专题10.3 整式的加减【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解整式加减的运算法则，能熟练进行去括号、合并同类项。
掌握整体代入法求代数式的值，体会整体思想。
能运用整式加减解决图形周长、面积等实际问题。
理解“不含某项”“值与字母无关”等条件，并能列方程求参数。
能处理新定义、正整数等综合问题，提升代数推理能力。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 整式加减的法则
去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“−”号，去括号后各项符号都改变。
合并同类项法则：系数相加，字母及指数不变。
整式加减的实质是去括号、合并同类项。
注意符号，尤其是括号前是负号时，要变号。
※ 典型例题 1
题目：化简：3(-a²b+2ab²) − 2(3ab²−a²b)。
解析：原式 = −3a²b+6ab² − 6ab² + 2a²b = −a²b。
答案：−a²b
☆ 2. 整体思想
在整式加减中，有时将某个式子看作一个整体，可简化运算。常应用于整体代入求值。
把已知条件中的式子作为整体，代入所求代数式。
注意变形技巧，如将 2x²+xy+y² 拆分成已知式的组合。
※ 典型例题 2
题目：已知 x²−xy=4，3xy+y²=3，求 2x²+xy+y² 的值。
解析：2x²+xy+y² = 2(x²−xy) + (3xy+y²) = 2×4 + 3 = 11。
答案：11
☆ 3. 整式加减的应用
用整式表示实际问题中的数量关系，如周长、面积、和差等。常通过图形分析，列代数式并化简。
根据图形中的线段关系，用字母表示未知长度。
利用周长、面积公式，列出整式并化简。
※ 典型例题 3
题目：如图，大长方形的长为 m，宽为 n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），求阴影部分的周长之和。
（图形描述：大长方形内放置6个小长方形，阴影部分为未被覆盖的四个角）
解析：设小长方形长为 a，宽为 b。通过平移，阴影周长可化为大长方形周长与内部线段的关系，最终化简得 6n。
答案：6n
☆ 4. 无关型问题
若整式化简后不含某一项，或与某个字母的取值无关，则该项系数为0。据此可列方程求参数。
先合并同类项，将含参项系数用参数表示。
令指定项的系数为0，解方程。
※ 典型例题 4
题目：已知多项式 (2x²+ax−y+6) − (bx²−2x+5y−1) 的值与 x 的取值无关，求 a、b 的值。
解析：化简得 (2−b)x² + (a+2)x − 6y + 7。与 x 无关，则 2−b=0，a+2=0，解得 b=2，a=−2。
答案：a=−2，b=2
☑ 知识总结表
核心考点 ·5大典型考点精讲
【考点1】整式的加减（第1–5题）
※方法总结
先去括号，再合并同类项。
注意符号，特别是括号前为负号时。
整体代入时，将已知式整体代入。
1．（2026春•沙坪坝区月考）已知x2﹣xy＝4，3xy+y2＝3，则2x2+xy+y2的值是（ ）
A．8B．2C．11D．13
2．（2026•长沙一模）用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（ ）
A．3a−12bB．12(3a−b)C．3a+12bD．3a−b−12
3．（2025秋•左权县期末）下列计算正确的是（ ）
A．5mn﹣mn＝4B．3m2﹣2m2＝m2
C．m﹣（n+2）＝m﹣n+2D．3mn2﹣3m2n＝0
4．（2025秋•马边县期末）若关于x的多项式8x2+nx减去多项式mx2+5x+3其结果为常数项，则m+n的运算结果是（ ）
A．40B．13C．3D．﹣13
5．（2025秋•清苑区期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如表所示的一个多项式，则所捂的多项式为（ ）
A．x2+4x﹣4B．﹣2x2﹣2x﹣2C．x2﹣x﹣2D．﹣x2﹣2x+4
【考点2】算得准不准（第6–11题）
※方法总结
严格按照运算法则计算。
注意乘方、绝对值的优先级。
新定义运算，按定义转化为常规运算。
6．（2026春•昌平区期中）计算：2x+2（7x﹣2y）﹣2（x+6y）．
7．（2026•河西区校级开学）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4．
（1）求﹣3⊕2的值；
（2）先化简，再求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝﹣1，y＝2．
8．（2026•江北区校级开学）计算：
（1）4a﹣3b﹣2（2a+b﹣1）；
（2）−12024−(1−0.5)×13×[2−(−3)2]．
9．（2025秋•山西校级期末）（1）计算：|−13|×9−32+(−12)÷3．
（2）已知A＝2x2﹣xy+2y2，B＝4x2+3xy﹣6y2．求2A﹣B的值．
10．（2025秋•南充校级月考）化简：
（1）3（﹣a2b+2ab2）﹣2（3ab2﹣a2b）；
（2）xy2−[x+12(6y+2xy2)−3x]．
11．（2025秋•成都校级期末）已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2．
（1）求14(B−A)；
（2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式．
【考点3】图形问题（第12–20题）
方法总结：
利用图形中的相等关系表示未知长度。
列出周长、面积代数式并化简。
整体思想在图形中也常用。
12．（2026•青秀区校级模拟）有五张大小相同的长方形卡片（如图①）：现按图②的放法将它们平铺放置在一个长方形（长比宽多2）的纸板上，每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（ ）
A．10a+4bB．14a+4bC．4a+14b﹣8D．14a+4b﹣8
13．（2025秋•上城区期末）如图，图1中的①、②、③、④号图形均为正方形，若按图2的方式将①、②、③号正方形放置在④号正方形中，则要求出没有被三个小正方形覆盖的阴影部分的周长和，则需知道下列哪个正方形的边长（ ）
A．①号B．②号C．③号D．④号
14．（2025秋•余姚市期末）如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形．已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3．若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道小长方形①的周长；
乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差；
丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和；
丁说：只需要知道大长方形的周长；
