专题13.2 分式的运算【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

这是一份专题13.2 分式的运算【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册，共7页。学案主要包含了作业10等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
掌握分式乘除的运算法则，能熟练进行分式的乘除运算。
理解通分的概念，能确定最简公分母并进行通分。
掌握分式加减的运算法则，能进行异分母分式的加减运算。
理解负整数指数幂的意义，能进行整数指数幂的运算。
能运用分式运算解决新定义、分离常数等综合问题，提升代数推理能力。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 分式的乘除法则
乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 ab⋅cd=acbd。
除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ab÷cd=ab⋅dc=adbc。
运算结果应化为最简分式或整式。
分子、分母是多项式时，先分解因式再约分。
☑ 典型例题 1
题目： 计算 a2−4a2+6a+9⋅a+3a+2 的结果是（ ）
A. a−2a+3 B. 1a+3 C. a+2a+3 D. a−2a−3
解析： 原式 =a+2a−2a+32⋅a+3a+2=a−2a+3。
答案： A
☆ 2. 通分
定义： 把几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做通分。
关键：确定各分母的最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积）。
通分的依据：分式的基本性质。
☑ 典型例题 2
题目： 将分式 aa2−1 与 12a−2 通分时，需将 12a−2 的分子、分母同时乘以（ ）
A. a+1 B. a−1 C. 2 D. 2a+1
解析： a2−1=a+1a−1，2a−2=2a−1，最简公分母为 2a+1a−1，故 12a−2 需乘以 a+1。
答案： A
☆ 3. 分式的加减法则
同分母加减： 分母不变，把分子相加减，即 ac±bc=a±bc。
异分母加减： 先通分，变为同分母分式，再加减，即 ab±cd=ad±bcbd。
结果要约分，化为最简分式或整式。
注意符号，特别是减号后面加括号。
☑ 典型例题 3
题目： 计算 1a−1−2a2−1 的结果等于（ ）
A. a+2a2−1 B. 1a−1 C. 1 D. 1a+1
解析： 原式 =a+1a−1a+1−2a−1a+1=a−1a−1a+1=1a+1。
答案： D
☆ 4. 整数指数幂
负整数指数幂： a−n=1an（a≠0，n 为正整数）。
零指数幂：a0=1（a≠0）。
幂的运算法则对整数指数幂同样适用。
☑ 典型例题 4
题目： 计算 −2−2 的结果是（ ）
A. −14 B. 14 C. −4 D. 4
解析： −2−2=1−22=14。
答案： B
☆ 5. 分式的混合运算与技巧
分式混合运算顺序与分数类似：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。
常用技巧：分离常数法（将假分式化为整式与真分式之和）。
整体换元、拆项法等。
☑ 典型例题 5
题目： 将分式 x2+2x+3 化为整式与真分式的和的形式为（ ）
A. x−3+11x+3 B. x+3−11x+3 C. x−3−11x+3 D. x+3+11x+3
解析： x2+2x+3=x+3x−3+11x+3=x−3+11x+3。
答案： A
☆ 知识总结表
核心考点 ·5大典型考点精讲
【考点1】分式的乘除（第1–8题）
乘法直接乘，除法变为乘以倒数。
分子分母为多项式时，先分解因式再约分。
注意符号处理。
1．（2025•栾城区校级模拟）化简分式x3−xx2−2x+1×（ ）的结果为单项式，则“（ ）”上填的式子可以是（ ）
A．x−1xB．x−1x+1C．x+1x−1D．xx−1
2．（2025秋•祁阳市校级期末）若x2+1x−1÷x3+x□的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．1x2−1B．x2﹣1C．x2﹣xD．x﹣1
3．（2025春•甘孜州期末）计算a+1a2÷1a2的结果是（ ）
A．a+1a4B．1a+1C．1aD．a+1
4．（2025春•永靖县校级月考）计算1+aa2⋅aa+1的结果是（ ）
A．1a2B．a+1aC．−1aD．1a
5．（2025春•济南期末）a2−4a2+6a+9⋅a+3a+2的结果是（ ）
A．a−2a+3B．1a+3C．a+2a+3D．a−2a−3
6．（2025秋•普陀区月考）计算：2a(x−y)9b⋅3b3a2(y−x)2= ．
7．（2025春•鲤城区校级期中）计算：x2y÷(−yx)⋅(yx)2= ．
8．（2025秋•曲靖期末）计算：
（1）(a2b−cd3)3÷2ad3⋅(c2a)2；
（2）a−1a2−4a+4÷a2−1a2−4．
【考点2】通分（第9–13题）
找出各分母的最简公分母。
通分时分子分母同乘适当的整式。
注意因式分解的准确性。
9．（2025秋•路南区月考）化简4m−m2m2−8m+16
=m(4−m)(4−m)2⋯①
=m4−m⋯②
其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ）
A．①是整式乘法；②是通分
B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分
D．①是整式乘法；②是约分
10．（2026春•霍州市月考）将分式aa2−1，12a−2通分时，需要把12a−2的分子、分母同时乘以 ．
11．（2025春•单元）a−1a2+2a+1与51−a2通分后的结果是 ．
12．将分式y2x，13y2，14xy通分，分母所乘的单项式依次为 ．
