 有以下六个命题：
①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.
②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.
③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.
⑤两条异面直线所成角的范围是.
⑥直线和平面所成角的范围是.
其中正确命题的序号是___________.
答案：①③⑥
解析：
解答过程：过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故①正确；
过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故②错误；
过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故③正确；
过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④错误；
两条异面直线所成角的范围是，故⑤错误；
直线和平面所成角的范围是，故⑥正确.
所以正确命题的序号是①③⑥.
四、解答题
15. 已知复数（i为虚数单位），．
（1）若z为虚数，求实数m的取值范围；
（2）若z为纯虚数，求实数m的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据z为虚数，即可求解；
（2）根据z为纯虚数即可求解.
（1）若为虚数，则，且，
解得且，
所以实数的取值范围为.
（2）若为纯虚数，则，
解得，即，
所以实数的值为．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17. 如图，在高为2的正三棱柱中，，D是棱的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）直接用三棱锥的体积公式即可；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解即可.
（1），
所以；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．

当三点共线时，取得最小值，且最小值为．
18. 飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变.
（1）求 的最大值；
（2）若 米秒， 秒，求 .
答案：（1）
（2）米秒
解析：
思路：（1）由正弦定理列式可得，当时，有最大值，计算即可求解；
（2）由余弦定理求得米，根据计算可解.
（1）由题意可得，
在中，由正弦定理可得，
即，化简可得，
因为，
所以当，即时，取最大值为；
（2）若 米秒， 秒，则米，
由余弦定理可得，，
解得米，
因为，所以米秒.
19. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：平面；
（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
解析：
思路：（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可；
（3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可．
（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以D，B，F，E四点共面；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）存在，且，理由如下：
因为，
所以，
，
又，
，
平面，平面，
平面，
延长交于，延长交于，连接，

为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，，
，又，即，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
平面平面，
所以时，平面平面．