陕西西安市某校2025_2026学年高三下学期期中考试数学试题 [含答案]

这是一份陕西西安市某校2025_2026学年高三下学期期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点是，则（ ）
A. 5B. C. 2D.
3. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ）
A. 120B. 210C. 75D. 240
7. 设函数，若对于都有成立，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ）
A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为
B. 过三点的截面面积为18
C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为
D. 在棱上不存在点，使得平面
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 准线的方程为B.
C. 直线与的斜率之和为0D. 与的面积相等
11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 存在 ，使得
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，则_______.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______.
14. 现有n个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，且，.
（1）求的值；
（2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
16. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．
（1）试求频率分布直方图中的值；
（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；
（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．
17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求证：对任意，不等式恒成立．
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）．
（1）若平面平面，证明：平面;
（2）当面积最小时，求二面角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明：
（参考公式：），
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以,由，
所以，所以，
解不等式，可得，所以，
所以.
2. 在复平面内，复数对应的点是，则（ ）
A. 5B. C. 2D.
答案：D
解析：
思路：根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案.
解答过程：由题意知，，则，
所以.
3. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求出，求出即可求出向量在上的投影向量.
解答过程：因为，
所以，
所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.
解答过程：对于A选项，对于函数，由可得，
即函数的定义域为，与题中图象不符；
对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；
对于C选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，与题中图象不符；
对于D选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，
令得，可得，
当时，，则，与题中图象相符.
5. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解析 对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误；
对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误；
对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误；
对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D.
6. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ）
A. 120B. 210C. 75D. 240
答案：A
解析：
思路：先利用图象的交点求出当n＝1时的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列为等差数列即可求出.
解答过程：过点，
则可作出的图象.
当n＝1时，作出的图象，
因为，故的图象与图象有3个交点；
注意到的周期为4，，
n每增加1个单位，也增加个单位（一个周期），则交点增加2个，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
7. 设函数，若对于都有成立，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：
思路：思路一：直接求得函数单调区间、表示出最小值，进而可列出不等式组求解；
思路二：分类讨论并分离参数，进一步换元，通过构造函数，求导得函数最值即可求解.
解答过程：法一：直接求导法
，令得，
时，单调递增；时，单调递减；
时，单调递增；
故或，只需，
法二：分离参数法
，
令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
时，；时，，
所以．
当时，恒成立，所以,
综上可知若对于都有成立，则，
故选：C.
方法提示：思路点睛：法一：直接求导法，此法的好处是省去了分类讨论的步骤，法二：分离参数法，此法的好处是可以直接构造新的函数，只需求新的函数最值即可.
8. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ）
A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为
B. 过三点的截面面积为18
C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为
D. 在棱上不存在点，使得平面
答案：C
解析：
思路：根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D.
解答过程：对于A，取分别为的中点，连接，
根据中位线定理得，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，平面，所以平面平面，
又易得且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面
所以平面平面，
因为直线平面，所以平面，
所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确；
对于B，由A可得，
所以过三点的截面为等腰梯形，
又，
所以等腰梯形的高为，
所以截面面积为，故B正确；
对于C，，
所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误；
对于D，假设存在点，使得平面，
因为平面，则，
在正方形中，如图建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
所以，得，显然不成立，D正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：CD
解析：
思路：利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项.
解答过程：因为，，满足，
对于A选项，由基本不等式可得，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，A错；
对于B选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B错；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，D对.
故选：CD.
10. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 准线的方程为B.
C. 直线与的斜率之和为0D. 与的面积相等
答案：ACD
解析：
解答过程：解：选项A，由抛物线的定义知，，选项A正确；
选项B，因为轴，所以，
若，则，
即，显然该等式不一定成立，故选项B错误；
选项C，设，，且，
由题意知，直线的斜率一定存在，且不为0，
设其方程为，联立，消去得，，
因为直线与抛物线有两个交点，所以，
即：，得：或，当时， ，
所以，且，
由韦达定理知：，，所以
，故选项C正确；
选项D，的面积
，
的面积，
所以与的面积相等，故选项D正确.
