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2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 第06讲 整式的乘法（十二大题型）(知识点+练习)
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一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
题型1：单项式乘以单项式
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
2．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
3．先化简，再求值：，其中，．
4．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
5．若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．﹣3
题型3：计算单项式乘以多项式
6．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
7．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
8．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型4：计算单项式乘以多项式的求值问题
9．化简求值：，其中，．
10．先化简，再求值：，其中．
11．若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
12．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17B．C．D．-17
题型5：利用单项式乘以多项式求字母的值
13．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A．B．0C．2D．
14．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
15．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xyB．C．＋40D．＋40xy
题型6：单项式乘以多项式的综合应用
16．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（ ）
A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1C．﹣2x2﹣x+1D．无法确定
17．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A．B．C．D．
18．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A．B．
C．D．
19．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A．B．C．D．
题型7：计算多项式乘以多项式及求值问题
20．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
22．化简求值：，其中．
23．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
题型8：（x+p）（x+q）型多项式乘法
24．若，则为（ ）
A．8B．2C．D．
25．，则，的值为（ ）.
A．，B．，C．，D．，
26．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．由的取值而定
题型9：多项式乘法不含某项求字母的值
27．若关于的多项式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A．B．C．D．
28．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
题型10：图形问题
29．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
30．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
31．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
题型11：整式的乘法综合
32．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
33．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
34．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
35．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
题型12：材料、规律题
36．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
37．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
38．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
一、单选题
1．的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3B．﹣a2+4a+3C．﹣a2+4a﹣3D．a2﹣2a﹣3
3．计算等于（ ）
A．B．
C．D．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．5B．3C．D．
6．下列各题中，计算正确的是( )．
A．B．
C． D．
7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②④B．①②③④C．①D．②④
9．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
①第项为
②
③若第项的值为，则
以上结论正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
12．若单项式与的积为，则 ．
13．若，则 ．
14．计算的结果中次数是6的项的系数是 ．
15．用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为 ．
16．如果，那么的值为 ．
17．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为 ．
18．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
三、解答题
19．（1）； （2）．
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
22．先化简，再求值：，其中．
23．先化简，再求值：，其中．
24．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．
25．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
26．某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道．
(1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米；
(2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值．
27．观察下列等式：
……
(1)根据以上规律，则______；
(2)你能否由此归纳出一般性规律：______；
(3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可）
28．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点精准练（十二大题型）
模块四 小试牛刀过关测
1、会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算
2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值；
3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
题型1：单项式乘以单项式
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
2．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
3．先化简，再求值：，其中，．
4．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
5．若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．﹣3
题型3：计算单项式乘以多项式
6．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
7．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
8．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型4：计算单项式乘以多项式的求值问题
9．化简求值：，其中，．
10．先化简，再求值：，其中．
11．若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
12．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17B．C．D．-17
题型5：利用单项式乘以多项式求字母的值
13．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A．B．0C．2D．
14．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
15．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xyB．C．＋40D．＋40xy
题型6：单项式乘以多项式的综合应用
16．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（ ）
A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1C．﹣2x2﹣x+1D．无法确定
17．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A．B．C．D．
18．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A．B．
C．D．
19．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A．B．C．D．
题型7：计算多项式乘以多项式及求值问题
20．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
22．化简求值：，其中．
23．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
题型8：（x+p）（x+q）型多项式乘法
24．若，则为（ ）
A．8B．2C．D．
25．，则，的值为（ ）.
A．，B．，C．，D．，
26．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．由的取值而定
题型9：多项式乘法不含某项求字母的值
27．若关于的多项式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A．B．C．D．
28．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
题型10：图形问题
29．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
30．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
31．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
题型11：整式的乘法综合
32．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
33．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
34．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
35．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
题型12：材料、规律题
36．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
37．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
38．在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
一、单选题
1．的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3B．﹣a2+4a+3C．﹣a2+4a﹣3D．a2﹣2a﹣3
3．计算等于（ ）
A．B．
C．D．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．5B．3C．D．
6．下列各题中，计算正确的是( )．
A．B．
C． D．
7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②④B．①②③④C．①D．②④
9．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
①第项为
②
③若第项的值为，则
以上结论正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
12．若单项式与的积为，则 ．
13．若，则 ．
14．计算的结果中次数是6的项的系数是 ．
15．用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为 ．
16．如果，那么的值为 ．
17．若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为 ．
18．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
三、解答题
19．（1）； （2）．
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
22．先化简，再求值：，其中．
23．先化简，再求值：，其中．
24．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．
25．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
26．某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道．
(1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米；
(2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值．
27．观察下列等式：
……
(1)根据以上规律，则______；
(2)你能否由此归纳出一般性规律：______；
(3)根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可）
28．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点精准练（十二大题型）
模块四 小试牛刀过关测
1、会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算
2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值；
3、整式乘法的应用
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