专题13.1 分式及其性质【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

这是一份专题13.1 分式及其性质【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册，共7页。学案主要包含了作业10等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解分式的概念，能准确识别分式，掌握分式有意义的条件。
掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形。
掌握约分的方法，能熟练将分式化为最简分式。
理解最简分式的概念，能判断一个分式是否为最简分式。
能运用分式的性质解决规律探究、整体代入等综合问题。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 分式的定义
定义： 一般地，如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子 AB 叫做分式。其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
分式有意义的条件：分母 B≠0。
分式 AB 的值为0的条件：分子 A=0 且分母 B≠0。
π 是常数，不是字母，所以分母中含有 π 的式子不是分式。
☑ 典型例题 1
题目： 下列式子中是分式的是（ ）
A. 1π B. x2 C. 23 D. 2x+1
解析： 分母中含有字母的式子是分式。A、B、C的分母中都不含字母，只有D中分母 x+1 含有字母。
答案： D
☆ 2. 分式的基本性质
性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
公式：AB=A⋅MB⋅M，AB=A÷MB÷M（M≠0）。
注意：所乘（或除）的整式不能为0。
符号法则：−AB=A−B=−AB。
☑ 典型例题 2
题目： 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A. x+1y+1=xy B. −xx−y=−xy−x C. x2y2=xy D. xyy2=xy
解析： A中分子分母加的数不同，不符合基本性质；B中右边应为 xx−y；C中 xy 与 x2y2 不一定相等；D符合分式基本性质，分子分母同除以 y。
答案： D
☆ 3. 约分
定义： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键：找出分子、分母的公因式。
约分的依据：分式的基本性质。
约分的结果：化为最简分式或整式。
☑ 典型例题 3
题目： 化简 x2−4y2x2−4xy+4y2 的结果是（ ）
A. x+2yx−2y B. x−2yx+2y C. x+2yx−3y D. 1
解析： 分子 x2−4y2=x−2yx+2y，分母 x2−4xy+4y2=x−2y2，约去公因式 x−2y，得 x+2yx−2y。
答案： A
☆ 4. 最简分式
定义： 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
判断方法：将分子、分母分别分解因式，检查是否有公因式。
若分子、分母都是多项式，需先因式分解再判断。
注意互为相反数的因式也是公因式。
☑ 典型例题 4
题目： 下列分式是最简分式的是（ ）
A. 84a B. 1x−y C. x−yx2−y2 D. x2−xx
解析： A可约分为 2a；C = 1x+y；D = x−1；B中分子分母无公因式，是最简分式。
答案： B
☑ 知识总结表
核心考点 ·5大典型考点精讲
【考点1】分式的定义（第1–7题）
判断分式：看分母中是否含有字母（π 不是字母）。
分式有意义：分母 ≠0。
分式值为0：分子为0且分母不为0。
规律类分式：观察符号、分子、分母的指数变化规律。
1．（2026春•宿城区校级期中）下列式子中是分式的是（ ）
A．1πB．x2C．23D．2x+1
【分析】根据分式的定义选择．
【解答】解：分母中含有字母的式子是分式，只有2x+1是分式，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2026春•新安县期中）在1b，x+3yπ，3x+y，56+x，x7+y8分式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式．
【解答】解：根据：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行判断如下：
1b，其中A＝1，B＝b，B是含有字母的整式，且b≠0，符合分式定义，所以1b是分式；
x+3yπ，因为π是一个常数（圆周率），不是字母，所以x+3yπ是整式，不是分式；
3x+y，A＝3，B＝x+y，B是含有字母的整式，且x+y≠0，符合分式定义，所以3x+y是分式；
56+x，A＝5，B＝6+x，B是含有字母的整式，且6+x≠0，符合分式定义，所以56+x是分式；
x7+y8，它是整式x7与y8的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
3．（2025秋•延庆区期末）一组按照规律排列的分式：−b3a，b5a2，−b7a3，b9a4，…（a≠0，b≠0），则第9个分式是（ ）
A．b18a9B．−b18a9C．b19a9D．−b19a9
【分析】观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正…，b的指数为奇数序列3，5，7，9，…，a的指数为1，2，3，4，…，归纳出第n项公式，再代入n＝9计算即可．