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确B．甲和乙均正确
C．乙、丙和丁均正确D．甲、丙和丁均正确
15．（2025秋•嵊州市期末）如图所示，在两个形状、大小完全相同的大长方形内分别互不重叠地放入5个如图③的小长方形后得到图①、图②．已知大长方形的宽为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用含a的代数式表示）
A．12aB．23aC．25aD．34a
16．（2025秋•萍乡期末）从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（ ）
A．2a+12B．4a+12C．2a+20D．4a+20
17．（2026春•浙江期中）有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为a纸条的13与长为b纸条的25叠合在一起，形成长为90的纸条，则a+b＝ ．
18．（2025秋•营山县期末）如图，将6个形状大小完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y．将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n满足的等量关系是 ．
19．（2026春•南阳校级月考）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
（1）花圃的宽AB为 米，花圃的长BC为 米；（用含a，b的代数式表示）
（2）求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示）
（3）若a＝6，b＝1，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？
20．（2025秋•海阳市期末）根据以下综合与实践材料，完成问题解决．
【考点4】正整数（第21–24题）
※方法总结
理解新定义，转化为整式运算。
利用整除、倍数等性质列方程。
注意各数位数字的取值范围和限制。
21．（2026•温江区模拟）若一个各数位均不为0的四位自然数M，且M满足千位与十位相同，百位与个位相同，那么我们称这个数为“满意数”．将“满意数”M的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“满意数”M′，记F(M)=M−M′101，则F（8383）＝ ；若P、Q都是“满意数”，其中P=xyxy，Q=mxmx（1≤y＜x≤9，1≤m＜x≤9且x，y，m均为整数），若P能被5整除，且F（P）﹣F（Q）＝18，则P﹣Q的值为 ．
22．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“勾股形数”．如：四位数3254，∵32+42＝25，∴3254是“勾股形数”；四位数7846，∵72+62＝85≠84，∴7846不是“勾股形数”，则最小的四位“勾股形数”为 ．对于一个“勾股形数”M=abcd，记F（M）＝M﹣10a2﹣10d2能被9整除，G(M)=a+cb−d为整数，则M的最大值与最小值的和为 ．
23．（2026春•铜梁区校级期中）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x）=x−y9，例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）=2356−62359=−431．则f（4652）＝ ．若s＝1230+a（1≤a≤9，a是整数），t＝4500+b（1≤b≤9，b是整数），若f（s）+f（t）能被3整除，求满足条件的f（t）的最大值是 ．
24．（2026春•重庆期中）对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的十位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是 ；若“精益数”p=abcd，规定将p的十位数字与百位数字之差记为G（P）．若正整数s，t都是“精益数”，其中s＝1000n+10m+517，t＝10x+2y+3390，（2≤m≤8，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤4，且m，n，x，y是整数），当G(t)G(s)能被3整除时，求满足条件的所有正整数s和t的和为 ．
【考点5】创新及压轴题（第25–27题）
※方法总结
“错看”问题：根据错误结果反推正确结果。
“无关”问题：令相关项系数为0。
“新定义”问题：严格按定义列式。
综合运用整式加减、方程等知识。
25．（2025秋•卢龙县期末）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值．
26．（2025秋•嵩县期末）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“3A+B”时，误将“3A+B”看成了“A+3B”，求得的结果为12x2﹣6x+7．
（1）求多项式A；
（2）求出3A+B的正确结果；
（3）当x=−13时，求3A+B的值．
27．（2026春•广平县月考）在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者．
（1）小芳参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：(A，B)=33，(B，C)=63，(A，C)=53，则卡片 （填字母）上的根式最大；
（2）小冀也参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：（B，C）＝x2+4，（A，C）＝x2+5x+1，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为x2+2x+1．
①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式；
②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值．
随堂检测 · 精选练习
练习1：整式加减运算练习2：图形周长探究练习3：整式加减化简练习4：不含项求参数练习5：阴影部分周长
【练习1】（2026春•瑞安市期中）在数学探究课上，某数学兴趣小组围绕“四个连续偶数的数值确定”展开探究．设这四个连续偶数依次为2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为整数），若想通过其中相关数值的关系确定这四个偶数的具体数值，下列选项中，能实现这一目的的是（ ）
A．两个中间数的差
B．最大数和最小数的乘积与两个中间数的乘积的差
C．最大数和最小数的差
D．两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差
