专题11.3 整式的除法【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握同底数幂的除法法则，能熟练进行同底数幂的除法运算。
掌握单项式除以单项式的法则，能准确计算。
掌握多项式除以单项式的法则，能正确进行整式除法运算。
理解整式除法与乘法之间的关系，能解决相关的逆运算问题。
能运用竖式除法解决多项式除以多项式的综合问题，体会类比思想。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 同底数幂的除法
法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）。
底数可以是数、字母或整式。
逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ。
注意：a⁰ = 1（a≠0）。
※ 典型例题 1
题目：若 6ˣ = a，6ʸ = b，则 6ˣ⁻²ʸ = （ ）
A. a/b² B. 2ab C. ab² D. a−2b
解析：6ˣ⁻²ʸ = 6ˣ ÷ 6²ʸ = 6ˣ ÷ (6ʸ)² = a/b²。
答案：A
☆ 2. 单项式除以单项式
法则：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
注意符号和指数运算。
结果仍为单项式（当被除式能被除式整除时）。
※ 典型例题 2
题目：计算 (−2a²b³)² ÷ 4a³b² 的结果是（ ）
解析：先算积的乘方：(−2a²b³)² = 4a⁴b⁶，再除以 4a³b² 得 ab⁴。
答案：ab⁴
☆ 3. 多项式除以单项式
法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。即 (ma+mb+mc)÷m = a+b+c。
注意符号，特别是负号。
结果仍是多项式，项数不变。
※ 典型例题 3
题目：一个长方形的面积是 8a³−6a²+2a，若它的长是 2a，则它的宽是（ ）
A. 8a²−6a+2 B. 4a³−3a²+a C. 4a²−3a D. 4a²−3a+1
解析：宽 = 面积 ÷ 长 = (8a³−6a²+2a) ÷ 2a = 4a²−3a+1。
答案：D
☆ 4. 多项式除以多项式（竖式除法）
仿照多位数除法，用竖式计算多项式除以多项式。
步骤：按降幂排列，用被除式的首项除以除式的首项得商的首项，相乘后相减，重复进行。
被除式 = 除式 × 商式 + 余式。
若余式为0，则被除式能被除式整除。
※ 典型例题 4
题目：用竖式计算 (4x³+8x²−3x−9) ÷ (x−1)。
解析：竖式除法可得商为 4x²+12x+9，余式为0。
答案：4x²+12x+9
☑ 知识总结表
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】同底数幂的除法（第1–8题）
方法总结：
直接应用：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ。
逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ，用于已知幂求值。
注意底数可以是整式，指数相减。
幂的乘方与除法综合运算时，注意运算顺序。
1．（2026春•浙江期中）若6x＝a，6y＝b，则6x﹣2y＝（ ）
A．ab2B．2abC．ab2D．a﹣2b
2．（2026春•天宁区校级期中）下面是小明做的四道题：①2a+3b＝5ab；②（3a3）2＝6a6；③a6÷a2＝a3；④a2•a3＝a5．其中做对的题数有（ ）
A．1题B．2题C．3题D．4题
3．（2026春•江阴市期中）若am＝16，an＝2，则am﹣n＝ ．
4．（2025春•新华区校级月考）计算（﹣a2）3÷（﹣a2）结果是 ．
5．（2025春•市南区校级期中）已知：5a＝2，5b＝6，则53a﹣2b的值为 ．
6．（2026春•苏州期中）分别求出下列式子的值．
（1）已知：3m＝2，3n＝5，求：
①3m+2n；
②34m﹣3n．
（2）如果2x+2+2x+1＝48，求x的值．
7．（2026春•同步）（1）已知3x＝2，3y＝4．
①求27x的值；
②求32x﹣y的值．
（2）已知am＝2，an＝4，ak＝32，求a3m+2n﹣k的值．
（3）已知x＝3m﹣3，y﹣4＝81m÷3m，用含x的代数式表示y．
8．（2025春•烈山区校级期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81．
（1）求4m的值；
（2）求4m+n﹣p的值；
（3）字母m，n，p之间的数量关系为 ．
【考点2】单项式除以单项式（第9–18题）
方法总结：
系数相除，同底数幂相除。
只在被除式中出现的字母，连同指数照写。
注意符号运算，负负得正。
混合运算时，先算乘方，再算乘除。
9．（2026春•长寿区期中）计算：
（1）（﹣a2）3•（﹣a3）2；
（2）910x2y3÷(−32x2y)．
10．（2026•榆林模拟）计算（2m2）3÷m4的结果为（ ）
A．4m2B．4mC．8mD．8m2
11．（2025春•烈山区校级期中）小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如﹣4x6y4÷■＝2xy，则“■”所表示的式子是（ ）
A．﹣2x5y5B．﹣2x5y3C．﹣4x3y5D．2x5y3
12．（2024秋•循化县期末）计算2x3y÷xy的结果是（ ）
A．2x2B．x2yC．xyD．2xy2