【解答】解：观察分式的规律可知：第n个分式为(−1)n⋅b2n+1an，
∴当n＝9时，第9个分式为(−1)9⋅b2×9+1a9=−b19a9．
故选：D．
【点评】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．
4．（2023春•佛山期末）从整式2400，x2，2x﹣y中任意选取两个分别作为分子和分母，则能构成分式的个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】要组成分式，需选取作分母的整式中含有字母．
【解答】解：2400x2、24002x−y、x22x−y、2x−yx2．
这样不同的分式一共有4种，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
5．（2026•海口开学）已知A⋅m+2n2=mn（其中n≠0，m≠﹣2），则A表示的分式是 mnm+2 ．
【分析】利用等式的性质表示A，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到A的表达式．
【解答】解：根据等式的性质，得A=mn÷m+2n2，
∴A=mn×n2m+2，
解得A=mnm+2．
【点评】根据分式的定义可得，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（2022春•同步）分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成 AB 的形式．如果除式B中含有 字母 ，那么称AB为 分式 ，其中A称为分式的 分子 ，B称为分式的 分母 ，对于任意一个分式，分母都不能为 0 ．
【分析】根据分式的定义即可得出答案．
【解答】解：分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成AB的形式．如果除式B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为0．
故答案为：AB，字母，分式，分子，分母，0．
【点评】本题考查了分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
7．（2007•杭州）给定下面一列分式：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
【分析】根据题中所给的式子找出规律，根据此规律找出所求式子．
【解答】解：（1）−x5y2÷x3y=−x2y；x7y3÷（−x5y2）=−x2y⋯规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y；
（2）∵由式子：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…，发现分母上是y1，y2，y3，…故第7个式子分母上是y7，分子上是x3，
x5，x7，故第7个式子是x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，
∴第7个分式应该是x15y7．
【点评】本题是找规律性的题目，需要同学们认真读题发现规律，利用规律．
【考点2】分式的基本性质（第8–18题）
分子分母同乘或同除一个非零整式，分式值不变。
符号法则：分子、分母、分式本身，改变其中两个符号，值不变。
利用性质进行变形时，注意所乘（除）的整式不能为0。
整体代入法：将已知条件整体代入化简后的式子。
8．（2026•石家庄校级一模）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A．x+1y+1=xyB．−xx−y=−xy−x
C．x2y2=xyD．xyy2=xy
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断．
【解答】解：A、x+1y+1≠xy原变形错误，故本选项不符合题意；
B、−xx−y=−xx−y≠−xy−x原变形错误，故本选项不符合题意；
C、x2y2≠xy原变形错误，故本选项不符合题意；
D、xyy2=xy原变形正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是关键．
9．（2026春•汝阳县期中）将分式2xyx+y中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．保持不变D．缩小为原来的16
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
【解答】解：2×3x×3y3x+3y=9×2xy3(x+y)=3×2xyx+y，
∴该分式的值扩大为原来的3倍，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．（2025秋•南开区期末）若a≠b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a+3b+3=abB．a−3b−3=abC．3a3b=abD．a2b2=ab
【分析】可以用特殊值法去判断．
【解答】解：当a＝2，b＝5时，分别代入A，B，C，D验证，
a+3b+3=58≠25≠ab，故A选项错误；
a−3b−3=−12≠25≠ab，故B选项错误；
3a3b=ab，故C选项正确；
a2b2=425≠25≠ab，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以不等于0的数分式的值不变．熟悉分式的性质是解题关键．