13．（2017春•仪征市校级同步）通分
①12x，13x；
②a(a+1)(a+2)，2(a+1)2；
③3a2−1，a−1(a+1)2−4．
【考点3】分式的加减（第14–23题）
同分母直接加减，异分母先通分。
结果要化为最简分式。
整体代入、完全平方公式等技巧。
14．（2026•河西区一模）计算1a−1−2a2−1的结果等于（ ）
A．a+2a2−1B．1a−1C．1D．1a+1
15．（2026•西青区一模）计算ba+ab的结果是（ ）
A．1B．a+babC．aba+bD．a2+b2ab
16．（2026•北辰区一模）计算3aa−1+31−a的结果是（ ）
A．3B．aC．aa−1D．3a2−1
17．（2025秋•碧江区 校级月考）若4x−1(x+2)(x−1)=mx+2+nx−1，则（ ）
A．m＝4，n＝﹣4B．m＝3，n＝1C．m＝5，n＝﹣1D．m＝4，n＝1
18．（2025•邯郸二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（ ）
A．x2−4x+2x−1B．x2
C．x2x−1D．2x﹣1
19．（2026•咸宁模拟）化简：x2x−3+6x−93−x= ．
20．（2026春•锦江区校级期中）已知1x+1y=3，1x2+1y2=8，则xy＝ ．
21．（2025秋•鹿泉区期末）已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab= ．
22．（2025秋•下陆区期末）已知2x2﹣3x﹣2＝0．则x2+1x2= ．
23．（2026春•盐城期中）根据以下素材，探索完成任务．
问题解决：
（1）已知分式A=x−5x+2，B=2x+11x+2，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出．
（2）已知分式C=2x−1x+4，D=Mx2−16，若C与D互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”k的值，求代数式M（用含x的式子表示）．
（3）已知分式E=ax−4x−1，F=x+bx2−2x+1（a，b为常数），若E与F互为和定分式”，则a＝ ，b＝ ．
【考点4】整数指数幂（第24–32题）
负指数化为正指数的倒数。
零指数幂为1（底数非零）。
幂的运算法则适用于整数指数。
24．（2026•仪陇县模拟）计算（﹣2）﹣2的结果是（ ）
A．−14B．14C．﹣4D．4
25．（2025秋•平泉市期末）计算2﹣3的结果为（ ）
A．18B．6C．16D．8
26．（2025秋•徐汇区校级月考）化简（x+y﹣1）﹣1为（ ）
A．1x+yB．x+1yC．yxy+1D．xxy+1
27．计算29×2−829−28的结果为（ ）
A．2﹣7B．27C．﹣48D．﹣4﹣8
28．（2026春•榆树市期中）将3a2(x−y)写成不含分母的形式： ．
29．（2025秋•长沙期末）计算x﹣2y3（x2y﹣2）﹣3＝ ．
30．（2025春•鲤城区校级期中）计算：(−2)3+(2024−π)0−(−13)−2．
31．（2025秋•杨浦区期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
32．（2025春•单元）（1）你发现了吗？
（23）2=23×23，（23）﹣2=1(23)2=123×123=32×32，由上述计算，我们发现（23）2 （32）﹣2．
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（54）3与（45）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现：（ba）﹣m （ab）m（ab≠0）．
（4）计算：（715）﹣2•（75）2．
【考点5】创新及压轴题（第33–35题）
新定义题：理解定义，转化为常规运算。
分离常数法：将假分式拆分成整式与真分式之和。
拆分法：将复杂分式拆成简单分式的和差。
33．（2026春•大邑县期末）在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如12×3=12−13，52×3=12+13．
类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如1x(x+1)=1x−1x+1，仿照上述方法，若分式3xx2−x−2可以拆分成Ax+1+Bx−2的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝ ．
34．（2025春•英德市期末）（1）已知b＞a＞0，分式ab的分子分母都加上1，说明所得分式a+1b+1的值是增大了还是减少了？
（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？
②谁的购买方式平均单价较低？
35．（2025春•二七区校级期中）阅读下面材料，并解答问题．
将分式x4+x2−3x2−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴a−1=1−a+b=−3，∴a=2b=−1
∴x4+x2−3x2−1=(x2−1)(x2+2)−1x2−1=(x2−1)(x2+2)x2−1−1x2−1=（x2+2）−1x2−1
这样，分式x4+x2−3x2−1被拆分成了一个整式x2+2与一个分式−1x2−1的和．
根据上述作法，将分式x4+6x2−8x2−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
随堂检测 · 精选练习
练习1： 幂的运算判断
练习2： 分式加减
练习3： 分式化简
练习4： 分式加减综合
练习5： 假分式化整式
【练习1】（2025秋•普陀区月考）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（﹣2a）3＝﹣6a3
C．3a−2=13a2D．（﹣a）3•（﹣a）4＝﹣a7
【练习2】（2025秋•天津期末）计算mm2−n2−1m−n的结果是（ ）