13．（2025春•岑溪市校级月考）若﹣2x2•（ ）＝﹣8x3y，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣4yB．﹣4xyC．﹣4x2yD．4xy
14．（2026春•宣城期中）计算：（﹣2a2b3）2÷4a3b2＝ ．
15．（2024秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣a2b）3÷2a＝ ．
16．（2024秋•射洪市校级月考）计算：
（1）（﹣a）8÷（﹣a2）＝ ；
（2）35a7b3c÷7a4bc＝ ；
（3）(−2a+b2)2= ．
17．（2025秋•晋江市期末）计算：4x3y÷2y•（﹣3xy3）2
18．（2024秋•上饶校级期中）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2．
（1）将整式A化为最简形式；
（2）求整式B；
（3）求A÷B的正确结果．
【考点3】多项式除以单项式（第19–30题）
方法总结：
用多项式的每一项分别除以单项式。
注意符号，特别是负号。
结果中项数与原多项式相同。
逆运算：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。
19．（2026春•榕城区期中）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如9÷2就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式4x3﹣2x2+ax+3除以bx，商式为2x2﹣x﹣5余3，则a+b的值为（ ）
A．﹣8B．8C．12D．﹣12
20．（2026春•碑林区期中）一个长方形的面积是8a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（ ）
A．8a2﹣6a+2B．4a3﹣3a2+aC．4a2﹣3aD．4a2﹣3a+1
21．（2026春•福田区校级期中）一道除法运算题：（21x4y3﹣□+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝□+5xy﹣y，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（ ）
A．35x2y2，﹣3x2y2B．﹣35x3y2，3x2y2
C．﹣35x2y2，﹣3x3y2D．35x3y2，﹣3x2y2
22．（2026春•梁溪区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ）
A．（x2﹣2x+6）B．（x2﹣3x2+6）
C．（x2﹣3x+6）D．（x2﹣3x﹣6）
23．（2024秋•青山区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）
A．12(a−b)B．a﹣bC．12(a+b)D．a+b
24．（2025春•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（ ）
A．﹣3xy3﹣2x2B．﹣3x3y﹣2x2y
C．3x3y+2xyD．﹣3x3y+2x2
25．（2025秋•翠屏区校级月考）已知多项式x3+ax2﹣2x+8除以x﹣b的商为x2﹣x+2，则a、b的值为（ ）
A．a＝3，b＝4B．a＝﹣3，b＝1C．a＝3，b＝﹣4D．a＝3，b＝﹣1
26．（2025秋•杨浦区校级期中）计算：（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣3xy）3＝ ．
27．（2024秋•广阳区校级月考）若■÷5ab＝2a2+ab﹣3b，则被除数等于 ．
28．（2024秋•徐汇区校级期中）已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x+12，则B+A＝ ．
29．（2025秋•京山市月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式：
×(−12xy)=3x2y−xy2+12xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x=23，y=12，求所捂多项式的值．
30．（2025秋•苍溪县期末）计算：
（1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y；
（2）22−5×(−13)0×(52)−1．
【考点4】创新及压轴题（第31–34题）
方法总结：
竖式除法：仿照多位数除法，注意降幂排列和缺项补零。
余式定理：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。
待定系数法：通过比较系数求未知参数。
整除条件：余式为0。
31．（2015秋•长宁区校级期中）已知一个三次多项式除以x2﹣9的余式为3x﹣5，除以x2﹣16余式﹣2x﹣7，求这个三次多项式．
32．（2023春•蓬莱区期中）一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：（x3+ax2+1）÷（x+1）＝x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值．
33．（2025春•吉州区校级月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法．