11．（2025•兰山区开学）根据图中的信息判断，下列等式不成立的是（ ）
A．a：c＝d：bB．a：d＝c：bC．ab=cdD．bc=da
【分析】根据四边形的面积得出ab＝cd，再根据比的性质一一验证与题意是否一致即可得出答案．
【解答】解：根据四边形面积可知：ab＝cd，
A．由a：c＝d：b可得出ab＝cd，正确，不符合题意；
B．由a：d＝c：b可得出ab＝cd，正确，不符合题意；
C．由ab=cd可得出ad＝cb，和题意不符，符合题意；
D．由bc=da可得出ab＝cd，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了四边形的面积以及比的性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．
12．（2025春•蜀山区校级期末）若分式A2x2+y2中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A．3B．3x2+3C．3x+2yD．2xy
【分析】当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可．
【解答】解：原分式为A2x2+y2，当x和y扩大为原来的3倍时，分母变为2（3x）2+（3y）2＝9（2x2+y2）．此时分式变为A′9(2x2+y2)．要使分式的值不变，需满足A2x2+y2=A′9(2x2+y2)，即A′＝9A．
A：A＝3，扩大后仍为3，不满足A′＝9A．不符合题意；
B：A＝3x2+3，扩大后为3（3x）2+3＝27x2+3，而9A＝27x2+27，不相等，不符合题意；
C：A＝3x+2y，扩大后为9x+6y，而9A＝27x+18y，不相等，不符合题意；
D：A＝2xy，扩大后为2•3x•3y＝18xy，而9A＝18xy，相等，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2025秋•奉贤区期末）若M=x−2x，当0＜x＜2时，M ＜ 0（选填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案．
【解答】解：∵x﹣2＜0，
∴x−2x＜0，
∴M＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．
14．（2025春•大荔县期末）若？c2+7c=1c+7，则“？”所代表的分子是c ．
【分析】将式子变形为？c(c+7)=1c+7，结合分式的基本性质即可得解．
【解答】解：由条件可知？c(c+7)=1c+7，
∴？＝c，
故答案为：c．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
15．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：2x+13y56x−y=(ㅤㅤ)5x−6y，括号内的式子为 12x+2y ．
【分析】根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论．
【解答】解：2x+13y56x−y=6(2x+13y)6(56x−y)=12x+2y5x−6y．
故答案为：12x+2y．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
16．（2023秋•天元区期末）已知x2=y3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= 34 ．
【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值．
【解答】解：设x2=y3=z4=k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则2x+y−z3x−2y+z=4k+3k−4k6k−6k+4k=3k4k=34．
故答案为34．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，设出常数是解题的关键．
17．（2021春•单元）已知1x−1y=4，则x−2xy−y2x+7xy−2y的值为 6 ．
【分析】由1x−1y=4，得y﹣x＝4xy，即x﹣y＝﹣4xy，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由1x−1y=4，
得y﹣x＝4xy，即x﹣y＝﹣4xy，
则x−2xy−y2x+7xy−2y=(x−y)−2xy2(x−y)+7xy=−4xy−2xy−8xy+7xy=6．
故答案为6．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
18．（2012春•白塔区校级期末）若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f= 34 ；若x−2yy=23，则xy= 83 ．
【分析】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可；
（2）将已知条件变换即可得．
【解答】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：a+c+eb+d+f=3x+3y+3z4x+4y+4z=34；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以xy=83．
故答案为34、83．
【点评】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
【考点3】约分（第19–26题）