11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 存在 ，使得
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：由题意可得，进而可求判断A; 利用裂项相消法计算可判断B；利用等差数列前和公式计算可判断C；构造函数可得，进而可得，令，计算可判断D.
解答过程：由，可得，所以，
所以是等差数列，又，所以，
所以等差数列的首项为3，公差为2，所以，
所以，所以，故A正确；
，
所以
，
令，解得，所以存在，使得，故B正确；
对于，故C错误；
对于D，令，
求导得，所以，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以，化简得，仅当时等号成立；
令，得，此时等号不成立
所以，
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，则_______.
答案：
解析：
思路：直接代入解析式，结合对数运算求解即可.
解答过程：由题可知，，
因为，所以.
故
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______.
答案：
解析：
思路：先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率.
解答过程：
因为，所以，
所以，即.
因为，，所以
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得.
因为，所以，
即，解得，所以.
所以.
14. 现有n个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.
答案：9
解析：
思路：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
解答过程：设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，
第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：
4白，取法数为：，
1红3白，取法数为：，
2红2白，取法数为：，
3红1白：取法数为：，
所以第四次取出的是白球的总情形数为：
，
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为：
，
当时，.
故．
方法提示：思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，且，.
（1）求的值；
（2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解；
（2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域.
（1）根据向量点积公式：，
用辅助角公式化简：，即.
已知，故，则，
解得.
（2）已知，故，即 ，.
根据正弦定理，得，
代入，化简得
，
因此.
由得，故，代入得.
16. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．
（1）试求频率分布直方图中的值；
（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；
（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．
答案：（1）
（2） （3）分布列见解析，数学期望为.
解析：
思路：（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参；
（2）应用条件概率公式计算求解；
（3）先写出对应概率，再得出随机变量的分布列，进而计算数学期望即可.
（1）由频率分布直方图可知，
，
解得．
（2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，
“该学生是‘运动爱好者’”为事件B，
则，
，
所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为
.
（3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人，
所以．
，，．
则的分布列为
则．
17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据椭圆的概念，以及两点之间的斜率公式，求出椭圆的参数，写出标准方程即可；
（2）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，求出参数值，进而求出直线方程即可.
（1）设椭圆C的半焦距为，则，
所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，解得．
因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得，
则．
所以C的方程为．
（2）由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，不妨设，
联立消去y得，
令，解得．
设，，则，，
因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即，
所以，即，
所以，
整理可得即，满足，解得，
所以直线l的方程为．
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求证：对任意，不等式恒成立．
答案：（1）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为．
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）对求导，结合导数与函数单调性的关系判断函数的单调性；
（2）要证明只需证明，再通过构造函数证明结论.
（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减．
因此，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）要证，两边取自然对数（因单调递增，不等号方向不变），即证，
由对数运算法则，化简得．
方法一
，
即证．
由，可知，结合在区间上单调递增，
所以得证，原不等式成立．
方法二 令，因为，所以，即．
由三角恒等式，代入，
得，
令，需证，
求导得，化简得，
因为，所以，即在上单调递增．
接下来只需证明不等式．
因在上单调递增，故，
因此，当时，，即恒成立．
综上，对任意，不等式恒成立．
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）．
（1）若平面平面，证明：平面;
（2）当面积最小时，求二面角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明：
（参考公式：），
答案：（1）证明见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用线面平行的性质定理可证明；
（2）利用线面垂直的判定先证平面，当面积取得最小值时，即最小，计算出，的长度，根据相似比即可确定 值，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角；
（3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明.
（1）底面为正方形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）知平面，设直线交于点，连接，
底面为正方形，，平面平面，
平面平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，，，
所以，即，
又，所以，
又，，平面，平面，
平面，，又，所以，
故当最小时，即时，面积取得最小值，
，，，时，，
，，
所以，即的面积最小时，
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，得，
令，得，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，
∴，
则二面角的正弦值为；
（3）由（2）知，，
，
由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为，
则，所以，
即，
.
0
1
2