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3；
③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；
④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．
被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1．
请根据阅读材料，回答下列问题：
（1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子 ， ；
（2）请模仿材料中的方法计算多项式（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）．
34．（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab的值．
随堂检测 · 精选练习
练习1：同底数幂除法练习2：单项式除法求参数练习3：多项式除以单项式练习4：幂的除法与乘方综合练习5：幂的运算规定应用
【练习1】若a6m÷ax＝a2m，则x的值是（ ）
A．4mB．3mC．3D．2m
【练习2】若12x4ym÷28xny3=37y2，则（ ）
A．m＝4，n＝5B．m＝5，n＝4C．m＝3，n＝4D．m＝2，n＝3
【练习3】（2025春•秦都区校级月考）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+x2y2，它的宽为3y2，则这个长方形的长为 ．
【练习4】（2025春•临潼区校级月考）若xa＝xb，则a＝b（x＞0且x≠1，a，b是正整数）．
（1）如果22m+1＝64，那么m＝ ；
（2）如果7m＝56，8n＝56，那么56mn﹣m﹣n＝ ．
【练习5】（2026春•泰州期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题：
（1）若4x﹣3＝242，求x的值；
（2）若3x+1﹣3x＝162，求x的值．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：余式定理作业2：幂的运算判断作业3：多项式除以单项式作业4：规律探究与除法作业5：同底数幂除法求值作业6：科学计数法除法作业7：整式除法计算作业8：幂的运算综合作业9：代数式化简与无关作业10：错看问题
❤ 复习建议
牢记幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，注意底数不能为0。
单项式除法要细心：系数相除、同底数幂相除，注意只在被除式中出现的字母要照写。
多项式除以单项式：逐项相除，注意符号，结果项数不变。
竖式除法类比学习：仿照多位数除法，按降幂排列，缺项补零，循序渐进。
逆运算与检验：利用“被除式 = 除式 × 商式 + 余式”检验结果的正确性。
【作业1】设f（x）为实系数多项式，除以x﹣1，余数为9；除以x﹣2．余数为16，则f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式为（ ）
A．7x+2B．7x+3C．7x+4D．7x+5
E．2x+7
【作业2】下面计算正确的是（ ）
A．a3÷a＝a3B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．（﹣b3）2+（﹣b2）3＝0
【作业3】（2019春•城关区校级期中）计算：（8x5﹣6x3﹣4x2）÷（﹣2x）＝（ ）
A．﹣4x4﹣3x2+2xB．﹣4x4+3x2+2x
C．4x4+3x2﹣2xD．4x4﹣3x2﹣2x
【作业4】阅读下列各等式，观察并总结规律．
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1
（1）根据你的观察得（x7﹣1）÷（x﹣1）＝ ，那么（xn﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
（2）利用（1）的结果计算1+22+23+24+…+22019＝ ．
【作业5】若3m＝5，3n＝4，则32m﹣3n＝ ．
【作业6】（2012秋•樟树市期末）已知木星的质量约是a×1024吨，地球的质量约是3a×1021吨，则木星的质量约是地球质量的 倍．
（结果取整数）
【作业7】（2013春•平湖市校级单元）（1）a2bx3÷a2x＝ ；
（2）3a2b2c÷（−34a2b2）＝ ；
（3）（a5b6﹣a3b2）÷ab＝ ；
（4）（8x2y﹣12x4y2）÷（﹣4xy）＝ ．
【作业8】（1）若3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n+1的值；
（2）若10m＝20，10n=15，求9m÷32n的值．
【作业9】试说明代数式[（x+2y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2]÷（﹣3y）﹣y的值与y无关．
【作业10】小亮在计算一个多项式除以单项式−13x时，不小心算成乘以−13x，得到的结果为6x4y3﹣x3y2+2x2y，你能帮他求出正确的结果吗？运算类型
法则
注意事项
同底数幂除法
底数不变，指数相减
底数不能为0，指数为正整数
单项式÷单项式
系数相除，同底数幂相除
只在被除式中的字母照写
多项式÷单项式
各项分别除以单项式
注意符号，不要漏项
多项式÷多项式
竖式除法，按降幂排列
被除式 = 除式×商 + 余式