先分解因式，再找公因式。
公因式包括系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。
注意互为相反数的因式，可化为相同因式。
约分后要检查是否化为最简分式或整式。
19．（2025•唐山校级二模）小明化简分式∗x2−1=x+1x−1时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解答】解：∵∗x2−1=x+1x−1，
∴∗(x−1)(x+1)=(x+1)2(x+1)(x−1)=x2+2x+1x2−1，
故*部分的式子应该是x2+2x+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
20．（2025秋•唐山期中）化简2x2y+2xy26x2y2=x+y()，括号内应填（ ）
A．6xyB．3yC．3xyD．3x
【分析】先把分子分解因式，再约去公因式即可．
【解答】解：2x2y+2xy26x2y2
=2xy(x+y)6x2y2
=x+y3xy
∴括号内应填3xy．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的约分，熟练掌握因式分解是关键．
21．（2026春•新津区校级期中）化简：x2−4y2x2−4xy+4y2= x+2yx−2y ．
【分析】先把分子分母分解因式，然后进行约分就可以．
【解答】解：原式=(x−2y)(x+2y)(x−2y)2=x+2yx−2y．
【点评】约分的依据是分式的基本性质，注意在分子、分母能分解因式时应先分解因式．
22．（2023秋•阳谷县校级月考）①如果a2=b3，那么aa+b= 25 ；
②约分：−18xy27x2y2= −23xy ．
【分析】（1）根据分式的性质解答即可；
（2）根据分式的性质解答即可．
【解答】解：①∵a2=b3，
∴b=32a，
∴aa+b=aa+32a=25；
②−18xy27x2y2=−23xy，
故答案为：①25；②−23xy．
【点评】本题考查了分式化简求值，分式约分，利用分式的基本性质求解是解题关键．
23．（2022秋•丰顺县月考）把分式1−2m+m2(m+2)(m−1)约分得到的结果是 m−1m+2 ．
【分析】先把分子分解因式，然后约分即可．
【解答】解：原式=(m−1)2(m+2)(m−1)=m−1m+2，
故答案为：m−1m+2．
【点评】本题考查了分式的约分，当分子与分母是多项式时，关键是把分子分母进行因式分解．
24．（2021秋•柘城县期末）当1＜x＜2，化简|x−1|1−x+|x−2|x−2的值是 ﹣2 ．
【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果．
【解答】解：因为1＜x＜2，
所以|x−1|1−x+|x−2|x−2=x−11−x+2−xx−2=−1−1=−2，
故答案为：﹣2
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地化简式子，比较简单．
25．（2025秋•同步）把下列分式约分：
（1）9x2−6x+13x2−x；
（2）4x2−2x4x2−1；
（3）x2−10x+253x2−75；
（4）2a2−8a2+4a+4．
【分析】直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）9x2−6x+13x2−x=(3x−1)2x(3x−1)=3x−1x；
（2）4x2−2x4x2−1=2x(2x−1)(2x+1)(2x−1)=2x2x+1；
（3）x2−10x+253x2−75=(x−5)23(x+5)(x−5)=x−53(x+5)；
（4）2a2−8a2+4a+4=2(a+2)(a−2)(a+2)2=2(a−2)a+2．
【点评】此题考查了约分，用到的知识点是因式分解、分式的基本性质，在约分时要注意符号的变化．
26．（2024秋•玉田县校级期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：4x2−8xx−2=4x(x−2)x−2=4x，则称分式4x2−8xx−2是“好分式”，4x为它的“好整式”．
（1）若分式x2−4x+mx+n（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为x﹣7，求m，n的值；
（2）若“好分式”−2x3+2xA的“好整式”为1﹣x，请判断2x3+4x2+2xA是否是“好分式”，并说明理由．
【分析】（1）根据“好分式”的定义，得到关于（x+n）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的恒等式，求解即可；
（2）根据给出的“好分式”的定义可得A；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵分式是一个“好分式”，它的“好整式”为x﹣7，
∴（x+n）（x﹣7）＝x2﹣4x+m，
∴x2+（n﹣7）x﹣7n＝x2﹣4x+m，
∴n−7=−4−7n=m，
解得：m=−21n=3；
（2）∵分式−2x3+2xA的“好整式”为1﹣x．
∴A=−2x3+2x1−x，
∴A=2x(1−x2)1−x=2x(1−x)(1+x)1−x=2x(1+x)=2x2+2x；
∵2x3+4x2+2x2x2+2x=2x(x2+2x+1)2x(x+1)=(x+1)2(x+1)=x+1，
又x+1是整式，
∴2x3+4x2+2xA是“好分式”．
【点评】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义．
【考点4】最简分式（第27–32题）