【练习2】（2026春•新昌县期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为（y﹣12）cm；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【练习3】（2026•娄底一模）化简5（x+y）﹣3（x﹣y）＝ ．
31．（2026•渠县校级开学）已知多项式A【练习4】（2026•渠县校级开学）已知多项式x2+2xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，若A﹣2B中不含x2项和y项，则m+n的值为 ．
【练习5】（2025秋•玄武区校级期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是 ．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：合并同类项判断作业2：图形周长差作业3：不含x,y求值作业4：错看问题作业5：不含x²项作业6：星空数新定义作业7：图形阴影周长作业8：对消多项式作业9：错看与无关作业10：图形面积比
❤ 复习建议
夯实基础运算：熟练掌握去括号、合并同类项，注意符号。
灵活运用整体思想：在求值题中，将已知式整体代入，简化计算。
图形问题抓关键：从图形中找出相等关系，用字母表示未知量。
无关问题列方程：化简后令相关项系数为0，是求参数的通用方法。
新定义不畏惧：仔细阅读定义，转化为常规整式运算。
【作业1】（2025秋•洛阳期末）下列计算正确的是（ ）
A．2x﹣x＝2
B．﹣7m﹣3m＝﹣4m
C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a﹣2b
D．−32a2bc+12a2bc=−a2bc
【作业2】（2025秋•南关区期末）如图①，有两张形状、大小完全相同的长方形卡片，长、宽分别为a、b（其中a＞b），现将两张卡片按图②放置在一个大长方形中，大长方形未被覆盖部分为A和B，它们的周长分别为∁A、∁B，则∁A﹣∁B的结果为（ ）
A．4a﹣4bB．4a﹣2bC．2a﹣2bD．2a﹣4b
【作业3】（2025秋•武城县期末）已知多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差中不含有x，y，则m+n+mn的值（ ）
A．﹣7B．﹣5C．11D．1
【作业4】（2025秋•上海校级期末）小马虎在计算一次式﹣3x+1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x﹣3，则正确的答案是 ．
【作业5】（2025秋•龙亭区校级期末）已知关于x的多项式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2项，那么a的值是 ．
【作业6】（2025秋•沙坪坝区校级期末）我们规定：一个四位数M=abcd，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足a+c＝b+d，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为3+5＝7+1，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是 ；一个“星空数”M=abcd，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为P（M），M的百位数字与个位数字组成的两位数记为Q（M）．若P（M）+Q（M）被5除余2，且P（M）﹣Q（M）＝k2（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是 ．
【作业7】（2025秋•遵义期末）如图，大长方形ABCD的长为acm，宽为bcm，现将六个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙）．若图中阴影部分的周长之和为30cm，则长方形ABCD的宽b为 ．
【作业8】（2026春•无锡期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．
（1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
①3x2+2x与﹣3x2+2；②x﹣6与﹣x+2．
（2）多项式﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy的“对消值”为 ．
（3）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”．
【作业9】（2025秋•哈尔滨期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求正确的结果的表达式；
（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求（2）中代数式的值．
【作业10】（2025秋•江北区校级期中）将若干个长为m、宽为n的甲种小长方形纸片和长为a、宽为b的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示．
（1）如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形ABCD，其中AD＝27，BE＝x．
①若n＝4，则m＝ ，此时，DP＝ （用含x代数式表示）；
②是否存在符合条件的n，使得长方形BEFG的周长等于长方形DPQH的周长？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
（2）如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形A′B′C′D′中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值．
核心概念
法则/方法
注意事项
去括号
括号前是“+”，不变号；是“−”，都变号
注意符号，特别是负号后
合并同类项
系数相加，字母及指数不变
只有同类项才能合并
整体思想
将某式看作整体，代入或合并
注意整体符号变化
不含某项
该项系数为0，列方程
需先合并同类项
图形问题
根据图形列代数式，化简
注意线段关系
+（﹣x+3）＝x2+3x﹣1
实践主题
拼图中的周长探究
实践材料
若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）．
实践操作
小亮操作如下：
在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3：
小明操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4．
实践数据
图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m．
问题解决
（1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）；
（2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）．