2025--2026学年陕西镇安中学高一下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西镇安中学高一下册期中数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. “为锐角”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
6. 在中，∠BAC=2π3,AC=2,BC=6 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是三角形的内角，，则角等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是的一条对称轴
D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数
11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若是锐角三角形，外接圆的半径为2，且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小正周期是_____.
13. 设集合，，则___________．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
16. 已知在的三个内角所对的边分别为，且．
（1）求边的大小；
（2）求．
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域.
18. 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．

（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
19. 已知的三个内角所对的边分别为．
（1）求角的大小．
（2）若的面积为，求的值；
（3）若恒成立，求实数的最小值．
数学
本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：
2. “为锐角”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：根据锐角和第一象限角的定义即可求解.
解答过程：为锐角，则，故为第一象限角，充分性成立，
当为第一象限角，取，为第一象限角，但不是锐角，故必要性不成立，
因此“为锐角”是“为第一象限角”的充分不必要条件，
故选：B
3. 圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：转化为弧度制为，则弧长．C正确.
4. 已知向量，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题意．
5. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
答案：D
解析：
解答过程：由可知，
故.
6. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由正弦定理可得：BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，即6sin2π3=2sin∠ABC，解得sin∠ABC=36.
7. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为为矩形，为的中点，
所以.
8. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据探索图所呈现的规律，找出探索图的周期，进而即得.
解答过程：观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，而，
则2 015 至2 017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是三角形的内角，，则角等于（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据特殊角的三角函数值及诱导公式求解即可.
解答过程：因为是三角形内角，所以.
又，所以或．
故选：BD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 是的一条对称轴
D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数
答案：AB
解析：
思路：根据图象可得函数的最大值最小值，结合解析式可求，由此判断A；观察图象可得函数的周期，由此判断B；根据最小正周期求出，将点代入函数解析式可求，根据正弦函数性质求函数的对称轴判断C；求出平移之后的函数解析式，结合函数奇偶性的定义判断D.
解答过程：观察图象可得函数的最小值为，最大值为，所以，故选项A正确；
观察图象可得函数的最小正周期，故选项B正确；
由，得，又，所以，
将点代入中，得，
所以，，又，所以，
故函数，
令，，可得，，
所以不是函数的一条对称轴，故选项C错误；
函数的图象向右平移个单位，
所得函数解析式为，
由函数定义域为，定义域关于原点对称，又
所以函数不是奇函数，故选项D错误.
故选：AB.
11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若是锐角三角形，外接圆的半径为2，且，则的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由的位置求出，即可判断 B正确；对于C，由得，再利用数量积求模即可判断C不正确；对于D，由题意利用正弦定理结合是锐角三角形求得，结合余弦定理及数量积的运算判断D正确.
解答过程：对于A，，则为的中点，故，
设，因为，
则，
，
由共线，得，解得，所以，故A正确；
对于B，为的中点，故，，
又，所以，
所以，，故B正确；
对于C，，
所以，
所以，故C不正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，
由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，
因为是锐角三角形，所以，得，
由可得
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA⇒4=AB2+AC2−3AB⋅AC≥2−3AB⋅AC ，
所以，当且仅当时等号成立，此时，满足是锐角三角形，
则AB⋅ACmax=42−3×32=6+43，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小正周期是_____.
答案：
解析：
思路：利用正切函数的周期公式直接求解.
解答过程：函数的最小正周期是.
故
13. 设集合，，则___________．
答案：
解析：
解答过程：，
，
故
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________．
答案：
解析：
思路：先根据比例关系设 ，用含的式子表示出各边长度，再将大等边三角形拆分为3个全等三角形和1个中间小等边三角形，分别计算各部分面积，利用含角的三角形面积公式与等边三角形面积公式求出面积表达式，最后通过面积比约去参数，即可得到结果.
解答过程：设 ，由 AD=4AF ，得 ，
因此，DF=AD−AF=4x−x=3x ，
∵ 是等边三角形，∴ DE=EF=DF=3x ，
又∵ 3个三角形全等，
∴ CF=AD=4x ，∠AFC=180∘−∠DFE=180∘−60∘=120∘，
∴S△AFC=12⋅AF⋅CF⋅sin120∘=12⋅x⋅4x⋅32=3x2，
∴S△DEF=34⋅DF2=34⋅(3x)2=934x2，
∴S△ABC=3S△AFC+S△DEF=3×3x2+934x2=1234x2+934x2=2134x2，
∴S△ABCS△DEF=2134x2934x2=219=73.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）（2）利用三角函数定义及诱导公式可得.
（1）角的终边经过点，所以
，
所以.
（2）依题意，
16. 已知在的三个内角所对的边分别为，且．
（1）求边的大小；
（2）求．
答案：（1）
（2）解析：
（1）在中，，，，
由余弦定理，
得，即，而，
所以．
（2）由（1）及正弦定理，得．
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将看作一个整体，结合正弦函数的图象性质，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦函数的图象性质，先判断出函数在上的单调性，即可求得值域.
（1）由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递增，
解不等式得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由题意，因为，所以，
结合正弦函数的性质可知，当，即时，函数单调递增，
当，即时，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
即，
又，
，
所以当时，函数取得最小值，
所以函数在区间上的值域为.
18. 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．

（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
答案：（1）15米 （2）10米．
解析：
解答过程：试题分析：（1）设AB的高度为，根据 ,利用直角三角形建立等量关系：，解得．（2）利用余弦定理建立等量关系： ,从而可得
试题解析：（1）设AB的高度为，
在△CAB中，因为，所以，
在△OAB中，因为，，
所以， ，
由题意得，解得 ．
答：烟囱的高度为15米．
（2）在△OBC中，
，
所以在△OCE中，
．
答：CE的长为10米．
19. 已知的三个内角所对的边分别为．
（1）求角的大小．
（2）若的面积为，求的值；
（3）若恒成立，求实数的最小值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解即可；
（2）由余弦定理结合三角形面积公式求解即可；
（3）分离参数，转变为，利用均值不等式求出32bc3b2+12c2−bc最值，即可求出实数的最小值.
（1）因为，
所以由正弦定理得．
在中，，
所以，可得，
因为C∈0,π,sinC≠0 ，所以，
又，可得．
（2）由，解得，
由余弦定理得，
所以，故．
（3）由恒成立，即，
由，
原不等式可化为t≥32bc3b2+12c2−bc=323bc+12cb−1，
由，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
要使恒成立，则即可，
从而实数的最小值为．