将分子、分母分别分解因式。
检查是否有公因式（包括互为相反数的因式）。
无公因式即为最简分式。
注意：单独一个整式不是分式。
27．（2026春•天桥区期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A．84aB．1x−y
C．x−yx2−y2D．x2−xx
【分析】根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分．
【解答】解：A、84a=2a，故不是最简分式，不符合题意；
B、1x−y是最简分式，符合题意；
C、x−yx2−y2=1x+y，故不是最简分式，不符合题意；
D、x2−xx=x﹣1，故不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简分式，熟练掌握该知识点是关键．
28．（2026春•晋江市期中）下列分式中，最简分式的是（ ）
A．24aB．aab+aC．x+1x2−1D．x−1x2+1
【分析】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断．
【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下：
∵A：24a，分子分母有公因式2，可约分为12a，不是最简分式，不符合题意；
B：aab+a= aa(b+1)，分子分母有公因式a，可约分为1b+1，不是最简分式，不符合题意；
C：x+1x2−1 =x+1(x−1)(x+1)，分子分母有公因式x+1，可约分为1x−1，不是最简分式，不符合题意；
D：x−1x2+1，分母x2+1在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式的判断，熟练掌握该知识点是关键．
29．（2025秋•兰山区期末）下列各式中：①x+yx2+2xy+y2；②(a−b)2(b−a)3；③x+yx2+y2；④m+n5π；⑤5x+1x2，是分式并且属于最简分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可．
【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下：
①x+yx2+2xy+y2=x+y(x+y)2=1x+y，不是最简分式；
②(a−b)2(b−a)3=(a−b)2−(a−b)3=−1a−b，不是最简分式；
③x+yx2+y2，分子x+y与分母x2+y2无公因式，是最简分式；
④m+n5π，分母5π是常数，无变量，不是分式；
⑤5x+1x2，分子5x+1与分母x2无公因式，是最简分式；
综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，最简分式的判断．熟练掌握以上知识点是关键．
30．（2024春•青神县期中）下列分式中：b2a；a+bab+a；a4−b4a2+b2；m2−8m64−m2，其中最简分式有 2 个．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：分式b2a；a+bab+a；a4−b4a2+b2；m2−8m64−m2，其中最简分式是b2a，a+bab+a，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
31．把下列分式化为最简分式．
（1）x2−4y2x2−5xy+6y2= x+2yx−3y ；
（2）(m+n)(p−s)2(m+n)2(s−p)= s−pm+n ．
【分析】（1）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
（2）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
【解答】解：（1）x2−4y2x2−5xy+6y2=(x+2y)(x−2y)(x−2y)(x−3y)=x+2yx−3y；
（2）(m+n)(p−s)2(m+n)2(s−p)=s−pm+n．
故答案为：（1）x+2yx−3y；（2）s−pm+n．
【点评】本题考查了最简分式，分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行约分是解此题的关键．
32．将下列各式化为最简分式．
（1）(a+b)2−c2a+b+c．
（2）6x2−12x+63x2−3．
（3）x3−x2−x+1x2−1．
（4）(a2−a−2)(12−a−a2)(a2−2a−3)(a2−8+2a)．
【分析】（1）先把分子分解因式，再约分即可；
（2）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
（3）先把分子和分母分解因式，再约分即可；
（4）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
【解答】解：（1）(a+b)2−c2a+b+c
=(a+b+c)(a+b−c)a+b+c
＝a+b﹣c；
（2）6x2−12x+63x2−3
=6(x−1)23(x+1)(x−1)
=2x−2x+1；
（3）x3−x2−x+1x2−1
=x2(x−1)−(x−1)(x+1)(x−1)
=(x−1)2(x+1)(x+1)(x−1)
＝x﹣1；
（4）(a2−a−2)(12−a−a2)(a2−2a−3)(a2−8+2a)
=−(a+1)(a−2)(a−3)(a+4)(a+1)(a−3)(a−2)(a+4)
＝﹣1．
【点评】本题考查了最简分式，分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行约分是解此题的关键．