A．m−nm+nB．m−1m2−n2
C．nm2−n2D．−nm2−n2
【练习3】（2026•金华模拟）化简：1+x2x−1+2xx−1= ．
【练习4】（2025春•西湖区校级同步）（1）ba−b+1a
（2）x2+xyxy−x2−xyxy
（3）(a−2b)2ab−(a+2b)2ab
（4）x2−y(x−3)2−9−y(3−x)2
（5）a2−1a2−2a+4a−52a−a2
（6）12m2−9−2m−2
（7）x2+9xx2+3x+x2−9x2+6x+9
（8）x+2x2−2x−x−1x2−4x+4
（9）x2x−1−x﹣1．
【练习5】（2025春•方城县月考）对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像x+1x−2，x2x+2，…，这样的分式是假分式，像1x−2，xx2−1，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2；x2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x−2+4x+2．
（1）将分式x2+2x+3化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）；
（2）如果分式2x2+5x−20x−3的值为整数，求x的整数值．
课后巩固 · 针对性练习
作业1： 分式加减
作业2： 比例求值
作业3： 分式乘除
作业4： 完全平方公式与分式
作业5： 负指数幂有意义
作业6： 负指数幂比较大小
作业7： 通分
作业8： 分式加法求系数
作业9： 差整分式新定义
作业10： 分离常数法
❤ 复习建议
熟练掌握运算法则： 分式乘除、加减的法则要记牢，注意符号和约分。
通分与约分是基础： 通分时要准确找到最简公分母，约分时要彻底。
负整数指数幂要灵活运用： 注意底数不为0，可与其他运算结合。
分离常数法技巧： 将假分式化为整式与真分式之和，便于求值或判断范围。
新定义题多理解： 仔细阅读定义，转化为已学知识，列方程或比较系数。
【作业1】（2026•章丘区模拟）计算3x−2−12x2−4的结果等于（ ）
A．3B．3x−2C．﹣3D．3x+2
【作业2】（2025秋•婺城区月考）已知xy=13，求x+yy的值（ ）
A．14B．34C．43D．4
【作业3】化简a2+aba+b÷aba−b的结果是（ ）
A．a2B．a2a−bC．a−bbD．a+bb
【作业4】（2026•福州校级自主招生）若xy＝a，1x2+1y2=b（b＞0），则（x+y）2的值为（ ）
A．b（ab﹣2）B．a（ab+2）C．a（ab﹣2）D．b（ab+2）
【作业5】（2025春•包河区校级期末）若式子（a﹣2）﹣1有意义，则a的取值范围是 ．
【作业6】（2025秋•怀化期中）若a＝（0.3）2，b＝﹣3﹣2，c=(−13)−2，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）．
【作业7】（2025春•同步）通分：
（1）13xy3，12x2y，19x3y，
（2）1(a+b)2，2−a+b，3a2−b2．
【作业8】（2025秋•文登区校级期中）已知3x−4x2−3x+2=Ax−1+Bx−2，则4A﹣B的值为 ．
【作业9】（2025秋•朔州期末）综合与实践
问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”．例如：分式P=2x+2x+2，Q=xx+2，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k＝1．
探究1：
（1）已知三个分式A=x+2x−1，B=x−4x−1，C=1−4xx−1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”．
探究2：
（2）已知分式M=x−22x−3，N=S4x2−9（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k＝4，求整式S．
探究3：
（3）已知分式M=ax−2x−1，N=4x+bx2−2x+1（a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值．
【作业10】（2026春•扬州期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形．
例如：2x+3x−1=2(x−1)+5x−1=2(x−1)x−1+5x−1=2+5x−1．
我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．
（1）请利用“分离常数法”将分式3x−1x+1变形为m+nx+1（其中m，n为常数），求m，n的值；
（2）若分式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值；
（3）利用分离常数法，请直接写出分式2−3x2x2+1的取值范围．
核心概念
法则/定义
注意事项
分式乘法
分子乘分子，分母乘分母
先分解因式再约分
分式除法
乘除数的倒数
转化为乘法
通分
化成同分母
最简公分母的确定
分式加减
同分母直接加减，异分母先通分
结果要约分
整数指数幂
a−n=1an
底数不为0
分离常数法
假分式化为整式+真分式
构造分母倍式
素材1
定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式P=1m，Q=2m−1m，P+Q=1m+2m−1m=2，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”k＝2．
素材2
分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式1x+1，2xx2+1是真分式．
素材3
如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式xx+1，2x2x+1是假分式．