2025--2026学年陕西渭南市渭南高级中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西渭南市渭南高级中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，最大值是2的为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3. 函数的图象可以由的图象（ ）
A. 向左平移1个单位长度得到B. 向右平移1个单位长度得到
C. 向上平移1个单位长度得到D. 向下平移1个单位长度得到
4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）．
A. 的直角三角形B. 的直角三角形
C. 锐角三角形D. 钝角三角形
6. 在中，，，交于点，设，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7. 已知函数在区间上单调，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
8. 在中，，，且的面积为，则（ ）．
A. 3B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
10. 已知函数与的图象的一个公共点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为正整数
B. 若，则的单调递减区间为
C. 若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）得到
D. 若，则与的图象在上共有7个公共点
11. 在中，角的对边分别为，已知，D为的中点，且，则（ ）
A. B. 的外接圆半径为
C. 的周长为28D. 的内切圆半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留）
13. 若关于的方程在时恰有3个实根，则___________．
14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 已知，为不共线的单位向量，，．
（1）若且，求，的夹角的余弦值；
（2）若，的夹角为，且，求实数的值．
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若为奇函数，求的值；
（3）若在区间上有最小值，无最大值，求的取值范围．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．

（1）若，向量与垂直，求实数a的值；
（2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；
（3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中，最大值是2的为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：和的最大值都是，没有最大值，的最大值为2．
2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，得，
则与同方向的单位向量为.
3. 函数的图象可以由的图象（ ）
A. 向左平移1个单位长度得到B. 向右平移1个单位长度得到
C. 向上平移1个单位长度得到D. 向下平移1个单位长度得到
答案：B
解析：
解答过程：的图象向右平移1个单位长度即可得到的图象．
4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：先将角度转化为弧度，，
所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为.
5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）．
A. 的直角三角形B. 的直角三角形
C. 锐角三角形D. 钝角三角形
答案：B
解析：
解答过程：，，，，，；
，，
；
，即；
是的直角三角形.
6. 在中，，，交于点，设，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：C
解析：
思路：利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可.
解答过程：如下图所示：
因为，，即，
故，所以，
又因为，即，
故，
因为、不共线，所以，解得.
7. 已知函数在区间上单调，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
答案：A
解析：
解答过程：由题可知，，设的最小正周期为，
则，故，所以，
即，解得，所以．
8. 在中，，，且的面积为，则（ ）．
A. 3B. C. D.
答案：D
解析：
思路：延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案.
解答过程：如图，延长到，使得，
由，可得，即，所以，
因为，所以，即，得，
由勾股定理可得，则，
在中，，则，
在中，由余弦定理得，
所以.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当时，不一定成立，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确．
10. 已知函数与的图象的一个公共点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为正整数
B. 若，则的单调递减区间为
C. 若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）得到
D. 若，则与的图象在上共有7个公共点
答案：ABD
解析：
解答过程：对于A，由的图象经过点，可得，即，故A正确；
对于B，若，则，令，
可得，
所以的单调递减区间为，故B正确；
对于C，若，则的图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到，故C错误；
对于D，当时，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可得共有7个公共点，故D正确．
11. 在中，角的对边分别为，已知，D为的中点，且，则（ ）
A. B. 的外接圆半径为
C. 的周长为28D. 的内切圆半径为
答案：AC
解析：
思路：对于A，由结合余弦定理可得一个等式，再由结合余弦定理得另外一个等式，联立两者即可求解；对于B，在A选项的基础上，结合正弦定理即可求解；对于C，由余弦定理变形即可求解周长；对于D，利用三角形周长和面积即可求解内切圆半径．
解答过程：对于A，由，得，在中，
由余弦定理可得，所以，
因为为的中点，，
所以，由余弦定理可得，
解得，故A正确；
对于B，设的外接圆半径为，由，得，
由正弦定理得，解得，故B错误；
对于C，由，得，
又，由此可得，所以的周长为28，故C正确；
对于D，的面积为，周长为28，设其内切圆半径为，
则，解得，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留）
答案：
解析：
解答过程：该扇形区域的面积为．
13. 若关于的方程在时恰有3个实根，则___________．
答案：
解析：
解答过程：如图，作出函数在上的图象，则，
所以．
14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______．
答案：
解析：
思路：可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数后计算的值.
解答过程：设小等边三角形的边长为，由，
设，则.
∵，且，
∴，即.
由中间小等边三角形性质，，
∴.
∵，
∴化简得，
解得正根，即，.
在中由余弦定理得
，
解得.
以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：
得各点坐标：，，.
在中，由正弦定理，得；
由余弦定理得.
又，
则，
，
因此点坐标为，
∴.
则，
所以，
解得，，因此.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据三角函数的定义求得和的值，即可求解.
（2）根据三角函数的定义求得，进而利用诱导公式化简，代入三角函数值计算即可求解.
（1）因为角的终边与单位圆交于点．
所以．
因为角的终边经过点，
所以．
所以．
（2）由题可知，
所以
．
16. 已知，为不共线的单位向量，，．
（1）若且，求，的夹角的余弦值；
（2）若，的夹角为，且，求实数的值．
答案：（1）
（2）或.
解析：
思路：（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可；
（2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可.
（1） 则
则 ,
则 ,
则 ,
则 .
（2）,
,
,
,
,
,
解得：
当时，，成立，
当时， 成立，
或.
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若为奇函数，求的值；
（3）若在区间上有最小值，无最大值，求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据最小正周期公式即可算；
（2）由题可推得为偶函数，据此可算；
（3）计算出的范围，而最小值点必须在此范围之中，由此列出不等式求解即可．
（1）的最小正周期．
（2）因为是奇函数，且为奇函数，所以为偶函数，
则，又因为，所以．
（3）当时，，
因为，所以，
又在上有最小值，无最大值，所以，解得，
即的取值范围为．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解；
（ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值.
（1）因为，所以，即，
所以，因为，所以；
（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，
因为AD平分，
所以，
因为，
所以，
将代入上式得，解得，，
由余弦定理得，解得.
（ⅱ）由，
得，
将代入上式得，即，即，
则，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；
由余弦定理得，
，
令，则，
因为 ，当时，的最小值为，
则的最小值为，
所以周长的最小值为.
19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．

（1）若，向量与垂直，求实数a的值；
（2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；
（3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值．
答案：（1）
（2） （3）2
解析：
思路：（1）根据题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律求解即可；
（2）连接交于点，根据平面向量的线性运算可得，根据三点共线的推论可得，再结合基本不等式“1”的代换求解即可；
（3）由题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律化简可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可.
（1）因为向量与垂直，
所以，
则，
而，，则，
即，解得.
（2）连接交于点，由于为的重心，

则，
而，，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
（3）由于，，则，
所以
，
函数开口向上，对称轴为，
则时，取得最小值，而的最小值为，
则，又，则.