【考点5】创新及压轴题（第33–35题）
比较大小：利用 1−1n 的形式比较。
设参法：设比值为 k，用 k 表示各变量。
分离常数：将假分式化为整式与真分式的和。
利用分式性质研究变化趋势。
33．（2009•定西）附加题：若a=20072008，b=20082009，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．
【分析】当分子比分母小1时，分子（或分母）越大的数越大．
【解答】解：a、b的特征是分母比分子大1；
∵a=20072008=1−12008，b=20082009=1−12009，
∴a＜b，
∴当分子比分母小1时，分子（或分母）越大的数越大．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质以及有理数的大小的比较．
34．（2013秋•同步）已知x3=y4=z5，求xy+yz+zxx2+y2+z2的值．
【分析】可以设x3=y4=z5=k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值．
【解答】解：设x3=y4=z5=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴xy+yz+zxx2+y2+z2=3k⋅4k+4k⋅5k+5k⋅3k(3k)2+(4k)2+(5k)2=47k250k2=4750．
【点评】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．
35．（2024秋•长宁区期末）阅读理解
材料：为了研究分式1x与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：2x+1x−4=2x−8+8+1x−4=2x−8x−4+8+1x−4=2+9x−4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 减小 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x−1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式5x−2x−3值的范围．
【分析】（1）由1x、2x的变化情况，判断1+1x、1+2x的变化情况即可；
（2）由2x+2x−1=2+4x−1，即可求解；
（3）由5x−2x−3=2+4x−1，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时1x随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+1x的值减小；
∵当x＜0时2x随着x的增大而减小，
∵x+2x=1+2x，
∴随着x的增大，x+2x的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵2x+2x−1=2(x−1)+4x−1=2+4x−1，
∵当x＞1时，4x−1的值无限接近0，
∴2x+2x−1的值无限接近2；
（3）∵5x−2x−3=5(x−3)+13x−3=5+13x−3，
又∵0≤x≤2，
∴﹣13≤13x−3≤−133，
∴﹣8≤5x−2x−3≤23．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1： 最简分式判断
练习2： 分式符号变形
练习3： 分式个数判断
练习4： 分式乘法化简
练习5： 比例求值
【练习1】下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．2xx2−1B．63xC．x+1x2−1D．1−xx−1
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、2xx2−1是最简分式，正确；
B、63x=2x不是最简分式，错误；
C、x+1x2−1=1x−1不是最简分式，错误；
D、1−xx−1=−1不是最简分式，错误；
故选：A．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【练习2】下列各式错误的有（ ）
①−a−bc−d=−a+b−c+d；②−a−bc+d=a+bc+d；③−a−bc−d=a+b−c−d；④−a−bc−d=−−a−bc+d
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】观察各式子的特点，看改变了分子、分母还是本身的符号．
【解答】解：①改变了分子、分母和本身的符号，错误；
②改变了分子的符号，错误；
③改变了分子和分母中一个字母的符号，错误；
④改变了分数本身和分母中一个字母的符号，错误．
故选：D．
【点评】分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
【练习3】（2012春•于都县校级期中）下列各式中，分式的个数是（ ）
2x， a+2b2， a+bπ， a+1a， (x−1)(x+2)x+2， a+bb．
A．2B．3C．4D．5
【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：a+2b2，a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
a+bb的分子不是整式，因此不是分式．
2x，a+1a，(x−1)(x+2)x+2的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．注意π不是字母，是常数，所以a+bπ不是分式，是整式．
【练习4】填空：
（1）2m(−n)3•3n54m2=()(−n)3⋅4m2=6mn5()= −3n22m ；
（2）ca•ab2c4•1a2b3=ca()•ab2c4•1a2b3=()a2b3c4= 1c3 ．
【分析】（1）根据分式的乘法运算法则化简即可；
（2）根据分式的乘法运算法则化简即可．
【解答】解：（1）2m(−n)3•3n54m2=6mn5(−n)3⋅4m2=6mn5−4n3m2=3n2−2m=−3n22m；
（2）ca•ab2c4•1a2b3=ca1⋅ab2c4⋅1a2b3=a2b2ca2b3c4=1c3，
故答案为：−3n22m；1c3．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
【练习5】若x5=y4=z3，且xyz≠0，则
x+y+zy+z的值为
127 ．
x5=y4=z3，且xyz≠0，则x+y+zy+z的值为 127 ．
【分析】本题中可设x＝5k，y＝4k，z＝3k，因此x+y+z＝12k，y+z＝7k．代入求出x+y+zy+z的值．
【解答】解：设x＝5k，y＝4k，z＝3k，
∵x+y+z＝12k，y+z＝7k，
∴x+y+zy+z=127．
故答案为127．
【点评】本题可根据分式的基本性质，先设未知数，然后表示出x，y，z，再计算所要求的值．
课后巩固 · 针对性练习
作业1： 最简分式个数
作业2： 系数化整数
作业3： 分式个数判断
作业4： 分式值为整数
作业5： 分式求值
作业6： 分式识别
作业7： 分式基本性质
作业8： 规律类分式
作业9： 约分计算
作业10： 设参法求值
❤ 复习建议
准确理解分式定义： 分母中含有字母是核心，注意 π 是常数不是字母。
灵活运用基本性质： 分式的分子分母同乘或同除一个非零整式，值不变，注意符号法则。
约分要彻底： 先分解因式，再找公因式，约分后检查是否为最简分式。
最简分式判断： 分子分母无公因式，注意互为相反数的因式也是公因式。
综合题策略： 设参法、分离常数法、整体代入法，灵活运用分式性质。
【作业1】（2018秋•泰山区期中）下列分式−6xy3x，
y2−x2x−y，
x2+y2x+y，
xy+x2x+4x2y，
x2−1x2+2x+1，其中最简分式的个数是（ ）
−6xy3x，y2−x2x−y，x2+y2x+y，xy+x2x+4x2y，x2−1x2+2x+1，其中最简分式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简分式的定义分别对每个分式进行分析即可．
【解答】解：−6xy3x=−2y，y2−x2x−y=−x﹣y，xy+x2x+4x2y=y+12+4xy，x2−1x2+2x+1=x−1x+1，都不是最简分式，故错误；
x2+y2x+y是最简分式，故正确；
故选：A．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【作业2】（2014•射阳县校级模拟）不改变分式0.2x+12+0.5x的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（ ）
0.2x+12+0.5x的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（ ）
A．2x+12+5xB．x+54+x
C．2x+1020+5xD．2x+12+x
【分析】因为要求不改变分式的值，把0.2x+12+0.5x的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
【解答】解：∵不改变分式0.2x+12+0.5x的值，
∴把0.2x+12+0.5x的分子分母的各项系数都乘以10得：2x+1020+5x．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：AB=A⋅mB⋅m，AB=A÷mB÷m（其中m≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
【作业3】（2020秋•道里区校级月考）在代数式1m，
14，
2π−1，
2x+y，a
+2a3，
4abc3中，分式的个数是（ ）
1m，14，2π−1，2x+y，a+2a3，4abc3中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么数字AB（B≠0）叫做分式，由此即可判断．
【解答】解：14，2π−1，a+2a3，4abc3是整式，1m，2x+y是分式，
∴分式的个数是2个．
故选：A．
【点评】本题考查分式，关键是掌握分式的定义．
【作业4】（2018秋•潍坊期末）已知x为整数，且分式2x−2x2−1的值为整数，满足条件的整数x的个数有（ ）
x为整数，且分式2x−2x2−1的值为整数，满足条件的整数x的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先化简得到原式=2x+1，然后利用整数的整除性得到2只能被﹣1，1，﹣2，2这几个整数整除，从而得到x的值．
【解答】解：∵原式=2(x−1)(x+1)(x−1)=2x+1，
∴x+1为±1，±2时，2x+1的值为整数，
∵x2﹣1≠0，
∴x≠±1，
∴x为﹣2，0，﹣3，个数有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式，通过计算得到对应的分式的值．
【作业5】（2025秋•虹口区校级月考）分式0.1xy2−+0.1y2的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为
−15−212或
−15+212 ．
0.1xy2−+0.1y2的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为 −15−212或−15+212 ．
【分析】将分式进行分子，分母同乘10，进行化简，分式值不变，再对分式进行整理，得出y＝4x，求出x，y 的值．
【解答】解：将分式分子，分母同时乘10得到分式的值不变，
∴xy2−3yxy+y2=0.2=15，
∵xy＝2，
2y−3y2+y2=15，
∴﹣5y＝1+y2，
∴y2+5y+1＝0，
解得y=−5±212，
∵xy＝2，
当y=−5+212时，
∴x＝﹣5−21，
∴x+y=−15−212，
当y=−5−212，
x＝﹣5+21，
∴x+y=−15+212，
故答案为：−15+212或−15−212．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键．
【作业6】（2024秋•泰山区期中）下列各式中：3x﹣4，x2﹣1，b−5a+1，
x(y+z)6，0，
x2−2xy+y22x+1，
7a+c，其中分式共有 3 个．
x﹣4，x2﹣1，b−5a+1，x(y+z)6，0，x2−2xy+y22x+1，7a+c，其中分式共有 3 个．
【分析】根据分式的定义，形如AB，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【解答】解：题目所有式子中，分式有b−5a+1，x2−2xy+y22x+1，7a+c共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查分式的判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫分式．
【作业7】（2023秋•定西期末）已知分式2aa+b=3，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 3 ．（填数字）
2aa+b=3，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 3 ．（填数字）
【分析】将a和b分别扩大到原来的5倍后再进行计算即可．
【解答】解：2×5a5a+5b=2×5a5(a+b)=2aa+b=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练地利用它进行相关分式的计算是解题的关键．
【作业8】（2024秋•东昌府区期中）观察下面一列分式：−1x，2x2，−4x3，8x4，−16x5，⋯，根据规律，它的第n项是
(−1)n2n−1xn ．
−1x，2x2，−4x3，8x4，−16x5，⋯，根据规律，它的第n项是 (−1)n2n−1xn ．
【分析】先根据所给的分式找出规律，即可得出第n项的表达式．
【解答】解：第一个是：−1x=(−1)121−1x1；
第二个是：2x2=(−1)222−1x2；
第三个是：−4x3=(−1)323−1x3，
…，
故第n项是：(−1)n2n−1xn．
故答案为：(−1)n2n−1xn．
【点评】本题考查的是分式的定义，根据题意找出规律是解答此题的关键．
【作业9】（2025秋•同步）将下列分式约分：
（1）3x2−12x2−4x+4；
（2）x2−3x−x2+6x−9；
（3）2a2−8ab+8b22a2−8b2；
（4）4b−10a25a2−20ab+4b2．
【分析】（1）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案；
（2）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
（3）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案；
（4）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）原式=3(x+2)(x−2)(x−2)2
=3x+6x−2；
（2）原式=x(x−3)−(x−3)2
=−xx−3；
（3）原式=2(a−2b)22(a+2b)(a−2b)
=a−2ba+2b；
（4）原式=−2(5a−2b)(5a−2b)2
=−25a−2b．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质和因式分解是解题关键．
【作业10】（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x+y+z≠0，求x+y−zx+y+z的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设y+zx=x+zy=x+yz=k，
则：y+z=kx(1)x+z=ky(2)x+y=kz(3)，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式=2z−z2z+z=z3z=13．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．核心概念
定义/性质
注意事项
分式的定义
AB，B 中含字母
分母 B≠0，π 不是字母
分式基本性质
AB=A⋅MB⋅M
M≠0
约分
约去分子、分母的公因式
依据是分式基本性质
最简分式
分子、分母无公因式
需先因式分解再判断
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
1x
…
﹣0.25
﹣0.3⋅
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.3⋅
0.25
…